Файл: Шичков А.Н. Температурный режим листопрокатных валков.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.07.2024
Просмотров: 99
Скачиваний: 0
Попутно следует отметить, что если вращение отсутствует, т. е. <»0 = 0, то уравнение (1.31) примет вид
&Ап |
1 дАг |
■Ап = 0. |
(1.35) |
|
öp2 |
др |
|||
|
|
|||
Общим решением этого уравнения будет А п (р) = |
Схр", где при |
|||
р = 1 Сі = Л^„; тогда |
|
|
|
|
|
Л„(р) = ЛГпр". |
(1.36) |
Выражение (1.34) имеет комплексную форму записи. Выделим в нем мнимую и действительную части. Из теории Бесселевых функ
ций известно [7, 8, |
21, 36, 40, 54, 95], что |
|
/„ (]/7 P d |
p) = ber„(]/r Pdp) + ib e i„ (]/P d p ) , |
(1.37) |
где Ьег„ и Ьеі„ — функции Кельвина (Томсона) n-го порядка. В то же время известно, что
еі PdFoJ = cos (Pd Fo) + |
i sin (Pd Fo). |
|
(1.38) |
|
Подставляя (1.37) и (1.38) в (1.34), |
получим |
|
|
|
А ( о ) — N |
Ьег” { У Pd р) + i bein ( У Pd р) |
|
||
" |
Ьегп ( К м ) + г-Ьеіл (У Й ) |
Х |
|
|
X [cos (Pd Fo) i sin (Pd Fo)]. |
|
(1.39) |
||
Выделим в выражении (1.39) действительную |
и мнимую части |
|||
и в результате преобразований найдем |
|
|
||
Л„(р) = |
^ п[КеИп(р) + ; Im (р)]. |
|
(1.40) |
|
Модуль этой функции будет равен |
|
|
|
|
\Ап (Р) I = Nn Y ReM„(p) + ImMn(p) , |
(1.41) |
|||
где |
ReH„(p) = |
|
|
|
|
|
|
[ber„ { У Pd р) ber„ ( У Pd) + bei„ [ У Pd p) bei„ t y Pd)] X X cos (Pd Fo) — [ber„ ( ]/P d ) bei„ (K Pd p) —
____________— bein { У Pd) ber„ [ У Pd p)] sin (Pd Fo)________
Ьег^ [ У Pd) + beij] [ У Pd)
Im A n (p) =
[ber„ ( У Pd p) ber„ [ У Pd) + bein (]/p d p) bei„ ( У Pd)] X X sin (Pd Fo) — [bei„ ( V Pd) ber„ [ У Pd p) —
___________ -- bern [ У Pd) bein { У Pd p)] cos (Pd Fo)_________
ber^ І У Pd) + bei^ [ У Pd)
(1.42a)
(1.426)
20
Уравнение, которому удовлетворяет функция А*п (р, Fo), будет
д2К . |
1 |
дК |
п2 л *__ дА*а |
(1.43) |
|
dp'- |
Р |
’ др |
р2 " д Fo |
||
|
Общее решение этого уравнения имеет вид
Ап(Р, Щ = ^ С п^ п ( ^ Р ) е |
^ fcFo, |
(1.44) |
ft=i |
|
|
где Jп (рлАр) — функция Бесселя 1-го рода, |
п-го порядка. |
|
Характеристическое уравнение в этом случае будет |
|
|
К (н-nft) = 0. |
|
(1.45) |
а коэффициент Cnk, как и в предыдущем случае, находится по вы
ражению
1г
|
Іп { Ѵ f Pdp) ßi PdFo |
Jn (рлй p) P^P |
о |
In (KFPd \ |
(1.46) |
Cnk — |
|
|
|
\ p j l ( p nkp)dp |
|
|
о |
|
Окончательное выражение для функции Ап (р, Fo) с учетом (1.29), (1.34),- (1.44) и (1.46) будет иметь вид
“
2 ft=i
Л,«(р, Fo) = N neI PdFo |
7„(K fPdp)_ |
|
|
|
|
In [ V i Pd) |
|
p |
/„ [ V i Pd p r , |
|
|
j P |
----- — J n (.PnkP)dp |
|
|
n |
Irn (F T p d ) |
~V-nk?° |
• (1-47) |
|
|
Jn (ilnfe P) e |
J P ^ ( ^ p ) dP
Выражение для коэффициента Bn (р, Fo) окажется "абсолютно таким же, как (1.47), только вместо коэффициента Nn будет коэф фициент М п.
Приведенные решения позволяют написать выражение для не стационарного радиального температурного поля валка без внут реннего охлаждения, для чего необходимо в (1.6) подставить (1.28)
и (1.47):
Ѳ(р, Ф, Fo) = 0,5Л0 (р, Fo) + 2 А п (р, Fo) cos (пф) +
п—1
+ ß„(p, Fo) sin (wp) = Ѳ—
21'
-2j'[0 — Ѳ0] -MPoftP) Pdp
J 0 (pOjfcP) e - ^ F0+
J P^ot^oftP) dP
0
CO
|
p I nW £ Pd p) r , |
, j |
In (іЛ-Pdp) |
- - [ ■/■----- \ L Jn (P/»feP) pdp |
|
i In [ V i Pd) |
X |
|
l n (lA'Pd) |
1 |
|
|
|
J PJl (Pnk P) dP
0
X / „ ( |W ) e ^ Ро] e‘ PdF°[A£„cos(n(p) + M„sin(ncp)]. (1.48)
Из рассмотрения выражения (1.48) можно сделать следующие выводы:
1. Нестационарное радиальное температурное поле валка пр заданных граничных и начальных условиях состоит из алгебраи ческой суммы осесимметричного нестационарного поля с темпера турой на поверхности Ѳ и неосесимметричного нестационарного поля, выраженного двойной суммой по п и к. При этом сумма по
пи k сходится быстрее, чем сумма по k при п — 0, так как jx0*<С
2.Время неустановившегося процесса всего поля определяется осесимметричной составляющей, так как нестационарный процесс
в ней зависит только от числа Fo и заканчивается при Fo äs 0,8, а в неосесимметричной составляющей— от двух комплексов: Pd и Fo. А именно, как будет показано ниже, с увеличением аргумента
V P d , определяющего при всех |
равных условиях скорость враще- |
|
ния валка, модуль |
Іп (VTPd р) |
* |
|
уже при р, близких к единице, |
Іп [У і Pd)
стремится к нулю, а следовательно, с увеличением скорости враще ния время неустановившегося процесса в неосесимметричной состав ляющей уменьшается. Даже в предельном случае, когда P d=0 время неустановившегося процесса в неосесимметричной составляющей будет меньше, чем в осесимметричной, в связи с тем, что Ро/г<М-л£> поэтому экспонента в степени быстрее стремится к нулю, чем в степени р^.
3. Наличие в выражении (1.48) разности между средней темпе
ратурой Ѳ и начальной Ѳ0 показывает, что время неустановивше гося процесса в валке будет тем меньше, чем меньше эта разность (амплитуда)/Следовательно, разогревать валки необходимо, и тем пература разогрева перед поставкой их в клеть должна быть близ
кой к заданной средней температуре их поверхности, т. е. Ѳ0 |
Ѳ. |
22
Интегралы знаменателей С0/г и Cnk равны
I рJо (иоар) Ф = - у Л (роа) ;
J* Р^п (РлаР) dp = — Jn+i (Р'па)•
о |
2 |
Если при данном распределении, температур на поверхности валка вращения не будет, т. е. ш0 = 0, а следовательно, Pd = О,
то (1.48) с учетом (1,36) примет вид
оо1
{[Ѳ— Ѳ0] /0(ИоАР) РФ
Ѳ(р, ф, Fo) = Ѳ |
|
о |
|
X |
|
■2к=1 1 |
|
|
|
||
|
|
І р^о(РоаР) Ф |
|
|
|
' со |
Г" |
со |
1 |
|
|
|
|
|
J Рn+lJn (Pnk Р) Ф |
|
|
Х - / 0 (ц0*Р)в ^ Fo+ |
|
|
і№о |
ow)^ |
X |
п= 1 |
L |
А=1 |
|
||
X j n (рЛАр)<Г^Ро] [N„cos(ncp) + Mnsia(ncp)J. |
(1.49) |
||||
На квазистационарном режиме (т. е. при Fo |
оо), так как ис |
чезнут решения Ад (р, Fo) и А*п (р, Fo), выражения (1.48) и (1.49) примут более простой вид
со
Ѳ(Р, ф) = Ѳ+ |
\У і Pd р) |
i PdFo г н |
/ \ |
I |
||
п ѵ |
ѵ’- е |
|
[ІѴпсоз(лф) + |
|||
|
і Л Ѵ і Pd |
) |
|
|
|
|
|
л=1 |
|
|
|
|
|
|
+ M„sin (лф)] |
|
|
(1.50) |
||
и при Pd = О |
|
|
|
|
|
|
0 (р, Ф) = |
Ѳ+ 2 Рп [Na cos (Лф) + |
М пsin (лф)], |
(1.51) |
|||
|
П= 1 |
|
|
|
|
|
т. е. осесимметричная составляющая на квазистационарном режиме
представляет собой равномерную температуру по сечению 0, а неосесимметричная выражена отношением модифицированных функций Бесселя комплексного аргумента, причем числитель об ладает переменным аргументом р, а знаменатель — р = 1. Если р 0, то и неосесимметричная составляющая стремится к нулю.
При исследованиях влияния Pd на температурное поле доста точно воспользоваться комплексным выражением вида (1.48) или
23