Файл: Шичков А.Н. Температурный режим листопрокатных валков.pdf

/„ \ У і Pd р) _

ber„ (V'Pd р) +

i bei„ ( Y Pd p)

/„ ( Y i Pd )

ber„ (y^Pd) +

i bein ( Y Pd)

Если учесть, что | In ( Y i Pd p) | =

] /' ber^ [ Y Pd p) + bei* [ Y Pd p) =

= bn ( Y Pd p), то

lg [ V * Pd p)

b a i V Pdp)

(1.52)

/„(K iP d )

6„(KPd) '

Іп (K fP dp) _

bn {YPA_p) _

fro (V^Pd_p)

(1.53)

/„ (K /P d )

bn [YPd)

é*(K P d)

b e r ( l / p H

) « ^

i c o s

Y Pd__ n

(1.54)

Y l

8

V2nVPâ

"Pd

eVvAh'2

■ i ' Y Pd

тс

(1.55)

r -

г

- S in

— -------------

Y 2 n V P d

[ Y 2

8

Ло(Рі. р) = 2

Ѳ—Ѳх ln p + Ѳ

(1.56)

ln 1/рх

^ о ( Р і> Р> F ° ) — ' S C okV ok{ \ i о /,р )е —^0feFo

(1.57)

Здесь Vok (р.олр) — комбинированная

функция

Бесселя

нулевого

порядка, определяемая уравнением

FoА(PoaP) — Jo(PoaP) Y о (Poa) — Y oa(PoaP) J о(Poa)>

где

Y 0 (p0A)

и

Y 0 (j.i0/;P) — Бесселевы

функции

нулевого

порядка

2-го

рода; |xoft — корень характеристического уравнения,

получен­

ный из граничных условий. Так как

по

условию

(рі, р =

1,

Fo)

= 0 и

Л;

(р = Pl, Fo) = 0, то

в

(1.57)

Vok ( p j

= 0

и

Foa(PoaPi) =

0.

Откуда

Jо (PoaPi) Y о (Роа) — J о(Poa) Y о (РоаРі) — 0-

(1.58)

Ѳ—0!

ln p + Ѳ

— Ѳ0 Voa(PoAP) РФ

-2.f

С,OA

О М- ln Upi

(1.59)

IPFoa (PoaP) dP

Результирующая зависимость для

коэффициента А 0 (р,

Fo) бу­

дет иметь вид

А о(рі, р, Fo) = A0(p) + i4o(p, Fo) = 2(jb=-^lnp +

0 —

ln l/Pi

-S

lnp + 0

— Ѳо VoA (PoaP) pdp

-^ oa1*

0

1

VOA(pOA p) e

JpFoA(^0AP)dP

•

(1.60)

Нахождение коэффициента A n (р,- Fo) аналогично случаю сплош­

ного валка, т. е.

Ап (pi, р,

Fo) = А п (рі, р) + А п (pi,

р,

Fo). Об­

щим решением уравнения (1.31) является выражение

а л р і.

p ) = c 1i n ( V m P) +

c 2K n ( V i P d p ) ,

(1-61)

,

откуда

Ci = _____________ NneiVÜT°_Kn { V »Pd Pl)

.

- I n i V T P d Pl) Kn [ViPd) + In {ViPd) KniViPdpx) ’

^

- Nneipdp0In { V T PdPl)

2 '

/ л [ V i Pd) Kn [ V i Pd Pl) -

In [ V t Pd p j Kn [ V i Pd) ’

Подставляя Cx и C2 в (1.61), получим

А Л р і. p) =

Kn { У ’■Pd Pi)

/ J K t' P d p ) _

/,t (l/ 'tPdp1)

Kn(lA-Pdp)

pj g£ PdFo

Kn ('KtPd)

/ „ ( і Л -Pd)

i n {V7pâ)

Kn ( K t P d ) .

jCB ( V 7 P d Pl)

/ „ ( K t P d p J

Kn{ VTpd)

i n {ViPâ)

(1.62)

Обозначим

в (1.62) выражения ^ ( V ^ P d f j j __т ^ и !п (V^t'Pd pj

_

ff„ (K /P d )

/„ (K iP d )

= пи.

Тогда

_

/„(KiPdp)

... ^„(KtPdp) .

iil\

у—г-

—~Г~

ГЛо — ' v

——

А п (рх, p) = J V /PdFo - 2*SYj

F*\______ U K y P d )

(1.63)

m-i — то

Если вращение отсутствует, т. е. ю0

— 0 и Pel — 0,

то

общее

решение уравнения (1.35)

для полого цилиндра будет

иметь

вид

А п (Рі>

Р) — £іРп + СгР

п>

(1-64)

где Сх и С2

найдутся из граничных условий, а именно А п (Рі,

р =

= 1) = Nп =

-j- С2; А а (р == рх) = 0 =

0 1р”-(-02р1

”.

Следо­

вательно,

Ап (Рі> рЧ_

(Р/Рі)" — (Рі/Р)

” ,,

(1.65)

р)

К п [ V i Pd) = ker„ [ у Pd) + i kei„ ( V pd) ■

(1.66)

Чтобы сократить форму записи, введем обозначения

а — кег„ (]/"Pd рх);

b =

kei„ (]/P d рх);

с = кег„ ( ] /

Pd);

d = k ei„(]/P d );

m = ber„ (]/P d рг);

n —bei„ (]/P d pj);

u — ber„ (j/^Pd);

v ~ bein (j/^Pd];

x —ber„ (j/^Pd p);

y = be\n (]/P d p );

z =

ker„ (|/P d p );

щ =

kei„ (]/P d p);

и далее

(ax+ nw— by— tnz) —Ф;

(bx + ay— nz— tnw) = F\

(<0.11 + nd— bv—mc) = D\

(bu-\-va— md— nc) = K-

Тогда (1.63) примет вид

А п(pi,

р) =

Nn (0D +

FK)A~1

~ ° K) X [cos (PdFo) + i sin (PdFo)],

К 2 + D2

или

An (pi,

P) = N n |R e^„(pi, p) +

i l m A n (p1, p)),

(1.67)

где

И е Л Л Р ь

P) = N j

-<*£ +

FK) cos (P d F o )

-

(F D -

■* «> s i!L g d F a . I

;

n v

’

n \

K2Jr D 2

J

(I.68a)

Іш Л

(p

p) =

N

f (Ф° + FI<) sin (PdFo) +

(FD — ФАЗ cos (PdFo))

n ^ 1’

n \

K2+ Ö2

* }T•

'

( 1. 686)

Модуль (1.67) равен

I A n (Pi. P) I =

V Re2 A

(Pi. P) +

Im2 А

(Рь P) •

(L69)

Ап (рі>

р> Fo)

Сп^Уп (pnft р) е-^feFo

(1.70)

k = \

Аналогично предыдущему

Vn (p,nÈp) есть комбинированная

функция Бесселя n-го порядка, т. е.

Уп (М’лйР)

Jп (pnfcP) Уп (рлй)

Уп (РлАР) /„ (pnft) >

где |хпА — корень характеристического

уравнения

Уп (РлаРі) = 0.

(1.71)

ті

и (У~iі Pdp)

■m.

/Cn(]/ 7Pdp)

Мпёі PdFo

i)

K n {V <Pd)

PKn(PnftP) dP

тг — m2

-'nk

j 'P ^ ( ^ P ) dP

(1.72)

Окончательное

выражение для

коэффициента Ап (рх,

р, Fo)

с учетом (1.29), (1.63),

(1.70)

и (1.72) будет

L /п (K lPdp) _

Kn (l^Tpd р)

Л„ (рі, р, Fo) =

N

j

MF"

‘ ' ^

P d ) -------- ' к Л У Ы

_

rnt — т 2

со

/„(K t Pdp)

Kn (VTpdp)

1

/ n(K7pd)

' КА У Т Ъ )

pVn(PnkP)dp

/ті! — m2

X

Е

1

*=і

JpK (P„fcP) dP

0

(1.73)

Ѳ(р,

ф,

Fo) =

^

i i n p

+ 0-

1

Ѳ— Ѳг lnp +

СО

I

0 - 0 0

Ko (pofeP) pdp

ln 1/pj

■S

■X

fc=i

J PKo(PoftP) dP

CO

___

___

L

^ (K ip d p )

K n i V i Pdp)

X VOA(po,P) e ^ ‘Fo +

7

j [

1 , л ѵ ш

)

* К П( Ѵ m )

in* — m9