Файл: Чепиль А.М. Конспект лекций по элементам теории случайных процессов.pdf

/Пт, (t) = 9 (£) щ (t) ,

(1)

2.

Если к случайному процессу

5 (0

прибавить неслучай­

ную функцию 9 (t), то к математическому

ожиданию пц (t)

прибавляется функция 9 (t),

т. е. если

ГI ( 0

=

€ (0 + 9 (*)

,

то

(0

=

( 0 + 9

(0

■

(2)

Mr, (0

=

<Р (0

«е (0

+ Ф(0 •

(3)

Действительно,

тп (/) =

/И [9 (0

g (0

+

ф(01

-

М [9 (0 5 (01 + ^Ф (0

=

= 9 (О Л'Д (0 + Ф(0 = 9 (0 «е (0 + ф(0 •

4. Если

С (0

= 5 (0

+ 4 (0 .

то

ОТс ( 0

=

( 0

+

/ич (/) .

(4 )

Действительно, математическое ожидание суммы случай­

ных величин равно сумме их математических ожиданий.

5.

Пусть

tk (О — последовательность случайных процес­

сов, ггщк (() — последовательность их математических ожида­

ний и

9k (t) — последовательность

неслучайных функций

(6= 1, 2, . . . , п).

щ(о = 2

<р*(о

(о •

•

(5)

*■=1

Доказательство.

«ч (0

-

м

J

с?, (О Е* (t)

=

2

Ж?Л (О Е* (О =

А=1

А=1

= 2

?* (о м 5* (о = v

<?* (о ^

(о.

А=1

А=1

При доказательстве использованы свойства 1 и 4.

— его кор­

6. Если

Е (t) — случайный процесс и

Л'? (/ь t2)

реляционная функция, то

Kt

(t,

t)

=

Di

(t) .

(«)

7. Корреляционная

функция действительного

случайного

процесса симметрична относительно своих аргументов:

К%(*,, U) =

Къ (t2, f,) .

(7)

Свойства 6 и 7 были показаны в предыдущем параграфе.

8. Если

Е (t)

—

комплексный

случайный

процесс

и

К% {t\, h) — его корреляционная функция, то

Къ ( /

„

tt)

=

k i

( С ,

ti) .

Действительно,

/Се (Л, /2) ■= М Е (/!,) Е (t2) =

м Е (^ )

Е (М =

Л4 Е (/2)

Е (^ )

=

=

/С{

(^г,

t L) .

Корреляционные

функции

К\ (^i, h)

и

Ki

(/2, ifi)

ком­

плексного случайного процесса

Е Ц)

взаимно сопряжены.

9. Нормированная корреляционная функция

rj

(t\t /2)

слу­

чайного процесса

Е (0

не превосходит по абсолютной величи­

не единицы

I

(*„

/2) | <

1 •

(9)

Это свойство следует из свойства коэффициента корреля­

ции случайных величин

Е (£|)

и

Е (£>)•

<р(()

10. Если

Е (£) — случайный процесс,

— неслучайная

функция и

=

св (t)

Е (0 .

то

*

, ) « ?( * , )

<р ( * з )

( Л .

У

-

Доказательство.

Kn(tlt tz) = Мщ (/,) г] (t2) =

м [c? (if,) £ (/,)

— <р(/,) т $(/,)]Х

X

[? (*з) 5 (^а> — <Р(0 ) mg

(0 )]

=

Л* {? (Л) <Р(*2) I? (0 ) -

-

m 6 ( / , ) ] [S (/■>) -

m g

(i f2) ]

=

с?

( М/ , ) ! «р( (Л/ \), ) (t2) =

= 'Р (Л)

?

(**) Ке (*,.

/2)

•

В частности, когда ®

(/) =

const,

т. е.

■п(0

=

(0

,

то

М * Р

0 ) =

с 8 * е ( 0 ,

/Д.

(10')

Для дисперсии свойство 10 приобретает вид:

D, (/)

=

«р* (О А

(О .

11. Если

•ч ( 0

=

<р ( 0

5 ( 0

+

ф ( 0 .

К ч ( * „ 0 ) = -■? ( * ,) ? (/2) /че

У ,

( И )

Ч ( 0 =

Ч ( 0 -

щ ( 0 = <Р(О 5(0 Н- ф( 0 -

* ( 0

mg(/) — Ф(/) =

=

? (О (5 (0 - mg (/)) ^ <? (О £ (О

и на основании свойства 10 получаем (11).

г, (/)

Для

дисперсии случайного процесса

формула (11)

запишется так:

Kn (tu

t2) =

j<h (tu

t3) +

(tb

t2)

+

(t,

t2) +

+ K ^ 1 (tl, t i ) .

(12)

Доказательство.

K n (A. /2) =

Mri(tih (t2) =

>W[li(fi) +

l s(^))[5°i(^) +

S2(/2)] =

= M 1 1 ( 1 ^ 2 )

+ U t i &

(**)

+ ii(A )€a(^)

+ laC^t) 12(^2)]

=

- м ! ,( м

е а д + м Ы )

l,(^2)+iw|1(^) u

t 2) f л а д ) а д )

=

= ^£, (Л. /3)

+ K i^

(Л,

^2) +

(^i>

^2) +

(ti, t2) .

Если случайные процессы E, (/) и

E2 (/)

некоррелированы,

то

K^i2 C^i.

^2)

=* 0

и

/С, (/„ f2) = /Се, (f,,

it)

+

(/„ /,) .

(13)

Формула (13) обобщается на любое конечное число слагае­

мых. Пусть

qk (t) — последовательность попарно некоррели­

рованных случайных процессов,

K%k

(/],

t2)

— последователь­

ность их корреляционных функций ( k = l,

2........п) и

71 (0

= 2

Е* (0 .

Тогда

к=1

/ а д , Q -

2

а д < -

**)•

(14)

А=1

Если члены последовательности

Eft (/)

попарно коррелиро-

ваны,

то

а д ,

а д

i ;

(«1. *2) -ь 2

К е а д ,

*2) -f

/ а д л . ^ )]. (is -

А=I

к, г—\

кФг

Если процессы Е (0 и т](^) — комплексные и C(£) = E(/)+ii(i),

то