Файл: Хатипов А.Э.-А. Курс проективной геометрии пространств с распадающимся абсолютом учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.07.2024
Просмотров: 89
Скачиваний: 0
18 -
ния: одно из них в координатах :< (точечных координатах), другое - в координатах и, (прямой).
Разумеется, все три способа доказательства принципа двой ственности не применимы в евклидовой геометрии, так как в ней отсутствует симметрия вследствие отсутствия несобственных эле ментов.
В случае проективного пространства двойственную теорему мы получим по схеме: точка и плоскость, прямая и прямая, пло скость и точка. Прямая двойственна самой себе, так она может рассматриваться как линия, соединяющая две точки и двойствен ным обрезом как линия пересечения двух плоскостей.
§ 4 . Двойное (ангармоническое) отношение
Двойным (ангармоническим) отношением четырех точекХ,У,%Т называется отношение
|
|
|
|
.... |
_ |
|
у |
7 |
: |
%Т |
( I» 1*) |
|
|
|
( X J Z T ) - |
|
7ТУ |
||||||
В |
(1 ,4 ) |
X Z f Z -У, У.Т, |
Yy~ |
|
- длины отрезков, определен |
||||||
Т У |
|
||||||||||
ных на |
прямой четырьмя |
данными точками $ длины |
берутся с |
||||||||
соответствующими |
знаками. |
|
» т о |
говорят, что |
точки X ,У . 7,Г |
||||||
Если |
( Х У |
Z Т |
) = -"/ |
||||||||
образуют |
гармоническую группу. |
|
|
|
|||||||
Исходя из |
(1 ,4 ) |
легко |
показать, что |
|
|||||||
|
|
|
( y y z T " ) = ( z r * y ) , |
|
|||||||
|
|
|
( W Z T ) |
= |
( Ѵ Х . Г |
Z ) , |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
{ X.yz Т) |
= |
1: ( У * Z Т ) , |
|
|||||
( x b ' z r ) = 1 - ( x y r z ) и х а
Двойное отношение четыре прямых или четырех плоскостей пучков. определяется как двойное отношение четырех точек, являющихся точками пересечения прямой с прямыми пучка или плоскостями пучка (разумеется, прямая не должна проходить через центр или соответственно ось пучка).
Введем на прямой проективную систему координат и возьмем
- 19 *■
на |
ней |
|
две точки |
|
и Э( в. .* ,.j .Любая точка |
||||||||
прямой |
|
может быть задана |
координатами |
^ |
,выракающими |
||||||||
ся |
через |
л,.»-,, и |
а; ^следующим |
образом |
прямой. Эти точки |
||||||||
|
Возьмем еще |
две точки |
Z |
и |
/ |
на |
|||||||
будут |
соответствовать значениям |
а |
и |
а |
параметра |
t : |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
у |
Легко |
проверить ,что |
двойное |
отношение четырех |
точек |
||||||||
2 Т |
*ВЭЯІЫХ^ |
в-этома п порядкет ) |
будет |
равно |
р— |
: |
|
||||||
|
|
|
|
( г л |
|||||||||
Для двойственных образов (пучков прямых &J , с. Л) я пучков плоскостей те же соображения проводят к аналогичному результату:
|
t- |
= ( л I с 1) |
, |
(з,Ю |
Мы |
р |
= О p i t ) . |
(М ) |
|
позже покажем (§ |
) , что |
двойное отношение четырех |
||
точек на |
прямой, |
двойное отношение |
четырех прямых пучка и |
|
двойное отношение четырех плоскостей пучка являются инвариан тами группы проективных преобразований на прямой, плоскости и в пространстве и не зависит от выбора проективной системы координат. Отметим еще, что проективные координаты могут быть определены с. помощью двойных отношений.*)
§ 5 . Линии и поверхности второго порядка .
Линия второго порядка (коническое сечение) определя ется как геометрическое место точек, однородные координаты которых удовлетворяіст уравнению второй степени________'
0-/( *, |
7*3 %. |
-J—O■ (Д,5) |
|
|
|
|
|
- 20 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
°~ ІІ |
S. |
Л * * |
* |
|
£ |
|
.-* |
'Г |
2 |
|
J X z |
X л - 2 |
<?J/XJX//- |
C'N |
||
*■ |
* £ |
|
' ♦ ' Л у у |
Х у |
|
|||||||||||
а поверхность- |
второго |
порядка |
в тех |
хе координатах -уравнению |
||||||||||||
|
- f |
2 А / д |
Х д |
Л / у К / |
X y |
Д |
|
X * |
Х у |
-г-5<7ууХл>^— 0 , |
* |
|||||
Коэффициенты |
a.cj |
в (1 ,5 ) и (2 ,5 ) |
могут |
принимать любые |
зна |
|||||||||||
чения} они не долины равняться |
нулю одновременно. |
|
|
|||||||||||||
|
§ б . Полярные преобразования относительно линий |
|
|
|||||||||||||
, |
Решая |
и поверхностей |
второго порядка |
|
|
(2 ,5 ) |
с |
|
||||||||
уравнения линии |
(1 ,5 ) |
или поверхности |
|
|||||||||||||
уравнениемпрямой линии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
проходящей |
через |
f *; |
= |
t *})■ |
, |
|
у , , |
|
получим |
(1*6) |
||||||
точки |
х; , |
|
и |
у( |
t |
|
урав |
|||||||||
нение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или, |
|
|
|
|
|
5L^u^'y', |
|
|
||||||||
^ |
7 - |
I |
X |
7л + д?47 |
а «Т |
(2 ,6 ) |
||||||||||
|
|
+ ^ |
ах/і ^ 7> = 0 . |
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
dT,f> |
|
' |
|
°У’ |
I |
|
' |
|
|
||
Из этого уравнения мы найдем |
два |
значения |
-л, и Х 2 . |
|
||||||||||||
.Подставляя |
"X, |
и |
">-2 в ( 1 ,6 ) , получим |
координаты |
точки |
пе |
||||||||||
ресечения прямой (1 ,6 ) |
с линией (1,5 ) |
или поверхностью ^): |
||||||||||||||
|
|
|
/ |
|
/ |
/ |
|
|
7 |
точками |
и |
(3 ,6 ) |
||||
Предположим, что эти точки вместе с |
||||||||||||||||
образуют гармоническую группу,, т .е . |
•*, j.- x r = - / |
или л /= -->.s • |
||||||||||||||
Тогда |
в (2 ,6 ) |
коэффициент при |
л |
будет |
равен |
нулю: |
|
|
||||||||
|
|
|
|
I |
|
|
|
.< » . |
. |
|
|
|
<4-б> |
|||
Таково условие, которому должны удовлетворять точки
- 21 -
*,• и у/ , чтобы они вместе с точками (3,6 ) образовали гармоническую группу.
|
Будем |
в (4 ,6 ) |
?. |
|
рассматривать как неподвижную точку |
|||||||
и строить |
на каждой |
прямой, у'проходящей через |
четвертую |
|||||||||
гармоническую точку |
|
xj |
|
к |
- |
относительно |
точек |
пересече |
||||
ния прямой |
с линией ( 1 ,5 ) -или |
поверхностью ( 2 ,5 ) . Тогда со |
||||||||||
вокупность |
четвертых гармонических |
точек |
определиться |
|||||||||
уравнением |
|
|
|
мы |
|
опустили |
штрихи, |
|
(5>б) |
|||
|
В уравнении (5 ,6 ) |
а |
тэк что теперь |
|||||||||
X ': - |
текущие координаты, |
|
уг |
- координаты |
данной |
точки. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Это уравнение в случае пространства может быть написано в
следующем |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
X СЧ(і |
|
х - |
а *-/> )Л |
*1 а 'Г>1р |
|
уз |
|
о .( 6 , б ) |
|||
|
Оно линейно относительно текущих координат точки X . |
||||||||||||
Эти точки |
в |
случае |
линии (1 ,5 ) |
образуют |
прямую, |
а |
в случае |
||||||
поверхности |
(2 ,5 ) - |
плоскость. Эта прямая называется поляреЯ |
|||||||||||
точки |
у |
по |
отношению к линии |
( 1 ,5 ) , |
а |
соответствующая |
|
||||||
плоскость |
- |
полярной плоскостью (или |
полярой) |
ТОЧКИ У |
по |
||||||||
отношению к поверхности (2 ,5 ) ; |
точка |
у |
называется полю |
||||||||||
сом. (1,6 ) есть |
уравнение поляры (полярной плоскости). |
|
|||||||||||
|
Отметим, что мы будем иметь определенную полярную плос |
||||||||||||
кость, |
если |
не |
все коэффициенты в ( 6 ,6 ) , |
т .е . все координаты |
|||||||||
Чі |
полярной плоскости, равны нулю одновременно. Случай |
|
|||||||||||
|
Z. |
Эр * |
о , |
Z. |
Эр= 0 >I |
а *г Э г °> |
|
h = ° |
(7 ,б ) |
||||
может |
иметь |
( |
в силу теории линейных однородных уравнений) |
||||||||||
лишь |
в том случае, |
когда |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Счі |
“»3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jhtla.j |
aJ( |
«И «ду |
|
|
|
|
|
(8,6) |
|||
|
|
ull |
«зз о-зу |
о. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
&v, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пчі йуЗ Йуу |
|
|
|
|
|
|
||
Такое же полгжение имеет место и для случая поляры отно сительно линии второго порлдка. В этом случа мы не будем
