Файл: Хатипов А.Э.-А. Курс проективной геометрии пространств с распадающимся абсолютом учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 20.07.2024

Просмотров: 86

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

-12 -

впространстве. Произведем следующие преобразования

 

 

 

 

 

 

 

п,

 

 

 

-

 

 

(1 ,2 )

 

 

 

 

 

?

 

-J a -to s* * ,

 

 

Отметим,

что в

(1 ,2 )

и (2 ,2 )

п.

 

означает

 

(2 ,2 )

 

в

размерность,

т .е .

 

или

3

.Другими

словами,

случве

прямойп=3 .

в случае плоскости

/г =2

,

а в случае

пространства

в

Что касается

численного

множителя

р

 

,то

он вводится

(1 ,2 )

для

того, чтобы отметить, что

течка, например,

на

плоскости,

определяется

не

числами

х / ,

х ',х /

, а отноше­

ниями двух

из

 

них

к третьему: ( * , ' , ,

к',) и

(.р*1г$>*■!,?*4 )

одна

и та

хе

точка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Преобразования, определенные формулами (1 ,2 ) называются проективными преобразованиями.3^ Они обладают свойством, что все точки, принадлежащие одной пряной или плоскости,пре­

образуются в точки прямой или соответственно плоскости. НоХно сказать и так: прямая или плоскость переходит в силу этих преобразований опять в прямую или плоскость. В случае про­ странства всякая плоскость переходит в некоторую плоскость.

Запишем формулы (1 ,2 )

в аффинных координатах, например,

в случае

пространства.—*+а'іъИз„ (1 ,2+ )лчимеемJb,/

e

„

/

1

X .

X ,

Х Э

 

в-Y/ ^

+ а-/* -

v

,lä _ ., . .

 

■+ ЛѴ1

 

 

 

 

Обозначим аффинные координаты

 

 

и

 

 

*-3

*Ѵ

X,

ч

*у

 

через X , ^ ; -Z

и

*■'> 3 >^

соответственно ; тогда

будем

иметь:

 

Курс аналитической геометрии,

ч

 

 

х) А .Э.-А .Хатипов,

 

 

издательство

СамГУ. Самарканд,

1969,

с т р .ІЮ ,

& 159 и

с т р .156, § 169; А .Э.-А .Хатипов,

Курс

проекрвнбй

 

геомет­

рий издательстве СамГУ, Самарканд,

1971, § 37,

§ 49.

 

 

 

 

-

13 -

 

 

 

 

 

 

Ä „ X

*- a /t j

+ ü ,j Z

fl-iy

 

 

 

7 ' - *>/7 i t*% Jr n u ' о o \

"Т^Г;------------------- '*

 

 

'

Таким образом,

в аффинных координатах проективные пре­

образования задаются дробно-линейными функциями, причем

знаменатель у всех дробей одинаковый.

 

Укажем на один важный частный

случай. Положим в (3 ,2 )

 

лѵ - о , лѴі= о ,

= о ^ лѵѵ

= 1■

Мы получим преобразования, которые называются аффинными

преобразованиями:

X

+■

Л-<2

 

 

7-ft/y

 

 

у 1=

л і/

І- A-fi*

>

 

Г.1

/Л +■ ÄjLtjf

 

 

C^j2)

 

-

 

+ ЛХ)'2. + Я-lYj

 

°-і

 

 

 

•z' -

Й.,/Х +

 

 

 

+ Я>У

 

Эта-запись

в аффинных координатах.

о ,

= о, «^с-» Мы полу­

Положим

в (4 ,2 )

«,у =о ,

а іѵ =

чим аффинные преобразования, которые переводят начало коор-. динат в себя:

У=

л „ х +

сцЛ^

z ,

(5 ,2 )

г'=

Лг/Х +

«і£

+• Л?3х

 

а,,*-*

 

 

 

Такие преобразования называются центрально-аффинными

преобразованиями. Преобразования,

задаваемые формулами

(4 ,2 ) называются

свободно-аффинными. Очевидно, что всякое

свободно-аффинное

преобразование

может быть получено из

центрально-аффинного преобразования (5 ,2 ) и параллельного переноса.

Чрезвычайно важно отметить, что проективные преобра­ зования данной размерности образуют группу. Это значит,что среди проективных преобразований существует тождественное» Для каждого проективного преобразования, согласно ( 2 ,2 ) , і, существует обратное преобразование. Наконец, если оущест- ;*

вует

проективное

преобразование,

которое

переводит

точку

Ât■

■ Л, в

точку

Х 1

и преобразование,

которое

переводит

точку

 

в точку

 

,то

существует проективное

преобразование,

 

которое переводит точку в точку ,х)

Аффинные преобразования такие образуют группу. Группа, которая содержится в другой группе называется

ее подгруппой. Аффинные преобразования образуют подгруппу группы проективных преобразований. Можно сказать и так: аффинные преобразования это такие проективные преобразова­ ния, которые переводят бесконечно удаленную область в се­ бя. Центрально-аффинные преобразования твкже образуют под-, группу группы аффинных преобразований. Преобразования этой группы переводят начало координат в себя.

Двойной или неподвижной точкой данного преобразования называется такая точка, которая переходит в себя. В случае центрально аффинного преобразования - это начало координат. В случае свободно-аффинного преобразования также существует двойная точка. Так как для случая прямой свободно-аффинные преобразования имеют вид

х/ = &„ X, -г Д/ѵ ; л и £ с / .

то искомая двойная точка определяется уравнением

Ы.' — ß-lj*■/ + Л/ у

ИЛИ

Из (6 ,2 ) следует, что если л„ *-1 , т .е . если преоб­ разование не является переносом, будем иметь собственную двойную (неподвижную) точку.

Двойная точка в случае плоскости определяется из урав­

нений

=.&/,#/ + й ,*х .а. т ^-/з '

 

или

=

а « х / +

•+-

геометрии, ч.Ш,

х) А .Э .-А .Хатипов,

Куос аналитической

CTO .IS6-I87Ä

75 : А .Э.-А .Хатипов,

Курс проективной

геометрии, §

51, § 52.

 

 

 

а.и у.,

- 15

-

’

 

 

откуда

 

_Й ‘ -І

-1Ч}

 

-«I» Л,х.

 

41

(7 ,2 )

 

«1/

-/

* At ' "

- rtJ5

 

4 ,

■ Ai\l

 

О.-/

Cwi.

 

 

 

 

Мы будем иметь несобственную двойную точку, если знаме­

натель в (7 ,2 )

равен

нулю и

один из числителей в (7 ,2 ) от­

личен от нуля. Двойная точка будет неопределенной, если

оба числителя

и знаменатель .в (1 ,2 ) равны нулю. В этом

случае имеем либо целую пряную двойных точек, либо плоскость, двойных точек. В последнем случае имеем'тождественное преоб­ разование, оставляющее неподвижной всю плоскость.*)

Подобные рассуждения можно провести и для пространства.

§ 3 . Принцип двойственности

координаты >, j

>

Если

ввести на плоскости проективные

, то

всякую прямую-на плоскости мо?но представить урав­

нением

■=0 ■

 

(І|3)

 

Прямая определяется однозначно заданием отношений коэф­

 

фициентов

исходящих в ( 1 ,3 ) . Поэтому числа

и.,,и1 і и}

 

 

 

 

 

могут рассматриваться как однородные (или иначе тангенциаль­

ные) координаты прямой линии,

на плоскости.. В частности,фун­

даментальные Прямые

г”-!., М-З :

* / і 0 г

*L= °,

,

имеют координаты

1,о , о

, о,17о

и

0 ,0 ,1

.

 

 

 

 

 

Понятие координат прямой было введено впервые в 1829г.. Плюккером . Вообще любые постоянные, однозначно определя­ ющие геометрический образ, Плюккер назвал координатами это­ го образа. До Плюккера лишь точки определялись координатами.

х) А .Э .-А .Х а типов, Курс аналитической геометрии, ч.Ш; изда­ тельство СаыГУ, Самарканд, 1969, с ір .І4 5 , § 166 и стр. 153, § 153 ; А .Э .-А .Хатипов, Курс проективной геометрии,

§ A4.

Будем

 

 

-

16 —

 

( , -ьх ,

Как перемен­

рассматривать

в

(1 ,3 )

и

ные, а

X,

,

,х 3

как

данные

постоянные. Очевидно, что

 

 

 

 

 

 

 

 

все прямые, координаты которых удовлетворяют уравпенив(І,3),

проходят через

точку

т *4

м ) •

 

(2 ,3 )

Уравнение

*7 X,

-т- аj < j

 

где * , , * . / * з ,

х-у

проективные координаты,

представляет плос­

кость в пространстве в проективных координатах. Плоскость

определяется однозначно заданием отношений коэффициентов

к/ »

входящих

в ( 2 ,3 ) , Поэтому числа л,

,u t> “i , u v

 

 

 

 

 

могут рассматриваться как однородные (иначе тангенциальные) координаты плоскости в пространстве. Если рассматривать в

(2 ,3 )

é ,ѣ

С f S)

 

как

переменные, а

,

х ,

,

 

, * ѵ как

данные постоянные, то все плоскости, координаты которых

удовлетворяют ( 2 ,3 ) ,

 

проходят

через

точку

( * ,,* ,.,* * ,

* у^),Мы,

следовательно, получим связку плоскостей. Таким образом,

уравнение

(2 ,3 )

при переменных

*•, , х*и ,ъ ,и у

 

представляет

плоскость,

а при переменных

«, ,

 

,

 

 

связку плоско­

стей.

Последние два положения получвются заменой слова точ­

ка словом

плоскость.и

наоборот. Соответствующее положение

имеет место для случая плоскости: уравнение

С

 

 

1,3) при пере­

менныхг

 

*,, с »

,

*з

представляет

прямую, а

 

при перемен­

ных І

 

3

 

- пучок

прямых (совокупность

прямых, проходя­

щих через

точку

с

х ,

, * * , * , ) .

 

(1 ,3 )

при переменных

,

 

Можно сказать и так: уравнение

*z,*j

представляет

совокупность

точек,

инцидентных30)

одной прямой, а при переменных

 

 

_

совокупность пря­

мых,

 

инцидентных

 

одной точке. Уравнение (2 ,3 )

при перемен­

ных

 

 

 

 

 

 

 

представляет

совокупность

точек,

инци­

дентных одной плоскости, а при переменных

fiß , С,& -

сово-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х) Точка и прямая называются инцидентными, если точка нахо­ дится (принадлежит) на прямой или если прямая прпходит

чеоез точку; точка и плоскость называются инцидентными, если точка находится не плоскости или если плоскость

проходит через точку.

17 -

купность плоскостей инцидентных одной точке.

Говорят, что совокупность точек, иницидентнкх одной прямой (ряд точек), и совокупность прямых, инцидентных од­ ной точке (пучок прямых), двойственны друг другу по малому принципу двойственности; совокупность точек, инцидентных одной плоскости (поле точек), и совокупность плоскостей, инцидентных одной точке (связка плоскостей), двойственны друг другу по большому принципу двойственности. Иначе ма­ лый принцип двойственности называется двойственностью на плоскостью, а большой принцип двойственности - двойствен­ ностью в пространстве.

Чрезвычайно важно то, что в проективной геометрии мож­ но получить из всякой геометрической теоремы новую теорему путем соответствующей перестановки слов точка и прямая,пря­ мая и точка. В евклидовой геометрии из двух двойственных предложений: іі через две различные точки проходит только одна прямая и

две различные прямые пересекаются только в одной точке вер­

 

на только

первая.

 

 

 

 

 

 

 

Принцип двойственности был установлен впервые в 1822г.

 

Понселе. Этот принцип он обосновал при помощи теории полю­

 

сов и поляр (см . §

6 ) . Яергон дал принципу двойственности

 

 

аксиоматическое обоснование. Для этого, очевидно, достаточ­

 

но показать, что все аксиомы проективной геометрии*'взаим­

 

но двойственна. Плюккер дал чисто аналитическое обоснова­

 

ние принципа двойственности следующим образом. Предположим,

 

что мы доказали некоторое предложение при помощи некоторых

 

выкладок.

Мы можем произвести соответствующие выкладки,

 

 

заменив переменные

*

переменными

и.

, и наоборот. Таким

 

 

образом, мы получаем два различных геометрических предложе-

 

х) А .З .-А .Хатипов,

Курс

проективной

геометрии; издатель­

 

 

ство СаыГУ, Самарканд, 1971, с т р .13, § 5 .

 

 

 

 

 

 

 

 

библиотек,: r -

ÖCCP

■

 

 

 

 

 

'l —

 

 

 

 

 

 

'

 

Смотрите также файлы