Файл: Хатипов А.Э.-А. Курс проективной геометрии пространств с распадающимся абсолютом учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.07.2024
Просмотров: 88
Скачиваний: 0
- 97 -
Пронормируем координаты касательной плоскости, полагая
= |
(7,26) |
Чтобы при этом не нарушились соотношения (2,26), необходи мо положить
JC = ~ ОС- ■ |
(8,26) |
При перенормировании координат касательной плоскости второй основной тензор itj и альтернатор измѳнявтся следующим образом: согласно (2,22), (7,26) (8,23 ) и (8,26), получим
откуда |
|
|
|
І * С % |
|
|
|
(9,26) |
||||
|
|
|
|
Л |
|
1 |
|
€*. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
(10,26) |
||||
Так как при перенормировании координат касательной пло- |
||||||||||||
стости условие (1,25) |
не |
нарушается, |
то остаются в силе |
|||||||||
и соотношения, |
вытекающие |
из (1,25). Поэтому условию (6,26), |
||||||||||
согласно (9,26) |
и (10,26), |
можно придать вид |
. |
|||||||||
а выбирая |
с |
|
К |
|
. / . с |
Ѵ |
* 4 ‘ |
|
|
|||
так, чтобы |
4 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
-V |
я |
* |
з |
g . |
|
|
|
||
получим |
|
|
С |
|
|
I , |
|
|
(11,26) |
|||
|
|
(С= |
/ 4 |
|
|
|
|
|||||
где для простоты опущены черточки. |
|
|||||||||||
Условие (11,26) аналогично тону, которое приводится |
||||||||||||
у Бианки*), |
в § 484,но здесь роль дискриминанта первой |
|||||||||||
квадратичной Форш (обрезающегося в данном случае в нуль) |
||||||||||||
игвает е* |
. а роль кривизны - |
единица, йз (11,26) вновь |
||||||||||
|
|
|
2 і г Ь * а |
oL |
â i t f *■ "***& , |
|||||||
v . i , f > . I ?
- 98 -
вытекает, что для развертывающейся поверхности /Г-7. Назовем (11,26) условием Гаусса.
Зквиафинную геометрию, заданную коэффициентами связно сти G-jназовем псевдоримановой, если в ней существует ковектор ^ такой, что
Приняв |
во внимание все предыдущие результаты, приходим |
к следующему |
заключению: |
Если |
|
|
|
вLj |
|
, определяющие псевдориманову |
геометрию, |
||||||||||||
заданы G y |
|||||||||||||||||||
и коэффициенты |
|
второй |
|
квадратичной формы, удовлетворяющие |
|||||||||||||||
условиям |
Гаусса |
(11,26) |
и Петерсона-Кодацци (2 ,2 5 ), то тем |
||||||||||||||||
самым поверхность |
определяется |
с |
точностью до проективного |
||||||||||||||||
преобразования пространства, оставляющего двойной абсолют |
|||||||||||||||||||
неизменным о |
|
<sL |
|
|
|
ОС'*- |
|
|
|
|
|
|
|
х * - из |
|||||
|
- |
|
из |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ериt iэтом |
|
|
найдется |
из (5,24) или (4 ,2 1 ), |
|||||||||||||||
(2 ,2 3 ), |
(8 ,2 5 ), |
(5 ,2 5 ), |
|
|
|
из (17,23), |
|
в котором |
|||||||||||
согласно |
(20)25) |
|
и (11,26). |
(5 ,2 5 ), |
|
(12,26) |
|||||||||||||
Теперь |
(18,23), |
согласно (12,26) и |
можно окон |
||||||||||||||||
чательно представить |
|
ti+L&ßj <S |
г |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Pj |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
в следующем виде: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
О у - |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
||
§ 27. Характер геометрии 2-го рода |
которое имеет место |
||||||||||||||||||
Установим |
следующее |
соответствие, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У 1 |
|
|
|
|
|
на всякой поверхности, нормализованной по Нордену.2^ |
|||||||||||||||||||
|
|
и.1, |
и.1 |
|
|
|
|
|
вектору |
|
|
аналитического |
|||||||
Поставим |
контравариантному |
|
|
|
|||||||||||||||
|
lrfiX$ |
|
|
в соответствие: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
многообразия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2,27) |
|||||||||
|
|
|
|
|
(1,27) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|||
. точку, лежащую на |
нормали |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
плоскость, проходящую через |
|||||||||||||||||
2-го рода |
в |
Xе (назовем |
ее |
|
|
нормаль |
І-го |
рода |
в |
|
(назовем |
||||||||
нормальной точкой).' |
|
|
|
|
её |
нормальной |
|
плоскостью). |
|||||||||||
х) Норден А .П ., 0 внутренних геометриях поверхностей проектив ного пространства: Труды сем.по вект. и тенз.анализу,
вып.УІ, 1948, § 6 , ст р .180.
- 99 -
Установленное соответствие не взаимно однозначно, так как двум коллинеарным векторам оно относит одинаковые нор мальные точки и нормальные плоскосги.ІІо если будем говорить,
что векторы, 'коллинеарные данному, определяют |
в многообразии |
||||||||||||||||
и |
1, |
и.1 |
(на |
поверхности) |
направление |
(§ 16), |
то можно |
будет |
|
||||||||
утверждать, |
что для |
данной точки многообразия |
і*/ ,« -1 |
(по |
|
||||||||||||
верхности) |
|
формулы (і,2 7 ) |
и (2,27) устанавливают взаимно |
|
|||||||||||||
однозначное |
соответствие между направлениями многообразия |
I |
|||||||||||||||
и'9и.1 |
(поверхности) |
и нормальными точками и нормальными |
|||||||||||||||
плоскостями. |
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Если нормальная |
точка |
<f l |
соответствующая |
направлению "У , |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
лежит |
в нормальной плоскости |
(І |
, соответствующей |
направ |
|
||||||||||||
лению |
иг1 |
,то |
Tr' ъг |
|
|
U-j f |
'Ur* |
|
о |
|
|
|
|
||||
|
|
г' u ~f - |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
’ |
|
|
= |
■/ |
|
|
у . |
I |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
или, |
согласно |
(2 ,2 2 ),С /к г-‘Ѵ |
|
|
|
|
|
||||||||||
/3 = о . |
|
точка |
лежала |
|
|||||||||||||
|
|
Таким |
|
образом, |
для |
того,чтобы нормальная |
|
||||||||||
в нормальной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы соотзетствующие им направления аналитического многообразия
.(поверхности) |
были сопряжены |
(§ 22). В частности, |
нормаль |
||||
ная |
точка и нормальная |
плоскость, соответствующие, |
одному |
||||
и тому.не направлению, будут инцидентны тогда и только |
|||||||
тогда, когда |
это направление - асимптотическое (§ |
2 2 ). |
|||||
|
Соответствия, устанавливаемые формулами (1,27) и |
||||||
( 2 ,2 7 ) ,.дают |
возможность истолковать параллельное |
пере |
|||||
несение направлений определяемых геометриями І-го и 2-го |
|||||||
рода |
( § 1 6 ) . |
|
|
ѵ ;‘ |
|
' |
в геомет |
рии |
Пусть направление |
|
переносится параллельно |
||||
І-го рода |
5 |
так что |
|
|
(3,27) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ѵ іг := ъ ѵ 1.
Для нормальной точки, соответствующей этому направлению,
согласно (1,27) |
и (6 ,2 3 ), |
будем |
иметь |
||||
сіѵ |
= |
<7 -fr- |
+ |
ТгР |
V , X |
cL« = |
|
= |
|
': Н |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
- 100 -
или |
<ІіІГК= |
-7^Ѵ К-і- £ X |
+ |
• |
|
( ^ ^ 7 ) |
условие |
||
Обратно, |
если |
cU'1 |
представляется |
в виде |
(4 ,2 7 ), то |
||||
(3,27) параллельного |
перенесения |
направления |
тг1 |
будет |
выпол |
||||
нено. |
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ыы
Три точки Tr, X и определяют нормальную плоскость, инцидентную точке '1~а‘ . Обозначим через VJr>направление, соот ветствующее этой плоскости. Из сказанного выше следует,что для того, чтобы' направление т-‘ переносилось параллельно в беско нечно близкую точку в геометрии І-го рода, необходимо и доста точно, чтобы соответствующая ему нормальная точка смещалась в инцидентной ей нормальной плоскости:
'V Ж « о •
Из инцидентности нормальной точки и нормальной плоскости следует, что соответствующие им направления тг‘ и ъг‘ сопряже
ны.
Можно аналогично получить результат: для того,чтобы направление ^переносилось параллельно в бесконечно близкую
точку в геометрии 2-го роде, необходимо и достаточно, чтобы соответствующая ему нормальная плоскость вращалась около инци дентной ей нормальной точки (соответствующей направлению-^ ) :
7ГЛЖ+ -- о -
Оба результата можно объединить:
Для того,чтобы некоторое направление переносилось парал лельно в геометрии І-го или 2-го рода, необходимо и достаточно сохранение инцидентности нормальной точки и нормальной плоско сти.
Из сказанного следует, что если некоторое направление перекосится параллельно в геометрии 1-го рода, то сопряжен ное ему направление переносится параллельно в геометрии 2-го рода. Другими словами, геометрии І-^о и 2-го рода образуют сопряженную пару, базис которой совпадает с сетью асимптоти-
