Файл: Зак М.А. Неклассические проблемы механики сплошных сред.pdf

Отсюда получаем скорость распространения поперечной волны рассматриваемой поверхности в направлении скорости разрыва ив и условие «размывания» этой поверхности:

Здесь vni — проекция vn на направление скорости ив. Последнее условие упрощается, если разделяемые области жидкости имеют одинаковые плотности: uni<wB. Меняя ролями вихревую и потен­ циальную составляющие скорости, получаем аналогичные ре­ зультаты для поверхности тангенциального разрыва потенциаль­ ной составляющей скорости:

а при равенстве р' = р" последнее условие принимает вид oBi< u n.

классические уравнения движения сплошной среды при физиче­

единственным. Примером тому могут служить задачи об обтека­ нии твердого тела идеальной несжимаемой жидкостью.

Рассмотрим вначале задачу о плоском стационарном безот­ рывном обтекании твердого тела безграничным потоком идеаль­ ной (невесомой) несжимаемой жидкости.

Известно (см. [16]), что такая задача при заданной по вели­ чине и направлению скорости на бесконечности v<*>имеет бесчис­ ленное множество решений, зависящих от выбора величины цир­ куляции скорости Г. И только в том случае, когда на задней кромке обтекаемого тела расположена угловая точка, можно, ис­ ходя из постулата Жуковского — Чаплыгина, определить величи­ ну циркуляции Г, а следовательно, выделить единственное реше­ ние задачи. При отсутствии на профиле угловой точки постулат уже не применим и для выделения единственного решения при­ ходится привлекать дополнительные предположения.

Обратимся к принципу наименьшего принуждения в форме (II—1—4), согласно которому истинное движение жидкости ми­ нимизирует функционал

100

где а — часть плоскости, занятая жидкостью. Тогда искомая, цир­ куляция Г* определится из условия

Ф ^ , Г*) = inf Ф (■ово, Г).

Отсюда, как частный случай, вытекает постулат Жуковско­ го— Чаплыгина; действительно, при наличии на обтекаемом те­ ле угловой точки циркуляция Г* должна принять такое значе­ ние, чтобы интеграл в (25) не расходился, т. е. ускорение не об­

R о

Из равенства дФ/дГ = 0 следует, что принуждение Ф достига­ ет экстремума лишь при Г =0, причем из неравенства 52Ф/дГ2>0 при Г = 0 следует, что этот экстремум является минимумом. Сле­ довательно, задача об обтекании круга имеет единственное реше­ ние в классе непрерывных функций, причем это решение соответ­ ствует безциркуляционному обтеканию.

Докажем существование единственного решения задачи об обтекании произвольного плоского профиля без угловых точек в классе непрерывных функций. Для этого воспользуемся выра­ жением для комплексно-сопряженной скорости, получаемой из (26) соответствующим конформным преобразованием. Учитывая, что циркуляция Г по-прежнему будет линейно входить в это вы­

ражение, получаем Ф = А4Г4+ А3Г3-f А2Г2+ А4Г + А0 > О,

причем коэффициенты А* зависят от v«, и от вида обтекаемого профиля.

Пусть А4=т^ 0. Тогда уравнение <ЗФ/дГ=0 является кубическим относительно Г и, следовательно, имеет по крайней мере один вещественный корень. Этот корень должен соответствовать ми­ нимуму Ф, так как Ф->-оо при Г-^-оо. Если же уравнение <ЗФ/5Г=0 имеет три вещественных корня, то два из них соответ­ ствуют минимумам Ф, и из этих корней следует выбрать тот, при котором принуждение Ф наименьшее.

Пусть А4= 0. Тогда и А3 = 0; в противном случае Ф<0 при Г-9— оо, что невозможно. Если А2ф 0, то из равенства дФ/дТ = 0

101

получим Г= —А\/2А2. Этот корень соответствует минимуму Ф, так как Ф->-оо при |Г|-*-оо. Если А2 = 0, то и i4j = 0; в противном случае Ф <0 при Г-»— оо, что невозможно; но тогда принужде­ ние Ф окажется вообще не зависящим от циркуляции Г. В этом случае вопрос о единственности решения остается открытым.

Таким образом, существование единственного решения дока­ зано.

Заметим, что решения с безотрывным обтеканием, получае­ мые при условии divv = 0, сохраняют смысл лишь при р^О , так как в действительности div v^O (см. гл. II, § 3, п. 3). В качестве иллюстрации рассмотрим полуокружность, описываемую урав­ нением x2+ y2 = R2 (х'<0) и обтекаемую потоком, имеющим на бесконечности скорость Vco, параллельную оси х. Нетрудно прове­ рить, что комплексно-сопряженная скорость

контура. Введем вспомогательный контур г* (s), охватывающий тело так, что |г * |^ |г |. Очевидно, что любое решение задачи об обтекании контура г* (s) является одновременно и решением исходной задачи, но уже в более широком классе функций, допу­ скающем разрывы поля скоростей вдоль некоторых линий (в дан­ ном случае вдоль контура г* (s)). Поэтому имеет место оценка ф * ^ ф , где Ф* определяет принуждение в случае отрывного об­ текания. Варьируя г* (s) и величину тангенциального разрыва скорости вдоль этого контура так, чтобы достигнуть inf ф*, при­ дем к искомому отрывному обтеканию. В частном случае может, конечно, оказаться, что г* (s) = г (s), и тогда имеет место безот­ рывное обтекание/

Особый интерес при исследовании отрывного обтекания пред­ ставляет случай, когда минимизирующим для Ф* оказывается тангенциальный разрыв скорости вдоль г* (s), равный величине самой скорости на этом контуре; при этом между контурами г* (s) и г (s) образуется застойная зона (ц=0), а поэтому в силу уравнения Бернулли величина скорости вдоль контура г* (s) должна быть постоянной. Последнее обстоятельство позволяет

102

находить такого рода отрывные обтекания посредством уравне­ ния Эйлера (II—3—5) с учетом равенства divv = 0 и граничных условий v„ = 0, |w |= const при г = г* ( 5), где v„ — составляющая скорости жидкости, нормальная к контуру г* (s). Однако и в этом случае единственное решение можно выделить лишь то­ гда, когда известны заранее точки отрыва (например, при обте­ кании тела с угловыми точками). В противном случае следует обратиться к принципу наименьшего принуждения и. искать точ­ ки отрыва г+ из условия

ф (г+. = inf Ф (г+*, г>те),

где г+ * — возможные точки отрыва на контуре г (s).

Непосредственное практическое использование решений с от­ рывным обтеканием осложнено тем, что, как это следует из пре­ дыдущего пункта, линии тангенциальных разрывов скорости не­ устойчивы; следовательно, описанные выше решения будут не­ устойчивы в классе кусочно-непрерывных функций, т. е. сколь угодно малые случайные возмущения скоростей, перпендикуляр­ ные к линии разрыва, приведут к возникновению «всюду разрыв­ ного» поля скоростей. Действительно, в соответствии с (II—3—5) недетерминированные связями движения жидкости со скоростями vr (пульсационные движения) могут появиться или в силу специфических граничных условий, как в случае пе­ ресечения двух потоков (гл. II, § 3, п. 3), или в силу «всюду раз­ рывных» начальных условий, которые в рассматриваемом случае имеют место из-за неустойчивости линии тангенциального

vr (пульсационных скоростей) в соответствии с (I—3—23). В ка­ честве конкретного примера возьмем пластинку, обтекаемую по­ током, перпендикулярным к ее плоскости. Точками отрыва в этом случае являются концы пластинки, а застойная зона, в со-' ответствии с [16], простирается от тыльной стороны пластинки до бесконечности, неограниченно расширяясь. Для описания явле­ ний, возникающих после потери устойчивости границы застойной зюны, можно воспользоваться уравнениями, вытекающими из ми­

считая, что р = р (г, t), v= v (г,t,Q , O sS ^^l, т. е. полагая, что состояние каждой точки пространства характеризуется множест­ вом скоростей, образующих континуум v (£). Начальные значе­ ния v(£) обязаны своим происхождением случайным факторам, благодаря которым оказалась нарушенной устойчивость границы

103

застойной зоны, и, следовательно, при выборе этих значений дол­ жны быть привлечены статистические соображения.

11. Движение гибкой нити в идеальной жидкости. Проект руя уравнения движения гибкой нити в виде (II—2—9) с учетом сил инерции на оси естественного трехгранника, получаем

формой; и — скорость течения нити вдоль фиксированной формы; со — угловая скорость вращения элемента нити; F — внешние силы, отнесенные к единице длины; Qb Q3 — кручение и кривиз­ на формы нити.

К этим уравнениям следует добавить кинематические соотно­ шения совместности перемещений и поворотов в проекциях на те же оси:

а также связи между течением и, удлинением нити f, натяжени­ ем Г и начальной плотностью р0:

системы координат); F® — следящие силы негидродинамическо­ го происхождения, например пондеромоторные силы; будем по­ лагать, что F(2) = F<2>(oi°, v2°, t>3°); F<3>— силы гидродинамическо­ го происхождения.

Если считать жидкость идеальной и искать решение задачи о взаимодействии ее с нитью в классе дифференцируемых функ­ ций, то единственной силой гидродинамического взаимодействия

104