Файл: Зак М.А. Неклассические проблемы механики сплошных сред.pdf

Так как divv= /i (dv/dr) = /j (ш) + / 1(dC-\/dt) и Ji (со) =0 ввиду кососимметричности тензора со, то

div v = - j f [J\ (C-i)]-

А так как / 3 (А) = 1+У) (A_i) = 1 + /i (С_i)+ /i (£_i) и (B_i) = = 0, то /3 (A )= /i (C-i)-f-l- С учетом этого первое кинематиче­ ское соотношение совместности перемещений принимает вид

симметричность тензора со, придем к следующим кинематическим соотношениям совместности перемещений:

со, т. е. соХа = со • а.

Соотношения (12) эквивалентны лишь двум скалярным ра­ венствам, так как div rot v = 2div со = 0, и, следовательно, из трех проекций со9г лишь две являются независимыми. Значит, усло­

вия (11) и (12) образуют три скалярных соотношения кинема­ тической совместности перемещений.

Кинематические соотношения совместности поворотов вместо (2—44) принимают вид

Рассмотрим вопрос об аналитической формулировке связей

вламинарной вязкой жидкости.

Всоответствии с формулой (7) и с учетом (8) движение ис­ следуемой среды может быть воспроизведено в каждом беско­ нечно малом интервале времени посредством обобщенных коор-

22

динат гооо, Вооо, определяющих абсолютно твердую составляю­ щую перемещения элементарного объема и шести компонент метрического тензора Gij. Для того чтобы не быть связанными бесконечно малым интервалом времени, можно от перемещений в (7) перейти к скорости, продифференцировав (7) по времени с учетом малости Г*; тогда

оо

Кроме того, из (8) следует

Таким образом, скорости точек рассматриваемой среды в лю­ бой момент времени могут быть воспроизведены с точностью до скорости абсолютно твердого движения, определяемого векто­

рами vooo и со посредством шести величин Gej, являющихся ком­

должны удовлетворять шести дифференциальным соотношениям, получающимся в результате подстановки (16) в (4). Отсюда вы­ текает аналитическая формулировка связи, выражающая факт

детерминированности величин Gij, а именно

к декартовой, равная матрице декартовых координат аффинора А, близка к единичной.

Наконец, формула (17) может быть записана так:

23

следует 6Dev G = 0, б/ i (G) = 2/3(A) =0, т. e. 6divv = 0. Отметим случай несжимаемой жидкости (divv^O ):

которую будем считать существующей, но не обязательно одно­ значной на всем множестве г. При этом будем допускать, что в каждой точке пространства г совмещено некоторое континуаль­ ное множество точек г0(£) со скоростями v(£), где | — параметр,

цируема по г при фиксированном %. Подчеркнем, что складывать эти скорости нельзя, так как они приписаны различным индиви­ дуализированным точкам жидкости, совмещенным в одной точке пространства. Однако в каждой точке пространства можно вве­ сти среднюю скорость, или скорость «центра масс» совмещенных индивидуализированных точек:

v , = f v ( c ) ^ ,

о

которая в силу сделанного выше предположения будет одно­ значно-дифференцируема по г.

Наложим на функцию v(r, |) ограничение, состоящее в тре­ бовании существования предела

1

Л т0 - J r j f v - r f s - d i v v

5 0

во всех точках пространства г. Из существования div v следует,

Сплошную среду, для которой в каждой точке пространства существует единственное значение div v, будем называть идеаль­ ной жидкостью. Аналитическое выражение связи для идеальной жидкости принимает вид

Подчеркнем, что как скорость v, так и тензоры A, A, G, G в иде­ альной жидкости, вообще говоря, многозначны. Однозначность

гарантируется лишь для величин d/dt(dV/dVo), 1з{А), Jz(G). Как

ив предыдущем случае, здесь связь является неголономной.

Всилу (21) существует взаимно-однозначное соответствие между индивидуализированными объемами dVо и dV, заданными

вD0 и D, если состояния D0 и D отличаются бесконечно малым

24

интервалом времени. Другими словами, если в пространстве на­ чальных состояний Do зафиксировать некоторый элементарный объем dVо, то через бесконечно малый интервал времени он пе­ рейдет в элементарный объем dV пространства D таким обра­ зом, что все точки, находившиеся внутри объема dVo, останутся внутри объема dV\ но если в объеме dVо зафиксировать некото­ рую непрерывную кривую или поверхность, то в объеме dV точки этой кривой или поверхности могут оказаться «рассыпанными» так, что из них уже нельзя будет составить непрерывную кривую или поверхность.

Если идеальная жидкость несжимаема (divv^O ), то вместо связи (21) имеет место связь

d/dt(dV/dV0) в области положительных значений остаются неде­ терминированными. Это обстоятельство соответствует тому, что при увеличении элементарного объема несжимаемой идеальной жидкости последний превращается в совокупность свободных точек (разбрызгивание).

Очевидно, что в идеальной жидкости сопутствующей системы координат не существует. Однако можно построить некоторую условную мгновенно-сопутствующую систему координат qf', опи­ раясь на детерминирование в каждой точке идеальной жидкости средней скорости vc и учитывая, что эта скорость обладает таки­ ми же свойствами, как и скорость v для модели ламинарной вязкой жидкости. Тогда останутся в силе соотношения (1) — (16),

Эта разность определяет скорости относительного движения «совмещенных» в одной точке пространства индивидуализиро­ ванных точек жидкости по отношению к своему «центру масс». Скорости в каждой точке являются функциями |, т. е. много­ значны. Возникновение таких недетерминированных связями ско­

ростей является результатом недетерминированности Dev G, в си­

25

§4. Модели гибких тел

1.Одномерное гибкое тело (нить). Будем называть спло ную среду одномерным гибким телом (нитью), если в каждой точке г0 пространства начальных состояний Do существует такое единственное направление т, вдоль которого функция r(r0, t) дифференцируема в любой момент времени. Тем самым детер­ минировано одно из собственных направлений и соответствую­ щее ему собственное число метрического тензора A-A* = G. Сравнение нити с твердым телом и идеальной жидкостью пока­ зывает, что в твердом теле детерминированы все инварианты

метрического тензора, в идеальной жидкости — лишь третий его инвариант, а в нити — одно из собственных направлений и соот­ ветствующий этому направлению инвариант. Из определения ни­ ти следует, что в любой момент времени существует лишь одна сопутствующая координата q\ = q с касательной т, совпадающей с детерминированным собственным направлением аффинора А.

Итак, под нитью можно понимать индивидуализированную дифференцируемую кривую, перемещающуюся в пространстве в соответствии с уравнением

где ф — криволинейная координата на кривой.

В качестве ф можно было бы взять сопутствующую коорди­ нату q, однако, как выяснится в дальнейшем, это не всегда удоб­ но.

На функцию (1) будем накладывать следующие ограничения': 1) функция (1) кусочно-дифференцируема по ф и t; 2) из нера­ венства ф!=#=ф2 должно следовать неравенство г(ф1) =т^г(ф2), что исключает возможность самокасания и самопересечения; 3) ес­ ли нить замкнута, то уравнение (1) должно обладать свойством г(ф) = г (ф + kl), трЫ — длина замкнутого контура нити, k — лю­ бое целое число.

Если дф/д<7> 1, то элемент нити удлинен; если дф/д<7< 1, то эле­ мент нити укорочен; если d^jdq=\, то элемент нити сохраняет начальную длину.

ния и и коэффициент удлинения f связаны кинематическим соот­ ношением совместности

26