Файл: Гальперин А.С. Прогнозирование числа ремонтов машин.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.07.2024
Просмотров: 80
Скачиваний: 0
В р е мя восстановления может быть весьма мало по сравнению с временем безотказной работы, тогда им
можно пренебречь и считать, что восстановление |
проис |
|
ходит |
мгновенно. Если ж е время восстановления срав |
|
нимо |
с временем работы, то д л я тех целей, д л я |
которых |
мы используем математическую теорию восстановления,
за момент отказа и восстановления следует |
принимать |
один -и тот ж е момент — время наступления |
отказа. Так, |
при расчетах ожидаемого числа ремонтов |
некоторого |
объекта время пребывания его в ремонте следует вклю
чать |
в межремонтный |
период, |
т. е. за |
межремонтный |
||||||||
срок службы следует принимать время |
м е ж д у |
д в у м я |
||||||||||
следующими друг за другом моментами |
выхода |
объек |
||||||||||
та в |
ремонт. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
Г/ |
|
Хг |
ts |
|
|
Хк |
|
|
|
|
|
° t„ |
|
tj |
t2 |
|
t3 |
- |
, |
4 |
|
|
|
t |
|
Рис. |
1. |
Схема |
процесса |
восстановления |
элемента |
|
|
||||
Н а рис. |
1 приведена |
схема |
процесса |
восстановления |
||||||||
элемента. В |
начальный |
момент |
/ о = 0 |
начинает эксплуа |
||||||||
тироваться новый элемент. Допустим, |
что в |
момент |
t\ = |
|||||||||
= Т | |
этот элемент отказал |
и был заменен |
новым |
(или |
||||||||
отремонтированным) |
с |
длительностью |
безотказной |
ра |
боты гг. Следовательно, второй отказ произойдет в мо
мент |
tz, равный |
сумме |
продолжительности |
х\ |
безотказ |
||||||||
ной |
работы |
до |
первого |
отказа и |
продолжительности Т 2 |
||||||||
безотказной |
работы |
после |
первого отказа |
до |
|
второго: |
|||||||
|
|
|
|
|
t2 |
= |
tj_ -\- Тг- |
|
|
|
|
|
|
Пусть |
этот |
процесс |
продолжается |
дальше . |
Т а к а я |
||||||||
длительность |
безотказной работы м е ж д у |
(k—1)-м |
и |
||||||||||
k-u |
отказом |
(или |
восстановлениями) |
будет |
равна |
т/,, |
|||||||
а сам k-й |
отказ (восстановление) |
произойдет |
в |
момент |
|||||||||
t;u равный сумме всех длительностей безотказной |
работы |
||||||||||||
т; до |
k-ro |
отказа: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это означает, что /г-н ремонт произойдет в момент времени, равный сумме доремонтного и всех межре монтных периодов, предшествующих fe-му ремонту.
12
Совершенно ясно, что величина доремонтпого -и меж ремонтных сроков службы не может быть постоянной и
равной |
некоторому |
определенному |
значению. |
Н а |
нее |
оказывает влияние |
р я д факторов, |
в том числе |
неодина |
||
ковая |
надежность |
элементов, организационные |
меро |
приятия при постановке на ремонт или замену и, конеч
но, неодинаковость условий эксплуатации . |
|
Поэтому |
эти |
||||||||||||
сроки |
службы |
имеют |
некоторый |
разброс |
около |
сред |
|||||||||
него значения, т. е. являются случайными |
величинами . |
||||||||||||||
Таким образом, время |
безотказной |
работы, к а к |
и |
лю |
|||||||||||
бая другая |
случайная |
величина, |
может |
быть |
з а д а н о |
||||||||||
функцией распределения |
или |
плотностью |
распределе |
||||||||||||
ния. В дальнейшем мы будем различать |
распределения |
||||||||||||||
времени |
до |
первого |
отказа |
(распределение |
доремонт |
||||||||||
пого |
срока |
службы) |
и |
распределения |
времени |
между |
|||||||||
двумя |
|
последовательными |
отказами |
|
(распределение |
||||||||||
межремонтного |
срока |
с л у ж б ы ) . При этом |
будем считать, |
||||||||||||
что все распределения времени м е ж д у отказами |
одина |
||||||||||||||
ковы |
(все межремонтные |
сроки |
службы |
распределены |
|||||||||||
одинаково) . Такое допущение возможно, |
так к а к |
прак |
|||||||||||||
тически |
эти |
распределения |
отличаются |
незначительно. |
|||||||||||
Введем |
обозначения |
для |
функции |
распределения |
|
вре |
|||||||||
мени |
до |
первого отказа |
(доремонтпого |
срока) F(t), |
д л я |
||||||||||
функции распределения времени между отказами |
(меж |
||||||||||||||
ремонтного |
срока) |
G(t). |
|
Соответственно |
плотности |
||||||||||
распределения |
обозначим |
через f(t), |
|
g(t). |
|
|
|
|
|||||||
Напомним, |
что функция |
распределения |
длительно |
сти т безотказной работы есть вероятность того, что эта
длительность не превышает |
величины |
t: |
|
|
^ ( 0 = ' Р { т < * } , |
|
(12) |
||
где Р — символ вероятности. |
|
f(t) |
|
|
Плотность ж е распределения |
есть |
производная |
||
от функции распределения и ее |
можно представить |
|||
/(0 = - ^ . |
*(0 |
= - |
^ . |
(13) |
В свою очередь, функция распределения |
есть инте |
|||
грал от плотности распределения: |
|
|
||
/ ? ( 0 = { / ( т ) ' Л , |
G(t) |
= ^g(x)dx. |
(14) |
13
В общем случае нижний предел интегрирования дол жен быть —оо, однако выше оговаривали, что величина
х принимает лишь |
положительные |
значения. |
|
Кроме времени |
безотказной |
работы, элементы харак |
|
теризуются еще |
одной числовой |
величиной — надеж |
|
ностью. Надежность о т р а ж а е т |
способность элемента к |
безотказной работе и поэтому представляет собой веро ятность того, что элемент не откажет до времени t. Эта величина носит название функции надежности. Очевид но, она является дополнением к функции распределения времени безотказной работы. Обозначив функцию на
дежности |
через |
Q(t), |
можно |
написать |
следующее |
соот |
||||
ношение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q(t) = |
P{x>t) |
= l - f ( 0 |
= |
lf(x)dx. |
|
(15) |
||
|
|
|
|
|
|
clQ (О |
|
|
|
(16) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Имеет |
место |
последовательность |
случайных |
вели |
|||||
чин |
T I , |
Т 2 , •-, |
Xk (см. рис. 1). В |
теории восстановлени |
||||||
эта |
последовательность |
получила |
название |
процесса |
||||||
восстановления. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким |
образом, |
процесс |
восстановления |
элемента |
представляет собой протекающий во времени процесс, в
котором моменты отказов |
th чередуются со |
значениями |
тА времени безотказной работы. |
|
|
Р а з л и ч а ю т несколько |
видов процесса |
восстановле |
ния. Ограничимся рассмотрением двух видов процесса восстановления, которые реализуются в системах, пред ставляющих практический интерес в связи с оп
ределением |
потребности |
в |
ремонте |
машин |
. и |
обо |
||||||
рудования. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хн, |
•••} |
|
Если |
система случайных |
величин |
{ть |
тг, |
|
|||||||
является |
независимой и |
одинаково |
распределенной, |
то |
||||||||
процесс |
называется |
простым |
процессом |
восстановле |
||||||||
ния. Это |
означает, |
что замена элемента |
осуществляется |
|||||||||
-идентичным |
ему элементом |
(например, |
перегоревшая |
|||||||||
электролампа |
заменяется |
такой ж е |
новой) |
или |
после |
|||||||
ремонта |
элемент полностью |
восстанавливает |
первона' |
|||||||||
чальные |
свойства. В этом случае распределения |
|
сроков |
|||||||||
службы |
после |
каждого |
восстановления |
остаются |
одни |
и те же,
14
Если ж е случайные величины t i , то, тл, ... имеют различные распределения, то такой процесс называется
общим |
процессом |
'восстановления. |
|
Это |
означает, |
что |
|||||||||||
после |
каждого |
восстановления |
(замены |
или |
ремонта) |
||||||||||||
параметры распределения времени |
безотказной |
|
работы |
||||||||||||||
изменяются. Частным случаем общего процесса |
восста |
||||||||||||||||
новления |
является |
рассматриваемый |
нами |
в |
дальней |
||||||||||||
шем процесс, в котором функция |
F(t) |
распределения |
|||||||||||||||
времени |
до |
первого восстановления |
(ремонта) |
|
отли |
||||||||||||
чается |
от функции |
G(t) |
распределения |
времени |
между |
||||||||||||
последующими |
восстановлениями |
(ремонтами), |
|
причем |
|||||||||||||
между |
всеми последующими |
она |
остается |
одной |
и той |
||||||||||||
же. Это означает, что все межремонтные сроки |
распре |
||||||||||||||||
делены одинаково, но отличаются от доремонтных. |
|||||||||||||||||
|
При |
изучении |
процесса восстановления |
|
в |
|
системе |
||||||||||
однородных |
элементов |
будут |
|
интересовать |
в |
дальней |
|||||||||||
шем средние значения числа восстановлений за |
|
время |
|||||||||||||||
функционирования |
системы |
и |
з а |
единицу |
|
времени, а |
|||||||||||
т а к ж е |
общее |
число функционирующих |
в |
системе |
эле |
||||||||||||
ментов в тот или иной момент времени. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
v(t) |
Математическое ожидание |
H(t) |
случайной |
величины |
|||||||||||||
определяется |
по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
H(t) |
= M[v(t)}, |
|
|
|
|
|
|
|
(17) |
||
где |
М — символ |
математического |
о ж и д а н и я ; |
v(t) |
— с л у |
||||||||||||
чайная величина, равная числу восстановления |
|
элемен |
|||||||||||||||
та |
за |
время |
t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция |
H(t), |
р а в н а я среднему |
числу |
|
восстановле |
ний элемента за время t, носит название функции вос
становления |
элемента. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Среднее |
число |
восстановлений (замен |
или |
ремонтов) |
||||||||
элемента |
в |
единицу |
времени в момент |
t |
носит |
название |
||||||
плотности восстановления элемента. Обозначим |
ее |
че |
||||||||||
рез h(t), |
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
*(0 = - ^ L |
|
|
|
|
(18j |
||
есть |
производная |
от |
функции |
восстановления. |
Таким |
|||||||
образом, |
плотность |
восстановления характеризует |
|
ско |
||||||||
рость |
(интенсивность) |
процесса |
восстановления. |
|
|
|||||||
К а к функция восстановления |
H(t), |
так и |
плотность |
|||||||||
восстановления h(t) |
зависят от |
распределений |
времени |
|||||||||
безотказной |
работы |
(от |
распределений |
|
величин |
доре |
||||||
монтных |
и |
межремонтных сроков) . С |
уменьшением |
ве- |
Личины |
|
среднего |
значения |
межремонтного |
|
срока, |
||||||
естественно, |
увеличивается |
интенсивность |
восстановле |
|||||||||
ния. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В работе |
[14] |
приведены |
основные |
функциональные |
||||||||
зависимости |
между у к а з а н н ы м и величинами как |
для |
||||||||||
процесса |
восстановления |
элемента, |
так |
и для |
системы |
|||||||
элементов, в которой происходит изменение |
количест |
|||||||||||
венного состава их за счет поступления |
новых |
и |
списа |
|||||||||
ния отслуживших |
полный |
срок |
службы, |
а т а к ж е |
даны |
|||||||
выводы |
некоторых |
зависимостей. |
|
|
|
|
|
|||||
Мы |
приводим |
основные |
уравнения |
и |
функции, не |
|||||||
углубляясь в их выводы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Чтобы |
в дальнейшем |
различать |
формулы, |
относя |
||||||||
щиеся к |
|
простому |
процессу |
восстановления, |
когда |
рас |
пределения доремонтных и межремонтных сроков оди
наковы, |
т. |
е. f(t)—g(t) |
от |
формул д |
л я |
общего |
процес |
са, когда |
распределения |
доремонтных |
.сроков f(i) |
отли |
|||
чаются |
от |
распределений |
межремонтных |
сроков |
g(t), |
введем д л я обозначения функции восстановления и плот
ности |
|
восстановления |
в |
простом |
процессе |
соответст |
||||||||||||
венно |
|
символы |
<P(t) |
|
и |
ф(0, |
|
сохранив |
обозначения |
|||||||||
H(t) |
и |
h(t) |
д л я |
тех ж е |
величин |
в общем |
процессе вос |
|||||||||||
становления. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Связь |
между |
плотностью |
восстановления |
элемента |
||||||||||||||
и плотностью |
распределения времени |
безотказной |
рабо |
|||||||||||||||
ты д л я |
простого |
процесса |
в ы р а ж а е т с я |
известным |
урав |
|||||||||||||
нением |
|
|
- |
|
|
|
< |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф ( 0 - Д 0 + [ / ( ' - т ) Ф ( т ) Л : , |
|
|
|
(19) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
а д л я |
общего |
процесса |
уравнением |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
А(0 |
= |
Д 0 + |
|
\g(t-x)h{x)dx. |
|
|
|
|
(20) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Первое |
слагаемое |
в |
правой |
части |
этих |
уравнений |
||||||||||||
представляет |
собой |
ожидаемую |
|
интенсивность |
восста |
|||||||||||||
новлений |
элемента |
(ожидаемое |
среднее число |
восста |
||||||||||||||
новлений в единицу времени в момент |
t) |
в связи |
|
с п е р - . |
||||||||||||||
вым отказом. Н о |
так |
как за |
время t |
восстановленный |
||||||||||||||
один |
раз |
элемент |
с |
некоторой |
вероятностью |
может от |
||||||||||||
к а з а т ь |
и |
быть |
восстановленным |
второй, а |
затем |
третий |
||||||||||||
и т. д. |
раз, |
то |
второе |
слагаемое |
приведенных |
уравнений |
16