Файл: Гальперин А.С. Прогнозирование числа ремонтов машин.pdf

параметры

вновь

поступающих

в нее

элементов

такие

ж е , как

и

у ранее

поступивших.

Таким

образом,

в" ста­

тической

системе

распределения

доремонтных,

межре ­

монтных

и полных

сроков

службы

остаются

неизмен­

ными.

Н а з о в е м систему динамической если распределения

указанных

выше сроков

с л у ж б ы

со

'временем

изменя­

ное изменение больше соответствует реальным

объектам,

так как конструктивные усовершенствования

или

изме­

нения технологии производства новых машин

происхо­

дят не непрерывно, а лишь в некоторые моменты

вре­

мени. Поэтому при рассмотрении в дальнейшем

задач,

связанных с расчетом

ожидаемого

числа

восстановле­

ний (ремонтов

или

з а м е н ) ,

а т а к ж е

ожидаемого наличия

элементов в динамической

системе,

будем

весь

проме­

жуток времени, д л я которого призводится расчет,

раз ­

бивать на интервалы,

в к а ж д о м из которых

параметры

распределения

сроков

службы вновь поступающих ма­

шин практически

постоянны.

Пусть в начальный

момент /о=0

функционирования

системы в

ней

имеется

п 0 элементов. С интенсивностью

v(t)

в

нее поступают

новые элементы, которые, отслу­

ж и в

срок

с л у ж б ы

в

соответствии

с распределением,

плотность

которого

fc(t),

выбывают. Тогда функция

на­

личия

(ожидаемое

число наличных элементов

в

системе

в момент

t) N(t)

представится в виде

N(f)

=

nQQe(t)

+

jv(t—t)Q*Wdx.

(28)

6

О ж и д а е м о е

число

списанных

элементов за

время t

будет 'иметь

вид

Nc

(t) =

n0Fc

(t) +

\ v { t -

x) Fc ( T )

dx,

(29)

6

а интенсивность списания

Vc (0 =

«„/с (0 +

J » (t ~

"О / с «

dx,

(30)

о

Обозначим

через

R(t)

математическое

о ж и д а н и е

числа

восстановлений

(ремонтов)

в

статической

систе­

ме за время t, а через

r(t)—интенсивность

восстанов­

лений в ней

(среднее

число

восстановлений

в

системе

в единицу времени в момент

t). Тогда для

этих

величин

можно

написать следующие

в ы р а ж е н и я :

г (t) =

nQQc

(t) h (t)

+

f v (t -

x) Qc (т) h (г) dx,

(31)

6

где

h(t)

соответствует

уравнению (19) или (20) в зави­

симости от того, какому процессу

(простому

или

обще­

му)

подчиняется восстановление элемента; т — перемен­

ная

интегрирования

по

времени;

t

t

х •

R (t) =

n0

J Q C

( T ) h ( T )

dx +

j

[ v (x-x)

Qc (x) h (x) dxdr,

(32)

0

0

0

где

x — переменная

интегрирования

по времени. .

В дальнейшем

для

расчетов потребности

в

ремонте

вательно,

в

таких

з а д а ч а х

следует

принимать

началь ­

ное

число

объектов

(элементов)

равным

нулю,

т. е.

п0 = 0. Тогда

зависимости (31) и (32)

примут

более

про­

стой

вид:

=

t

(33)

r{t)

\v(t-x)Q,{x)h{x)dx;

R

(()

=

j ' Г v (x — x) Qc (x) h (x) dxdx.

(34)

6

0

Однако

и

в

таком виде

трудно

использовать

их

д л я

денных уравнений

и вычислению

соответствующих функ­

ций с помощью Э В М .

Из

предыдущего

изложения

следует,

что

функцио­

нальные зависимости д л я ожидаемого числа

ремонтов

представляют собой

в ы р а ж е н и е

д л я

математических

ожиданий

(для

средних значений)

этого

числа,

имею­

щего

некоторый

разброс,

характеризующийся,

как

обычно

принято

это делать,

соответствующей

диспер­

сией. Дисперсию

W(t)

числа

восстановлений

в

системе

(ремонтов

в парке

машин)

можно

получить

суммирова­

нием

в ы р а ж е н и й

(24)

или

(25)

по

всем элементам .

Это

приводит

к весьма

с л о ж н о м у

в ы р а ж е н и ю

д л я

дисперсии

системы, которое не приводим. В программе

д л я

Э В М

предусмотрено ее вычисление и печатание

полученных

результатов.

Д л я

простого

процесса

восстановления

элемента,

когда распределения доремонтных и межремонтных

сро­

ков с л у ж б ы одинаковы,

т.

е.

f(t)=g(t),

функция

восстановления

H(t)

д л я

больших

значений

времени /

(когда число замен или ремонтов

достаточно велико)

становится асимптотически

линейна

(см.

рис.

2)

и

мо­

ж е т

быть

приближенно представлена

формулой

Я ( 0 «

+

- ,

(35)

где

Г

м

и

значение

и

дисперсия

межре ­

— среднее—

монтного

срока.

П ри

этом

число

восстановлений

асимптотически

нормально с

дисперсией:

D(t)^^L.

(36)

м

Это выражение дает возможность определять

раз ­

брос

числа

восстановлений

при

больших

I,

не

вычис­

ляя

функции

(24).

Как в простом, так и в общем процессе

восстанов­

ления плотность

восстановления

h(t)

элемента

при

до­

статочно

больших

t т а к ж е стабилизируется

(см. рис. 2),

становясь равной обратной величине средней

продолжи ­

тельности времени м е ж д у отказами

(обратной

величи­

не межремонтного срока с л у ж б ы ) :

'

м

(37)

Формулы

(35) — (37)

позволяют

определять

важней ­

шие

характеристики процесса

восстановления

элемента

без решения сложных уравнений, если время

протека­

ния

процесса

достаточно

велико

(порядка

нескольких

средних

межремонтных

сроков

службы

Г м ) .

К сожалению,

аналогичных

асимптотических в ы р а ж е ­

ний

д л я

процесса восстановлений

в системе

элементов

написать

не представляется

возможным, поэтому

при­

ходится

пользоваться основными

зависимостями

(31) —

тенсивности,

рассеивания

этих величии около

средних

значений

и

ожидаемого

наличия элементов в

системе

на любой

момент времени ее функционирования.

К а к у ж е

отмечалось,

время безотказной

работы

(до-

ремонтные

и межремонтные

сроки

службы)

представ­

ляет собой

случайные

величины,

некоторым

образом

рассеянные

около

своих

средних

значений, а

поэтому

з а д а в а е м ы е

в виде

функций

распределения

F(t) и

G(t)

сроков) или

соответствующих им плотностей

распреде­

ления f(t)

и

g(t).

П о физическому смыслу описываемые случайные ве­

личины

могут

быть только положительными .

Очевидно

т а к ж е ,

что

их

распределения носят не дискретный,

а не­

прерывный

характер .

Мы не рассматриваем способ отыскания функций рас­

пределения

доремонтных и межремонтных сроков

для

шин. Это

самостоятельная и очень в а ж н а я

з а д а ч а

ста­

тистического анализа,

выполнение

которой

требует

дли­

тельных

и обширных

наблюдений

в различных условиях

и зонах

эксплуатации . Методика

обработки

таких

ма­

Целесообразно указать, какие

из

свойств распределе­

ний и их параметров оказывают

наибольшее

влияние

на результаты расчета, как влияют

изменения

тех

или

иных параметров распределений

на

эти результаты,

ка­

распределений

наработок.

Д а д и м краткую

характеристику

практически

наибо­

лее

распространенных

законов

распределения

и у к а ж е м

вид

преобразования

в безмерную или однопараметриче-

скую форму соответствующих им плотностей

распреде­

ления.

Показательное

распределение.

Плотность

распреде­

ления может быть представлена в виде

/(0

= Яе~",

(38)

где К— некоторый положительный napaMeip.

Математическое

ожидание случайной

величины

(ее

среднее значение),

подчиненной

показательному

закону

распределения,

равно

l/к,

среднеквадратическое

откло­

нение т а к ж е 1Д, следовательно,

коэффициент

вариации

V

(отношение

среднеквадратического

отклонения

сг

к математическому

ожиданию

М)

всегда

равен

еди­

нице:

М =

—;

о =

—;

V = - ^ =

1.1

(39)

М