Файл: Булах Е.Г. Автоматизированная система интерпретации гравитационных аномалий (метод минимизации).pdf

Скачать файл (4,71Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 28.07.2024

Просмотров: 106

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.


объединяются	под общим	названием — знакоопределенные формы.
Если квадратичная форма (І.5а) принимает					и положительные,					и
отрицательные	значения,	то ома	называется			знакопеременной.
Если в (1.5а) форма имеет значения			одного		знака, но в каких-то
точках принимает нулевые значения, то такая					квадратичная				форма
называется квазизнакоопределенной.					точке Ма			(р<°>, pf>
Теперь обратимся к самой теореме. Пусть				в
pjj>>) возможен экстремум функции F =				F	(ри	рг,		pN). Рас
смотрим в этой точке второй дифференциал				C12F/M0-			О н	может быть
записан выражением (1.5). Если (1.5) в точке М0						представляет со
бой знакоопределенную		квадратичную форму,				то	функция		F	=

=F (рг, рг, PN) в точке М0 имеет локальный экстремум. При

этом, если d2F	< ; 0, то функция в	точке	М0	достигает максимума,
а если d?F >• 0, то — минимума.		Когда второй дифференциал пред
ставляет собой	знакопеременную	форму,	то	в этой точке функция

не имеет экстремума. При квазизнакоопределенной форме второго дифференциала функция может иметь экстремум или не иметь его. Для выяснения этого вопроса необходимы дополнительные исследо вания.

Критерий

знакоопределенности

квадратичной

формы

установ

лен Сильвестром и называется его именем.

Квадратичная

форма

(І.5а)

характеризуется

симметричной

матрицей

Гапа12

. . .

a1N

~І

Определители

UNN

А-1 — а1ѵ

а11 а12

Л 3

%1 й 1 2 а 1 3

и2і 0-22

^21

^22

^28

^31

^82

^88

а1Хa21

•

Cl\N

a12

a22

•

CloN

называются главными

минорами

матрицы

А.

Д л я

того,

чтобы

квадратичная

форма (І.5а)

была

положительно

определенной,

необходимо

достаточно

выполнение

неравенства

Д х Х ) ,

Л 2

> 0 ,

Л 3

> 0

AN>0.

Д л я того, чтобы квадратичная

форма была отрицательно

определен

ной, необходимо

достаточно,

чтобы

знаки

главных

миноров

Â-y, А%,

AN чередовались,

причем

АуК^О.

Рассмотренный

метод

является

классическим.

Д л я

его реали

зации

необходимо

найти

решение

системы

(1.4).

При

решении

гравиметрических задач — это система трансцендентных уравнений. В общем виде она не решается. В каждом конкретном случае она

решается	приближенными			численными методами.
К минимизации функционала (1.3) можно подойти иначе. На
параметры	р\	могут	быть	наложены	некоторые ограничения			вида
	Ф< (Pi. Р2 .		• • • .	Pu) < 0."	t=l,2,	.	, п.	(1.7)
Системой соотношений (1.7) определяется область D. Задача								со
стоит в том, чтобы среди точек области D						найти	такую точку	Р*,
для которой		достигается
		F	(Р*) =	min F (Р),		PQD.

Сформулированная так задача относится к классу задач нелиней


ного программирования.				В самом		общем виде — это		задача функ
ционального		программирования.				В зависимости от		вида	функции
F и области		D,	которая	определяется			неравенствами (1.7), задача
может упрощаться и сводиться к задачам, методы решения									которых
изучены.	В	частности,		если	функция		(1.2) выпуклая и		гладкая,
а неравенства (1.7) определяют выпуклую область D, то поставлен
ная задача сводится к выпуклому						программированию.
Понятие		выпуклости		функции		является очень важным. Д л я вы
пуклых функций			установлены		теоремы о критериях единственности
обратной	задачи.		Рассмотрим		некоторые формулировки и				теоремы

о выпуклых функциях. Здесь они приводятся без доказательства. Более подробное изложение этого вопроса можно найти в [13, 27].

Пусть в N-мерном пространстве заданы две точки

Р ( 1 > и Р&).

От

резком Р(1)рі2\

соединяющим

эти

точки,

называется

множество

точек

Р =

Рт

t {Р(2)

— Рт),

где

t — любое

число

из

сегмента

[0,

( 0 < f <

1).

Множество Р называется выпуклым, если

вместе с любыми

дву

мя его точками Р ( " и Р^

этому

множеству

принадлежат

все

точки

отрезка

PwPi2).

Пусть

в N-мерном пространстве

задана

функция

(Р),

{Рі> Рг>

•••> Рлг}. F

(Р)

выпуклая

функция

на

множестве

Р,

если

для

любых

двух

точек

F(i)

Р&

выполняется

условие

(Р0)

/ {Р{2)

— Р ( 1 ) ))

< F (P( l ) ) - f

t [F (Р{2)) -

F (P(l))].

(1.8)

Если в (1.8) строго справедлив знак неравенства, то говорят о стро гой выпуклости.

Очень важной является теорема, которая устанавливает крите рий выпуклости. Пусть функция F (Р), заданная на выпуклом мно жестве Р, дважды дифференцируема. Если во всех точках этого множества второй дифференциал d2F представляет собой положи тельно определенную форму, то F (Р) является выпуклой функцией

на множестве Р. Таким образом, на основании исследования второ го дифференциала делается вывод о выпуклости функции.

Почему же так важно установить выпуклость минимизируемой функции? Дело в единственности минимума. Это утверждает сле

дующая теорема.		F (Р),
Дифференцируемая	строго выпуклая функция		заданная
на выпуклом множестве Р, может иметь локальный		минимум лишь
в одной точке этого множества.
Конечно, в самом	общем виде функционал (1.3)	может	оказать
ся не выпуклым, так как обратные задачи относятся		к классу некор

ректных и ие имеют единственного решения. Однако, накладывая ограничения на форму элементарного тела и закрепляя некоторые его параметры, мы всегда можем добиться того, что решение задачи не будет выходить из одного выбранного класса. Этот своеобразный регуляризатор обеспечивает единственность решения задачи.

В методах решения задач нелинейного программирования выде ляются два основных направления. Одно из них объединяет методы детерминированного поиска решения. Строятся различные много шаговые поиски решения. На каждом шаге выбирается направле ние поиска, причем используются различные локальные свойства минимизируемой функции (например, градиент этой функции). Второе направление объединяет методы случайного поиска. Каж дое направление имеет и сильные и слабые стороны.

Детерминированные методы имеют сложные алгоритмы. Если ми нимизируемая функция имеет локальные или граничные минимумы, то сходимость результатов расчета к глобальному (главному) ми

нимуму, как правило, не		гарантируется. Д л я		поиска	глобального
минимума требуется опробование			начальных точек поиска.
В методах	случайного	поиска	алгоритмы	довольно простые,
но они требуют	частого вычисления целевой функции.

При минимизации (1.2) или (1.3) следует иметь в виду их отно сительную громоздкость. Производные от функций вычисляются почти без дополнительных затрат времени — при вычислении самой функции. Однако не эти особенности являются решающими при выборе метода минимизации. Следует учитывать, что выбор началь ного приближения, который сделан квалифицированным специали стом с учетом знания геологических особенностей района исследова ния, позволяет получить решение задачи в одном заранее выбран ном классе. Последнее и явилось решающим фактором при выборе

метода	минимизации. Д л я	минимизации (1.2)	или	(1.3) исполь
зуем	градиентный метод	скорейшего спуска.	Пусть	вектор Р =

={Ръ Рг, •••> PN) обращает (1.2) или (1.3) в минимум. Тогда во всех

других соседних точках, которые характеризуются векторами Р^, функционал

F (P ( f c ) )> F (Р).

Отыскание точки Р заключается в следующем. Пусть известно на чальное приближение Р{0) = [pf\ р1^, р$]. Построим

вектор grad F (P( 0 ) ) =

{ F P L ,

F ' P N ) .

Известно,

что в

направ

вектора-градиента

функция F (Р) будет

возрастать, значит,

в про

тивоположном направлении эта же функция будет убывать.

Через

точку Р{0)

в направлении вектора-градиента

проведем

прямую

= РТ

—% grad F (РТ).

К,

(1.9)

Придавая

различные

значения

коэффициенту

мы

будем

полу

чать различные точки

на прямой

(рис. 2). Если

X > • 0, то точки Р

будут находиться

в области

убывания

функции

F (Р).

Значение

минимизируемой функции в любой точ

ке

на данной

прямой

можно

записать

так:

MeM=-lgradF(pM)

Р и с . 2. Отыскание точки вдоль вектора - градиента .

F = F (РФ) — Х gvad F

(РФ))),

или

F = F (À).

Найдем такое значение К = Ä,0, при ко тором F (Я0) = min. Д л я этого нужно решить уравнение

Таким образом, определена точка на прямой (1.9)

p(i) = p ( 0 ) _ ^ g r a d / 7 ( j P ( o , )	)
в которой F (РТ) принимает минимальное из возможных значений.
Теперь за начальное приближение принимаем	точку Р ( 1 > и опре

деляем новую точку Р ( 2 ) . Все вычисления сводятся к последующему определению составляющих вектора. Расчеты производятся по фор мулам

p t + 1 ^ p P ~ X K ( F P X

ntk+l)	(І . П)
Pi	(І . П)
р Г" = Р$]	-ЫК„)ь

где к — 1, 2, . . . — номер итерации. Предварительно необходимо вычислить коэффициент K K . Если при составлении и решении урав нения (1.10) возникают трудности, то можно воспользоваться при ближенным значением Х К , определенным по методу Ньютона. В от личие от точного, приближенное значение коэффициента обозначим

		F k	(1.12)
Большой	интерес	представляет	значение функции F =	F K O I L
при котором	процесс	минимизации	может быть закончен.	Будем

считать, что погрешность в вычислении функции определяется толь ко погрешностью наблюдений, а все вычисления производятся зна чительно точнее. В этом случае погрешность можно заменить диф ференциалом функции

	п
A F = 2 2		[Ѵяабл	{ХІ, Ус) — Утеор {XLT yt)\ ДК„абл.
Допустим далее, что разность наблюденной и вычисленной							анома
лий в конце	счета не превысит				погрешности	наблюдений.	Тогда
					n
	FV.OH =		AF	=	2 2 (АѴнабл)3,
ИЛИ
		F K	0 H	=	2,1 (АУнабл)2.		(1.13)
Необходимо	отметить,	что все это справедливо в том случае, если
аппроксимирующими телами можно точно описать возмущающие
геологические массы. Практически равенство (1.1) не аппроксими
рует абсолютно точно наблюденную функцию,						и минимум функции

(1.2)

оказывается

отличным

от нуля. Если значение

погрешности

поля

А У н а б л

выбрано

малым,

то может

получиться

F M

I N

> A F =

K O I L .

В этом

случае

необходимо

минимизировать

функцию

(1.2) до возможно меньшего значения. Можно ожидать, что получив

монотонную

убывающую последовательность

{F*®},

мы

не

достиг

нем

K M , причем

F I

K ) будет

мало

отличаться

от

F ( K

+ 1

) .

Целесообраз

но

предусмотреть

остановку

вычислений 'по критерию

относитель

ной

разности

І ^ - ^ І

= Д .

( І Л 4 )

Величина А может быть определена из модельных исследований или устанавливается в процессе опробования конкретных практических задач.

§ 2. ДРУГИЕ ВАРИАНТЫ З А Д А Ч И

Могут быть и другие подходы к сопоставлению наблюденной и теоретически вычисленной функции. Рассмотрим некоторые из них.

I . Составим функционал

п
F = S	I Унабл (*,, Уд — Vjeop {X[, tft) \|.		(1.15)
i = l
Последнее выражение	может быть записано	несколько	иначе.
В (1.15) входит п слагаемых, каждое из которых		берется по	абсо

лютному значению. Эти слагаемые разделим на две группы. В пер

вую включим те, где [ У н а б л (хіг г//) —	У т е о Р (хг , уі)] > О,	во	вто
рую — остальные. Число слагаемых,	которые оказались	в первой
2 2-1445	Г о с . п у б л и ч н а я		é 17

и * у ч н о - т э х н и .ѳ • к а я * б и б л и о т е к а С С О Р

Э К З Е М П Л Я Р Ч И Т А Л Ь Н О Г О 3 * " *

Смотрите также файлы

Бунин К.П. Анализ фазовых равновесий и кристаллизации металлических сплавов учеб. пособие по курсу Металлография.pdf

Вайнштейн Б.С. Применение автоматизированных систем управления в строительстве.pdf

Вайсман М.Д. Режимы и способы пуска блоков сверхкритического давления учеб. пособие.pdf

Пирометрические датчики.docx

Raytek Display Box.pdf

Файл: Булах Е.Г. Автоматизированная система интерпретации гравитационных аномалий (метод минимизации).pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно