Файл: Булах Е.Г. Автоматизированная система интерпретации гравитационных аномалий (метод минимизации).pdf

Скачать файл (4,71Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 28.07.2024

Просмотров: 110

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

													Т а б л и ц а		1
Номер	1	2			4	5	6	7		к	9	10	и	12
точки
X	0	200	300		400	500	550	600	650		800	950	1050	1150
ѴХ2 74 168 32 —88						- 5	13	38	83		159	123	—17	—162
взяты	метры.		Исходя			из самых общих предпосылок, выберем
схему первого приближения,							параметры			ее приведены в табл. 2. (Не
						которые		замечания				методического харак-
				3	2	тера	по расчету			этих параметров будут при-
Номер воз -					d	ведены во второй					главе).
мущаіощего		'	h			Данные			табл.		1,	2 являются исходны-
тела						ми	для	решения			задачи.		Результаты		ре-

1		120	200	3	2 0	шения сведены				в табл. 3.			Здесь	показаны
						все	промежуточные					результаты		вычисле-

2		60	100	570		ний	от	итерации			к	итерации		(некоторые
3		130	220			итерации		опущены).
				1	0 4 0	Функция			при начальных значениях						па
						раметров получилась						равной 18768 этвеш2.
Функция		F в последующих					итерациях			принимает			такие	значения:
12449,	7369, 4376,				2780, . . . .

га	о		•2					7		0
	0	i	•2	3	4 .	5	6	7	8	0
Й І І
h	120	123	129	132	136	137	139	138	139	141
ftl	200	198	194	192	190	190	189	193	192	192
	320	319	316	313	309	306	306	305	306	306
h	60	54	53	57	58	65	62	71	68	66
	100	104	105	104	105	106	109	111	113	115
	570	573	578	583	588	594	594	596	596	596
	130	134	141	146	149	149	149	148	148	148
lh	220	218	213	209	206	205	205	203	203	201
d,	1040	1040	1042	1043	1045	1047	1048	1049	1049	1049
F	18768	12499	7369	4376	2780	2378	1899	2559	1628	1302

	Определим значение F, при котором следовало бы закончить
вычисления. Обратимся к формуле							(1.13). В нашем случае			п = 13.
Если		принять, что погрешность				наблюдений составляет 3				этвеш,
тогда		FKoa	=	234 этвеш?.	В 26-м приближении				получилось		/-2 0 =
=	153 этвеш2,			и значение	искомых		векторов Р} = (147, 199,				302),
Рг	= (82,		137, 600), Ps =		(148,	198,	1049). После 37-го приближе
ния получили F47 = 31 этвеш2						и Pj =		(149, 200, 301), Р2		=	(86,
144, 600), Р3 = (149, 198, 1050).
	Положим,			что цилиндры имеют			избыточные		плотности	а х	= 1,
<т2	=	0,8, а 3 =		1. В этом случае легко вычислить радиусы R,						= —iL .
Получаем			^	= 301, R2 =	97, Rs	=	149.
	Приведенная аномалия была рассчитана для трех цилиндров,
имеющих следующие параметры: Рг=								(150; 200; 300), Р2— (89,4;
150;		600),	Р3	= (150; 200;	1050).

§ 5. ХАРАКТЕР С Х О Д И М О С Т И МЕТОДА СКОРЕЙШЕГО СПУСКА ПРИ РЕШЕНИИ ОБРАТНЫХ З А Д А Ч ДЛЯ ГРУППЫ ЦИЛИНДРОВ

Рассмотрим табл. 3, в которой приведены результаты вычисле ний. Вначале функция убывает. На седьмой итерации наблюдается нарушение монотонного изменения функции. Причем, градиент из менения функции на последующем шаге принимает самое большое

									Т а б л и ц а		3
приближения
											„ 5
10	п	12	13	14	15	16	17	18	26	37	Точноі зиачеі
141	142	143	142	143	146	144	145	146	147	149	150
194	194	194	196	195	195	195	197	197	199	200	200
305	305	305	304	304	305	304	303	304	302	301	300
73	72	70	75	73	72	74	79	78	82	86	89,4
117	119	121	122	123	127	126	129	130	137	144	150
597	597	597	598	598	598	598	599	599	600	600	600
148	148	148	148	148	149	148	147	147	148	149	150
201	201	201	201	200	200	200	199	199	198	198	200
1049	1049	1049	1049	1049	1049	1049	1049	1049	1049	1050	1050
1049	1049	1049	1049	1049	1049	1049	1049	1049	1049	1050
1709	1092	909	1098	737	823	578	603	396	153	31

120	127	135	137	140	140,9	142,4	143,5	144,5
200	195	190	190	190	192	193,6	195,1	195,4
320	317	310	308	305	305	305	304,4	304,2
60	47	57	61	66	68	70,6	73,5	74,4
100	107	106	107	113	116,5	120,4	124,1	126,4
570	576	586	590	597	596	597	597,8	598,1
130	137	149	149	148	148	148,1	147,8	147,7
220	216	207	206	203,5	202,4	201,3	200,3	199,9
1040	І04І	1044	1046	1049	1048,8	1048,8	1018,9	1049

0,02102 0,0247 0.04157 0,0810 0.07954 0,07634 0,1064 0,0580 0,0304

0,25	_	14S97	3820	2235	1471	1161	896	672	551	451	276
0,25	—	14S97	3820	2235	1471	1161	896	672	551	451	276
0,5	—	12449	3365	2269	1697	1346	1013	822	579	436	291
0,75	—	11137	3319	2686	2386	1904	1396	1201	716	492	370
1	—	10728	3627	3431	3568	2865	2060	1838	965	623	515
1,25	—	11032	4242	4457	3272	4260	3018	2723	1332	831	724
1.5		IIC9S	5121	5724	7529	6119	4285	3872	1821	1119	1000
	18768	10728	3319	2235	1471	1154	896	672	551	436	276

значение. После 10-й итерации опять наблюдается увеличение значения F, которое необходимо минимизировать. Далее скачки

взначениях функции становятся довольно частыми. Какова же причина скачков?

Как отмечалось	ранее, в методе	скорейшего спуска отыскивает
ся вектор-градиент.	В окрестности	выбранного	приближения вдоль
этого направления	происходит наибольшее		изменение функции.

В самом начале она интенсивно уменьшается, затем, достигая миниму ма в какой-то точке, начинает увеличиваться. Задача состоит в том, чтобы определить точку, в которой функция достигает минимума. Коэффициент XK и определяет эту точку. Однако вычислить его довольно сложно. Приближенное значение Х К , определенное по ме тоду Ньютона, не всегда удовлетворяет необходимой точности.

Обратимся снова к примеру, который приведен в предыдущем параграфе.

В каждой итерации сделаем несколько вычислений функции F вдоль вектора-градиента. Дл я этого будем полагать XK = SX^N- Па-

,	1	1 3	. 5	3 ,	,	И з	шести
раметру s будем давать значения	-j-,	- у, -^,	1,	- у .		И з	шести
значений функции выбрем F = Fmln	и	соответствующее				этой	функ-

															Т а б л и ц а		4
приближений
20	21		22		23	24	25		30	35			37		39	40	Точное значеш
20	21		22		23	24	25		30	35			37		39	40
																	1
146,5	147,1		142,2		145	147,3	146,2		147,9	148,8			149	149,2		149,4	150
197,5	197,5		198,6		197	196,4	197,6		198,1	199,6			199,6	199,8		199,7	200
302,8	302,7		303,4		303,6	302,6	302,1		301,8	300,9			300	300,6		300,6	300
80	79,6		82,6		79,7	81,6	81,5		83,4	86,6			86,9		87,6	87,5	89,4
134,1	135,2		134,1		136,1	136,6	138,1		140,8	145			145,7	146,7		146,9	150
599	599,2		599		598,9	599,1	599,6		599,7	600,1			600,1	600.2		600,1	600
147,4	147,7		147,5		147,4	147,3	147,9		147,7	148,3			148,5	148,7		148,8	150
198,9	198,6		198,6		198,4	198,2	197,9		198	198.2			198,4	198,6		198,6	200
1049,2	1049,3		1049,3		1049,4	1049.4	1049,3	1049,5		1019.8			1049,8	'049,8		1049,8	1050
0,2152	0,1278		0,1043		0.01165	0,1560	0,1237	0,1060		0,3996			0,3450	0,4060		-	-
функции F
244	219			955	737	192	298		84	31			19	13,9		11	—
288	264			3437	558	187	160		100	28			23	13,7		9,7	—
407	374			7673	418	219	195		141	30			333	16		10	—
603	547		13690		318	288	261		208	36			48	21		12	—
877	781		21537		256	396	357		299	47			70	29		15	—
1230	1071		31283		232	543	481		416
244	219		955		232	187	160		84	28			19	13,7		9.7	-
ции Xk. Этот коэффициент							используем			для		дальнейших				расчетов
параметров			цилиндрических				тел. Сделанные				таким			образом вычис
ления	приведены				в табл. 4.
На	рис. 5 показаны					графики изменения					функции			вдоль вектора-
градиента.			В	первых		итерациях		минимум			функции				соответствует
значению Xk			=	À^(s =		1). Однако		уже после второго приближения
функция		F принимает				минимальное			значение				при Xk		= sXw,		где
						3		1			1		п		„	_
вначале		параметр s — -^, затем s =							- у и s =			-^. I Іо кривой 7 вид
но, что вычисленное значение функции F при s — 1 будет																большим,

чем в предыдущем приближении. Решая задачу с фиксированным

значением s = 1, мы и получали скачки		в изменении функции F
(рис. 5, б).
Необходимо	иметь в виду еще одну особенность. После скачков
в значении функции следующая итерация,		как правило,	сопровож
дается большим	значением коэффициента	s. Так, из табл.	4 видно,

что после 21-го приближения произошел сбой в машине (вычисления велись без двойного счета), нарушилось монотонное убывание функ ции и 22-е приближение стало хуже предыдущего. При вычислении

24	25

23-го приближения	значение коэффициента s =	- у . Это значит,
что вектор значительно увеличился. Изменение		функции вдоль
F{s)-]o3	вектора проиллюстрировано	на рис. 5, е. Уже
і	в последующих итерациях,	когда значение

Р и с . б. Изменение функции F вдоль вектора - градиента (различные итерации)-

Приведенный пример указывает на необходимость определения коэффициента s при вычислениях. В дальнейшем все программы вычисления составлены с учетом расчета величины s.

§ 6. О Б УЛУЧШЕНИИ С Х О Д И М О С Т И МЕТОДА СКОРЕЙШЕГО СПУСКА ПРИ РЕШЕНИИ ОБРАТНЫХ З А Д А Ч ГРАВИРАЗВЕДКИ

В предыдущем разделе был установлен характер изменения функ ции вдоль вектора-градиента. В этом направлении функция F, ко торую необходимо минимизировать, зависит от одного параметра. Этим параметром является величина s. Задача состоит в том, что бы найти такое значение параметра s, при котором функция F вдоль направления вектора-градиента принимает минимальное значение. Исходя из геометрической интерпретации метода скорейшего спус ка, можно сделать заключение о характере этой функции. Допустим, что функция F изменяется по параболическому закону

F = as2 + bs + c.

(1.25)

Такая аппроксимация вполне согласуется с результатами вычис ления, которые проиллюстрированы рис. 5.

Найдем такое s, при

котором F (s) =

Fmln.

Дл я этого

достаточ-

но найти

0. Дифференцируя

(1.25),

найдем

корень уравнения - ^ - =

Откуда

2as + b =

S =

2а

Д л я

вычисления

искомого параметра

необходимо определить

коэффициенты а и b в

равенстве (1.25).

Нам

известно значение

функции

F (0) = F0.

При s =

функ

ция

принимает значение предшествующего

расчета. Дл я

определе

ния

коэффициентов а и b вычислим функцию F (s) при двух

значе

ниях

s =

st и s = s2. Пусть

F (Sj) =

Рг и F (s2) =

F2. Подставляя

эти значения в (1.25),

получим

F0 =

с,;

as? +

bst

F0,

F2 = as\ +

bs2

- f F0.

Из последних двух

уравнений

находим

а и

6, после чего

лег

ко определить параметр s:

2[s2(F1-Fn)-sl(F2-F0)]-

Таким образом, рекомендуется следующая методика вычислений.

Определенное ранее

значение функции

обозначаем

через

F0.

Вы

числяем

функцию F (s) при s = Sjl и s =

s2. Получаем T7

(sx) =

и F (s2) = ,F2 . По формуле (1.26) вычисляем коэффициент s,

затем

значение

функции F (s).

Возникает вопрос о выборе значений sx и s2. Пусть

Sj <

s2.

Наилучший результат

в отыскании минимума функции F (s)

сле

дует

ожидать тогда,

когда

Sj < sm l n

<с s2.

Можно

рекомендовать

для выбора значений sx и s2 использовать

значение s = sn p ,

вычис

ленное в предшествующей

итерации, и

принимать

sx =

-j-sn p ,

-g-Snp. В расчетах

первой итерации

можно

положить Sj =

§ 7. ДРУГОЙ АЛГОРИТМ М И Н И М И З А Ц И И

ФУНКЦИИ

МНОГИХ

ПЕРЕМЕННЫХ

Мы установили, что при решении обратных задач

минимизации

подлежит функция

= F(Pl,p2,

. . . , pN).

(1.27)

Описываемый алгоритм основан на градиентном методе скорейшего спуска [10, 22]. Зафиксируем некоторое начальное значение

{pf\ pf\ P1N), которым в N-мерном пространстве фиксируется определенная точка. Теперь выберем одно направление таким образом, чтобы оно совпадало с вектором-градиентом, но было про тивоположно ему по направлению. Если вдоль вектора-градиента функция максимально увеличивается, то в противоположном на правлении она будет уменьшаться. Выбранный луч характеризует ся направляющими косинусами

COS (X/ = -	- F ' o i
COS (X/ = -	N
	Ii (	V
	1=1	'

Функция (1.27) вдоль вектора-градиента может быть записана как

функция одной переменной /. Д л я				этого нужно в (1.27)			параметры
представить
Pt-pf	+	lcosa,		( / = 1 , 2	ЛЛ).		(1.28)
Таким образом, вдоль		выбранной		оси F — F (2).
Теперь поставим задачу найти такое значение 1 = 1*,							для	кото
рого F (/*) = min. Д л я		этого необходимо решить				уравнение
		F ' (I) =	ср (/) = 0.					(1.29)
Новое обозначение		функции	ср (/) введено		для	удобства		даль

нейших изложений. Нужно найти корни трансцендентного уравне ния (1.29).

Воспользуемся методом сведения решения трансцендентных

уравнений к		решению дифференциальных				уравнений [58].
Итак,	задано		уравнение
				Ф(/) = 0.				(1.30)
Рассмотрим		функцию
				* =	<P(Q.			(1.31)
Значение		1 =	1*,	обращающее эту функцию			в нуль,	является
корнем	уравнения			(1.29). Если	функция	(1.31)	имеет	обратную
				l =	L(t),			(1.32)

то задача нахождения корня уравнения (1.29) сводится к вычис

лению функции	(1.32) при t = 0, ибо
	/* = L ( f ) =	L (0).	(1.33)
Производная	функции (1.32) как	обратная	(1.31)
			( L 3 4 )

Таким образом, мы имеем дифференциальное уравнение функции (1.32). Выбрав произвольное значение / = /0 и подставив его в (1.31), получаем начальные условия для решения дифференциаль ного уравнения (1.34) при t = t0 = ср (/0 ), / = /0 .

£ 3

Л ас интересует лишь одно значение функции (1.32) / = L (0). Интервал интегрирования определяется

		ht	— tKoa		— tua4	= 0 —10	= — ф ( / 0 ) .
	Вполне естественно			выбрать		начальное			значение	10 = 0, тогда
					Af = — Ф(0) .
	Если для	вычисления			/* применить		метод Рунге-Кутта, при
няв	шаг вычисления			равным		А/, то		необходимо		рассчитать
=	- Ф ( 0 )	. _	- Ф(0 )		ъ _	- ф ( 0 )	.	_	- Ф ( 0 )
1	Ф'(0) '		Ф ' (	^ )	'	Ф ' ( і * 2 )	'	4	" *Ы "

Тогда

Теперь новые значения искомых величин определяются, соглас но (1.28),

P l = pf> - f /* cos ah

(1.35)

Если при вычисленных значениях параметров функция доста точно мала, то расчет закончен. Формулы (1.35) дают окончатель ный результат решения. В противном случае итерационный цикл повторяется. Точка, координаты которой вычислены по формулам (1.35), принимается за начальную.

§ 8. ПРОГРАММА РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ З А Д А Ч

МЕ Т О Д О М МИНИМИЗАЦИИ [СКОРЕЙШИМ СПУСКОМ)

Вобщем виде вся программа записана алгоритмическим языком


(АЛГОЛ-60). Она		состоит из отдельных	блоков и операторов.
В самом начале программы описаны те величины,				которые встретят
ся	в программе. Об этих величинах речь		пойдет	несколько		ниже.
	Д л я решения обратной задачи в вычислительную машину					долж
на	быть введена числовая информация. Она состоит из				нескольких
групп. Первая группа —информация, характеризующая					наблюден
ное	гравитационное	поле, содержит координаты		точек	и значение
поля в данных точках: X T [1 : п], УТ [1 : п], GNABL [1 : п].						Вто

рая группа содержит значения параметров тел, которыми аппрок

симируется		геологическая		схема:	РР1 [1 : m],	РР2 [1 : m], ...
PPT I I : m]			и PI [1 : m],	P2 [1 : m],	... PK [1 : т]. В массивах
Р Р 1 ,	РР2,	... PPT [1 : m] объединены			параметры,	значения	кото
рых	подлежат		определению	(параметры переменные). Они			входят
в функции (1.2)			и (1.3).
Массивы		Р ] , Р2, ... PK [1 : пг] определяют геологическую схему,
но они при решении задачи				закреплены и имеют роль постоянных
параметров.

Так как при решении различных задач размеры первой и второй групп могут быть различными, то в память вычислительной машины

Смотрите также файлы

Бунин К.П. Анализ фазовых равновесий и кристаллизации металлических сплавов учеб. пособие по курсу Металлография.pdf

Вайнштейн Б.С. Применение автоматизированных систем управления в строительстве.pdf

Вайсман М.Д. Режимы и способы пуска блоков сверхкритического давления учеб. пособие.pdf

Пирометрические датчики.docx

Raytek Display Box.pdf

Файл: Булах Е.Г. Автоматизированная система интерпретации гравитационных аномалий (метод минимизации).pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно