Файл: Булах Е.Г. Автоматизированная система интерпретации гравитационных аномалий (метод минимизации).pdf

группе, обозначим

через г, тогда во второй группе

число слагае­

мых будет (п — г).

Теперь (1.15)

может быть

записано как

г

F =

2

[Ѵцабл (Xi,

У Ci — ІЛ-еор

Уі)]

+

+

>

[ѴТСор (*„

Ѵиабл^, У;)].

(І.15а)

скорейшего

спуска.

(х,

у)

(я, у)

I I . При сопоставлении двух функций

Ѵ н а б л

и

Ѵ т е о р

выделим одну из фиксированных

точек

(л-,-, (/,•). Дл я

нее запишем

Ді = Ѵ„абл (Xi,IJi)— Утеор (*,-, УИ P ) ,

(1.16)

где, как и раньше, Р — вектор, характеризующий

местоположение

и размеры геологических тел, Р =

\plt

р2,

ры).

В начальной схеме геологического'строения

было задано Р<А) =

= {/Д01, ро\

Р/ѵ'}- Требуется

найти

такие

значения

Р,

чтобы

At было минимальным. Пусть Р =

і°( 0 )

-\- АР,

т. е.

Pi = Pi0 ' + АРі,

Р* = р№ + Ар2 , j.

( І Л 7 )

Рл/ = PN] + Apw-

Теперь (1.16) будет зависить только от {Aplt

Аръ

ApN}.

Как

правило, функция Ѵ т е о Р (х, у, Р)

довольно сложная,

и

параметры

Рі входят под знаки трансцендентных

функций.

Линеаризируем

задачу. Разложим Ѵт е о р (-Р) (ß фиксированной

точке (xt,

yCj) в ряд

Тейлора и ограничимся только линейной частью.

Тогда

Выражение

(1.16)

перепишется

так:

(1.18)

A i =

Унабл (Xi, у()

— 1/те0 р (Pl0), Xi,IJi)— 2

AtftPi-

Здесь

(1.19)

А а

—

(ХІ,

УІ,

P^0))

дѴ

dp.

Приняв Ai

0, (1.19)

можно

записать

в

виде

N

2 АцАр/ =

Ѵш6л

(Хі, УІ) — У т е о

р

(ХІ, ус, РФ))

= 8С.

(1.20)

Параметр і принимает значения, равные

1, 2,

я, значит

(1.20)

представляет собой систему линейных

уравнений с N неизвестными.

Если п > N,

то

получена

переопределенная

система,

которая в

матричном виде может быть записана

как

AAP

= ô,

где

APl

А

АцА12

A[N

А

А

АР

=

Ар2

Ô =

А =

\_АпіАп2

. . . А nN

Ap,vJ

il

Система эта может быть решена методом наименьших

квадратов.

Сам метод избавляет нас от исследований

совместимости

заданной

системы [45].

выкладок, укажем только, что вектор АР

Не приводя

находится

из решения системы

А'ААР

= А'6,

(1.21)

где А' — транспонированная

матрица

А.

Как

известно,

это

соот­

такого

числа уравнений, сколько у нас имеется

неизвестных

[45].

I I I .

В функцию,

которую следует минимизировать, можно вво­

дить дополнительные

ограничения. Они будут

играть роль

пара­

выбрать достаточно малым или равным нулю.

Окончательной минимизации

подлежит

функционал

Р— 2

[^набл (х„ у,) -

І / т е о р

(*„ Уд? +

S

Я/ (Pf - pff.

(1.22)

Он зависит

не только от геологических параметров р„ но и от

параметров

регуляризации

X,-.

Методом

минимизации можно

пользоваться

для интерпретации

2*

19

Масса

единицы длины цилиндра

опре­

деляется

соотношением M =

nR2o.

Как

известно,

раздельно определить ст и Я не

представляется

возможным.

Обозначим

\ajR2j\=t2j

и будем в дальнейшем опреде­

Р и с .

3. З н а ч е н и я

парамет­

лять

параметр t.

Д л я того,

чтобы

учесть

знак

избыточной

плотности,

примем

ров,

которые характери ­

зуют местоположение ци­

OjR) = sign (CT;) ()•

линдрического

тела.

Здесь

Sign (CT/) =

1,

если

ст/>-0,

— 1,

если

сту<;0.

xz набл1

4nk

sign (07) p-jhj (ХІ — di)

.(1.23)

i=\

[ ( A - , _ d / ) 2

/,2.]2

l

/= 1

+

Параметры

sign (er/) будем считать постоянными,

тогда неизвест­

ными будут m трехмерных

векторов:

(1.23) становится минимальной.

Зададимся

начальными

приближениями:

Р°/ — [tf\

hf\ df\

sign (er/)}. Последующие

приближения будем определять по форму­

лам:

df+1»

= df] -

Xk

{Fdj)k

(j = 1, 2,

. . . , m).

(1.24)

Производные

выразятся

так:

п

F't.

= 16 sign(07) nk

У

ô,

tjbiixi-dj)

Fft, =

8 sign (a/) я/г

>. о,- —-

;

' -— ,

f rf. = — 8 sign

or,) п/е

Ô,

"

J

;

,

где

=

Kcz набл (Xi)

—

VXz

теор

В

последних

соотношениях

f

m

t)hj (x

—

dj)

S sign (07)

-

—

Коэффициент

X будем вычислять

по

методу

Ньютона (1.12).

§

4. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ З А Д А Ч И

задана

аномалия

горизонтального

градиента

силы тяжести

(рис. 4)

и установлено, что

возму­

щающие

геологические

те­

ла можно отнести к двух­

мерным,

например

по

ме­

тоду А. А. Юнькова [81].

Даже беглый

анализ

пока­

зывает,

что

возмущающие

массы рассредоточены вдоль

профиля. Можно

выделить

три

аномалиеобразующих

объекта. Допустим, что

по­

ставлена

задача

оценить

раздельно каждое

геологи­

ческое

тело — определить

его массу и центр тяжести.

Для

решения

задачи

мож­

но аппроксимировать

каж­

дое геологическое

тело ци­

линдром. Определению под­

лежат

параметры

трех

цилиндров (всего девять ве­

личин). Зафиксируем на оси

Рис .

4. Аномалия

Vxz,

обусловленная тремя

(к

наиболее

характерные

возмущающими

телами.

точки

наблюденной

анома­

лии. Всего выделено

13 точек, которые сведены

в

таблицу — ка­

талог

(табл.

1). Учитывая размеры аномалии, за линейные

единицы