Файл: Смирнова Т.А. Определенный интеграл и его приложения.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.07.2024
Просмотров: 139
Скачиваний: 1
- 40 -
Предположи,теперь справедливость рассматриваемых формул
для системы состоящей из |
4 |
материальных |
точек |
|||
• |
|
^ |
j |
» т . е . |
предположим |
что координата |
центра |
тяжести |
этой |
системы определяется формулами: |
|||
..к-1
Присоединим к этой системе еще одну точку
( ^ і ч |
. !/і J |
С М а О С 0 Й |
^ і " » |
|
• С Ч И |
а Я Ч Т О |
в точке С, |
сосредоточена eaoöa |
^ |
^ |
, |
будеіі |
|
им еть
WC* Следовательно i
|
|
|
- |
41 |
- |
|
|
|
|
"Cl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s+1 |
|
|
|
|
|
|
|
И г-н.* |
|
Итак, если рассматриваемые |
формулы |
справедливы для систе |
|||||
мы, |
состоящей |
из S |
материальных |
точек, то |
они справед |
||
ливы и для системы, состоящей из ( |
S + 4 |
) точек. Но |
|||||
нам |
известна |
справедливость |
этих формул для |
системы, сос |
|||
тоящей из двух точек, следовательно, они справедливы для системы, состоящей из любого конечного числа точек.
Рассмотрим теперь плоскую материальную фигуру, |
огра |
||||||||||
ниченную |
линиями |
у |
= Ç (х) |
, |
у = |
y Y ^ j |
• |
# = |
а |
ѵ |
|
~Г= Ь |
. Поверхностную плотность, |
т . е . массу единицы |
|||||||||
|
|
|
|
|
площади, |
мы будем |
счи |
||||
|
|
|
|
|
т а т ь постоянной |
и |
рав |
||||
|
|
|
|
|
ной |
% |
для всех |
час |
|||
|
|
|
|
|
тей |
фигуры. Разобьем |
|||||
|
|
|
|
|
данную фигуру на |
|
|||||
|
|
|
|
|
частей, |
прямыми |
па |
||||
|
|
|
|
|
раллельными |
оси |
ОУ |
||||
|
|
|
|
|
Эти |
прямые |
разобьют |
||||
|
|
|
|
|
и |
интервал |
|
[0-.на |
|||
|
|
|
|
|
|
|
элементарных |
||||
|
|
|
|
|
частей, |
каждую |
из |
ко- |
|||
торых мы |
обозначим |
через |
«j |
( > = і , 2 , . . . |
|
) . |
|
||||
Выделим теперь полоску, соответствующую элементарному |
|||||||||||
интервалу |
|
, |
и вычислим |
приближенно |
площадь |
этой |
|||||
полоски, |
заменяя ее |
|
прямоугольникомсоснованием |
Д СЕ^ |
|||||||
|
- |
12 - |
|
|
и высотой [f-(Xv)-*f |
[Х |
, где |
- произвольная |
|
точка, принадлежащая |
элементарному |
интервалу |
. |
|
Приближенно центр тяжести этой полоски будет находится в центре прямоугольника, т . е . в точке
Заменяя теперь каждую элементарную полоску материальной
точкой, масса которой равна |
массе соответствующей |
полос |
|
ки и сосредоточена в центре |
тяжести |
этой полоски, |
най |
дем приближенное значение координат |
центра тяжести всей |
||
фигуры : |
|
|
|
Переходя к |
пределу |
при |
И4#Ха%--*"0 |
, получтс точные |
|
координаты |
центра |
тяжести данной фигуры. Но в |
числителе |
||
и знаменателе рассматриваемых выражений стоят |
интеграль |
||||
ные суммы непрерывных функций. Следовательно, |
их пределы |
||||
оавны соответствующим |
определенным интегралам. |
|
|||
43 -
X — — j — — • |
~ ' |
[tflxMI*)]
Для частного случая, когда f[XJ=0 |
, формулы запи |
шутся : |
|
j " |
xf(x)dx |
с ~ ~ р |
' |
или |
Llr~T |
• |
- |
ч л Ь ^ х |
|
Пример. Найти координаты центра тягести плоской одлородной фигуры ( fi- і ) , ограниченной линиями
РЕШЕНИЕ. Вычислим площадь этой фигуры:
- 44 -
ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ |
|
|||
Моментом инерции |
J |
материально! |
точки массы /*і |
|
относительно некоторой |
оси |
называют произведение Массы |
||
J-и. на квадрат расстояния |
Ч |
точки от |
оси |
|
Момент |
инерции |
системы |
И- |
материальных точек с |
Масса |
|||
ми |
H t , |
, |
W-j |
, № |
н |
|
, лежащих в одно! плоскости |
|
с |
осью |
на |
раостояниях |
от |
нее |
соответственно равных |
, |
|
|
%.% |
|
|
, определяется формулой; |
|
|||
Если массы сосредоточены не в отдельных точках, но распо
ложены сплошным образом, заполняя плоскую фигуру, то для
выражения моиента инерции вместо суммы необходимо, оче
видно, обратиться к интегралу.
- 45 -
Рассмотрим плоскую материальную фигуру формы криволиней
ной |
трапеции, ограниченной линиями |
|
» Х-^ |
, |
||||||
|
и осью |
ОХ |
. Будем |
находить |
момент |
инерции |
||||
этой фигуры относительно |
оси |
О У |
, |
считая плотность |
||||||
|
|
|
|
|
|
постоянной и равной |
||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
Разобьем дан |
||
|
|
|
|
|
|
ную фигуру на |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
частей |
прямыми |
парал |
||
|
|
|
|
|
|
лельными оси |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Найдем |
момент |
|
инерции |
|
|
|
|
|
|
|
каждой |
из полученных |
|||
|
|
|
|
|
|
элементарных |
полосок, |
|||
заменяя полоску с |
основанием |
À Хк |
прямоугольником с |
|||||||
тем |
же основанием |
и с |
высотой |
равной |
£ (Х*} |
и счи |
||||
т а я , |
что все точки |
этой полоски находятся на одинаковом |
||||||||
расстоянии от оси |
ОУ |
, |
равном |
~£ц |
: |
|
|
|
||
Наядеи приближенно момент инерции данной фигуры, суммируя полученные моменты инерции всех элементарных полосок:
1-T.lxlf(x,]ix.
1
Переходя к пределу при |
ÛX^—O |
и учитывая, |
||
что справа стоит |
интегральная |
|
сумма для функции |
|
bX*j.(X) |
в интервале |
, |
получим: |
|
- 46 -
J-hjx*f(x)dx.
Пример. Найти момент инерции однородного равностороннего
треугольника массы ht |
|
со стороной |
& |
отно |
||||||
сительно |
перпендикуляра |
к стороне, |
проведенного |
|||||||
через |
ее |
конец. |
|
|
РЕШЕНИЕ. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Примем |
сторону |
|
||
|
|
|
|
|
|
за |
ось |
ОХ |
, а |
перпен |
|
|
|
|
|
|
дикуляр к ней в точке |
||||
|
|
|
|
|
|
О |
за |
ось |
РУ |
. Tari |
|
|
|
|
|
|
как |
сверху |
данная фи |
||
|
|
|
|
|
|
гура ограничена |
двумя |
|||
|
|
|
|
|
|
отрезками ОѢ |
и ßft |
|||
|
|
|
|
|
|
разных прямых, то ио- |
||||
комый момент инерции удобнее запенить следующей |
||||||||||
суммой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
tjloec) |
у |
(сед) |
|
|
||
Уравнения |
прямых |
OB |
и |
ВЛ |
найден |
из |
простых |
|||
геометрических соображений: |
|
|
|
|
||||||
для |
OB |
ij=Xty60° |
|
. или |
|
|
|
|||
для |
8 Л |
|
^(a-x)t^èo'- |
|
«ли |
у:$(а'х)ш. |
||||
