Файл: Смирнова Т.А. Определенный интеграл и его приложения.pdf

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПРЕДЕЛЕННОГО

ИНТЕГРАЛА

£

Рассмотрим

определенный интеграл

-J-faj

и

о.

построим график

подинтегральной функции

^-fl^)

в ин-

тервале

ttAHj

ДЗС2

Û0t3

Разобьем

интервал

на элементарные интервалы û i , ,

АУ*

A

, в

каждом из них выберем соответствен­

но

точки

X,

, Х7

,

J j

JC^

и

проведем ордина­

ты

£{%,)

, j-

( 3 \ )

j-l^-h)

соответствующих

точек

графика

функции

ij-f(x)

.

Произведения

-f-faj &

, £fàz) & 3-я

> • • • .

' ^ f i ^ l ^ ^ - H

в н Р а з я т

площади

прямоугольников

с

основания-

j. ми

ДЗ-",,

и с

высотами

.£1%,,)

С К! = І,

2

tl

) .

Интегральная

сумма

^ ] Х ( Л г ) д Х

B H ^ a 3 m

п л о ш а Д ь

ступенчатой фигуры, составленной из упомянутых прямоу­

гольников.

3;і

величину

площади

криволинейной

трапеции ЯВСЧ) f

Итак,

и н т

е г р

а л J

СІХ

в ы р а ж а е т

п л о щ а д ь

к р и в о л и н е й н о й

т р а п е ­

ц и и ,

о г р а н и ч е й н о й

к р и в о й

у=

,

о с ь ю

ОX

и

п р я л ы л и X-Cl

и : Г - 6

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

I . П о с т о я н н ы й

м н о ж и т е л ь

л о ж н о

в ы н о с и т ь

з а

з н а к

о п р е д е л е н

н о г о

и н т е г р а л а , т . е .

I

6

С

CL

а

где

- постоянная

величина.

Переходя

в этой равенстве к пределу при

,

получаел

доказываемое свойство.

- 10

-

2. И н т е г р а л

о т

а л г е б р а и ч е с к о й

о у и и и

к о н е ч н о г о

ч и с л а

ф у н к ­

ц и й

р а в е н

т о й

ж е

с у м м е

и н т е г ­

р а л о в

о т

с л а г а е м ы х

ф у к н ц и й ,

т . е .

ь

'

Ъ

Ь

I

\ ff (х)-^у-

•* "\lx)]dx^(x)dx-^xdx-

jpjdx.

а

о-

п.

а.

Переходя

к пределу

при

Г П а х Л Х — 0 , получаем до ­

казываемое равенство.

3. Е с л и

а<с<

Ь

, ю

Ь

с

g

(f(x)dx=\f(x)dx*jl(x}dx.

а

а

с.

ции f-[x)

,

будем

разбивать

интервал [О-,^]

на tl

частей

так,

чтобы

точка

С

была одной из точек де ­

ления.

Пусть

С -

Хь

. Тогда

-

I I -

Переходя к пределу

при

f)itt£&%^L> , убеждаемся в

справедливости доказываемого свойства,

о.

В

этом случае длина интервала интегрирования

(Х-(Х-О

,

а

тогда все элементарные

интервалы А ^ С К -

0

(

к- 1,2,.,.,

Ну ) . Следовательно интегральная

сумма

в

ее предел

равны нули.

5. П р и

п е р е с т а н о в к е

п р е д е л о в

и н т е г р и р о в а н и я

и н т е г р а л

м е ­

н я е т

з н а к , т . е .

в

Действительно,

разделим интервал [tij'^

на

И.

равных

частей . Тогда в первом

случае

hX = ^j^~

>Ö I

т . к .

b'p-Q. , а

во

втором -

Û ^ = ^ Ô - <

Q

t

а

значения

функции

I

(Хл)

оди-

Н

наковы. Поэтому

интегральные суммы, а следовательно,

1 рассматриваемые

определенные

интегралы,

оставаясь

равными по абсолитной

величине,

будут

противоположны

по знаку.

б . ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ.

Е с л и

ф у н к ц и я

f

( х )

н е п р е р ы в н а

в з а м к н у т о м

и н -

т е р в а л е

в

э т о м

и н т е р ­

в а л е

н а й д е т с я

п о

м е н ь ш е й

м е ­

р е

о д н о

з н а ч е н и е

£ ~ С , д л я

к о ­

т о р о г о

с п р а в е д л и в о

с л е д у ю -