Файл: Смирнова Т.А. Определенный интеграл и его приложения.pdf

13

-

j.[Je)

примет по крайней нере один раз значение равное

в

некоторой

точке

интервала

| u , Ь]

, т . е . найдется

тако е

С

« <С

<Ь

),

что

f.(c)°fll

или

Ь

о-а

•..fie),

(а^с.

Отношение, стоящее в левой части доказанного равенства

называется

с р е д н и й

з н а ч е н

и е н

функции

^{•х} на

интервале

Теорема о среднем имеет простой геометрический смысл:

если кривая

fl& является

графиком функции

у=£(х)

,

то всегда

найдется, по крайней

мере,одна точка с абсциссой

Х=С (

0.£С&Ь

) такая,

что площадь прямоугольника с

основанием ( Ь-О.

) и высотой

£ ( c j

будет равна плоша-

ди криволинейной

трапеции fljHBBi

, т . к .

мы увидим, принципиального

нового пути

вычисления опреде­

ленного

интеграла.

Этот новый путь опирается на связь определенного ин­

теграла

с неопределенным. К установлению

этой

связи мы

сейчас

и перейдем.

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ. ИНТЕГРАЛ С ПЕРЕМЕННЫМ ВЕРХНИМ

ПРЕДЕЛОМ

•fc

Рассмотрим

интеграл

j j.[x)dx

с

переменным

верх­

ним пределом

"t

от функции

непрерывной

на

[Cl, I].

Этот

интеграл

является

функцией

переменной

"t .

Обозначим эту

функцив

через

,

т . е .

і

ТЕОРЕМА . П р о и з в о д н а я

о п р е д е л е н н о г о

и н т е г р а л а

п о

в е р х н е м у

п р е д е л у

р а в н а

п о д и н т е г -

р а л ь н о й

ф у н к ц и и , в

к о т о ­

р у ю

в м е с т о

п е р е м е н н о й

и н ­

т е г р и р о в а н и я

п о д с т а в л е н о

з н а ч е н и е

в е р х н е г о

п р е д е ­

л а

,

т . е .

(.

-

16

-

ФОРМУЛА НЬЮТОНА -

ЛЕЙБНИЦА.

Функция

Ф(і)"-" J ^.(TJdx

есть первообразная

ДЛЯ

0

,

т . е .

411)^1*.)

Пусть

F (h) -

какая

нибудь

из

первообразных

для

, тогда

Ф (lj

содержится

среди функций F

(і)+С

,

т . е .

ИЛИ

і

где

Сj

- некоторая

определенная

постоянная. Для ее отыс­

кания

положим

в

последней

равенстве

Ь - CL '•

а.

Отсюда

C-JÏ-F/Û.)

и

a

1

|которая называется

формулой

Н ь в т о н а - Л е й б н и -

і.ц а .