Файл: Сербенюк С.Н. Применение математико-статистических моделей для картографирования географических комплексов.pdf

Главные компоненты

являются-

характеристическими

/ собственными /

векторами корреляционной /

ковариаци­

онной /

матрицы. Решив характеристическое

уравнение

|R = À l|= o ,

ч

( а )

где

I

-

единичная матрица,

получают m

действительных

положительных корней

Л .Каждому характеристическому

корню

/

собственному

числу /

соответствует

характе­

ристический вектор.

Наибольший корень является дисперсией первой глав­

ной

компоненты и

т. д . , следовательно,

наименьший ко -

рень будет дисперсией последней главной компоненты.

Корреляционная матрица

R

наблюденных величин X П0Д~

вергается диагонализации

так,

что

ft=UAU,

(й)

где

U

-

ортогональная матрица,

полученная

из R

А - диагональная матрица состоящая из собствен­

ных

чисел

Л

матрицы

R .

Матрица '

W = U A V l,

полученная из разложения

(24], оказывается составлен­

ной из

коэффициентов

корреляции между параметрами X

и главными компонентами

Zi

Z 2

V*

ши toil

w lm

[Щ

W = U A

' ‘ ' ^mm

X m

Сумма квадратов

элементов

строки

есть

дисперсия

U^+uV, +••■ + ÎDmt = Al

. .

.......................................

(26)

Из выражения (2б) видно,

что A i является

оценкой

силы линейной

связи между

Zr и вектором наблюдённых

переменных X

•

умножением

соответствующего

столбца

матрицы

W

на -1 /Г.Харман,

1972/.

Подробное изложение алгоритма вычисления главных

компонент можно

найти в

работах

Д. Лоули,

А. Макс­

велла

/ 1 9 6 7 '/ .

и

С.

Н.

Сербенюка

/

1972 / .

Эта

схема

вычисления

/по

методу Хотеллинга/

была

исполь­

зована

для составления

программы

5.

П р о г р а м м а

5

ВЫЧИСЛЕНИЕ

ВЕСОВ

.ДЛЯ

ГЛАВНЫХ

КОМПОНЕНТ

b e g in

in te g e r

р,

q,

m,

гаг, к,

і ; роо42

(

га, та

);

begin

r e a l

q l,

max,

sp,

I s p ,

eps;

a r r a u

u,

u l,

u2

[l:m ],

R,

Rk. [l:m ,

i:in],

1 [1 •mzf],

s'/

[lim z .lim ],

w

[j.:m,

l:m z];

poo42 ( eps, R ) ;

к :=

о;

Ml: f o r

q

:=

1

s te p

1

u n t i l m

do

b eg in

ql := о ; f од p : = 1 s te p 1 u n t i l m do

; qi

:=

q i

+

R

[p ,q ]i

u

[q]

:=

q l

end

!

max

in: u

[1]

;

f o r

q

:=s

1 ste p

i

u n t i l m

dn

i f

u

[q]

â

max

th e n

max : =

u

[q] i

f o r

q

:=

1

ste p

1

u n t i l

m do

u [q]

:=

u

[q]

/

max;

М2:

q l:=

o;

f o r

p :=

1

ste p

1

u n t i l

m

do_

u l

jp]

:=

u

[p] ;

f o r

p

:=

1

ste p

1

u n til

m

do

begin

ql

:=

o;

f o r

q

:=

1

s te p

1

u n til

m do

ql

:=

ql

+

u

[q]

xR

[q,p] ;

Ù2

[p]

:=

ql

end

f o r

p

:=

1

ste p

1

u n t i l

m do

u fp]

:=

u2

[p ];

max

:=

u [1 ];

f o r

p

:=

1

ste p

1

u n til

m do

i f

u

[p]

h

max

th e n

max :=

u

[p] )

f o r

p

:=

1

ste p

1

u n t i l

m do

u [p]

:=

u

[p]

/

max;

f o r

о := 1s te p 1 u n t i l m do

i f

( u [p]

-

u l [pj

) X eps

th e n

go

to

М2;