ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.07.2024
Просмотров: 169
Скачиваний: 0
§ 3] |
ПРОЦЕССЫ, ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ВПНЕРОВСКОМУ |
127 |
|
2 кроме |
того, у ядра К (s, t) как оператора |
в L2 (R) |
|
нет единичного собственного значения *). |
|
||
|
Этот |
критерий эквивалентности сохраняется и |
|
в случае более сложного «стандартного» процесса
r)(/), t0< t < T , |
имеющего корреляционную функцию |
вида B^is, t) = |
mm{F{s), F (()) ■ /, где F(t), t0< t < T, — |
непрерывная слева монотонно неубывающая скаляр ная функция. Нужно только вместо лебеговой меры
dsY ,dt |
взять |
соответствующую |
меру dF (s) X,dF (t). |
|||
П p и м е р. |
Пусть |
г) (t), |
t0 < |
/ < Т, — одномерный |
||
случайный |
процесс с некоррелированными прираще |
|||||
ниями |
и |
F (t) = Е | г| (t) |2, t0< t < T , — его структур |
||||
ная функция. |
Пусть |
a (t), |
t0 < t < T , — случайный |
|||
процесс |
такой, |
что |
|
|
|
|
т
[ Е | a(i) р dF (t) < оо. ^0
Пусть, наконец,
г
, |
1 ( 0 = J a(s)d F (s) + n(0, |
t0< t < T . (3.11) |
|
п |
|
Учитывая, что проекция величины а(и) на под
пространство (г|) представима в виде стохастиче- t
ского интеграла J с (и, v)dT\{v), где подынтеграль-
ная функция удовлетворяет условию
'з 1
J | с {и, v) р dF ( о )< Е | а (и) |2,
и
*) По-видимому, первые публикации об условиях такого рода для с к а л я р н о г о случая даны Шеппом (L. A. S h е р р, Ra don—Nykodym derivatives of Gaussian measures, Ann. Math. Stat. 37, 2 (1966), 321—354). Отметим, что эти условия легко полу чаются из условии эквивалентности стационарному процессу белого шума с простейшей спектральной плотностью g( X) = I.
128 ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. IV
будем иметь
Еа (и) 11 (t) =
|
| с («, у) dr\ (v) • |
[ |
dii (и) = |
[ с |
(v)• |
||
|
- t t |
|
|
/„ |
J |
(« |
|
Элементарные |
выкладки приводят к равенству: |
|
|||||
|
|
|
^ |
t |
|
|
|
B 4 {s, |
t) — |
Bi{s, |
t ) = СJ |
К (и, v) dF {и) d F (v), |
|
||
|
|
|
10 |
to |
|
|
|
где К (и, |
v) = |
— с (a, |
v) — с (о, и) — Е [а (и) а (о)]. |
|
|||
Таким образом, при дополнительном условии (ЗЛО) |
|||||||
с заменой dsdt на dF(s)dF(t), случайный процесс l(t), t0< t < T , будет эквивалентен процессу ф ), t0< t < T , и, следовательно, будет иметь обновляющий процесс
такого же типа, |
как |
r|(0, t0< t < T . |
Это |
условие, |
|||||
означающее, |
что оператор |
|
|
|
|
|
|||
|
А: |
2 |
скл\ (tk) —> |
(/*) |
|
|
|
||
является ограниченным |
и обратимым, |
автоматически |
|||||||
выполняется, |
например, |
если процессы a(t) |
и т](/) |
||||||
н е к о р р е л и р о в а н ы ; |
Еа (s) г| (/) = |
0, |
tQ< |
s, |
t < T. |
||||
Действительно, |
в |
этом |
случае |
ядро |
%(s,t) = |
||||
= — E[a(s)a(f)] |
является |
о т р и ц а т е л ь н о |
о п р е |
||||||
д е л е н н ы м : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г г
J J K ( s , t ) u( s ) u ( t ) d F( s ) d F ( t ) = *
= —E J a (t) и (t) dF (t) < 0
для любой ненулевой функции u(t), J* ] u(t) \2dF{l)<^oo.
