ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.07.2024
Просмотров: 171
Скачиваний: 0
8 |
ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ |
|
[ГЛ. 1 |
Вопрос об эволюции подпространств Н, (£), to< К Т, |
|||
для произвольного случайного процесса |
— |
(0)Г> |
|
t0< t < T , |
можно было бы считать решенным, |
если бы |
|
удалось найти некоррелированные между собой про цессы Xj{t), j = 1, М, t0< t . < T , с некоррелиро
ванными приращениями, такие, что отвечающие много мерному процессу X(t) = № (/)}f, t0 < t < T , подпро
странства Ht(X) совпадают с интересующими нас подпространствами # ,(|):
Иt (X) = Нt(g), tQ< t < Т. |
(1.2) |
Действительно, тогда можно было бы представить
подпространства |
#,(£) в виде ортогональной |
суммы |
|||
|
м |
|
t0 < t < T , |
|
|
H ,( l) = @ H t(X,), |
|
||||
|
i—1 |
|
|
|
|
где каждое из ортогональных |
друг |
другу семейств |
|||
H t{Xj), t0< t < T , |
описывается, как указывалось выше, |
||||
с помощью соответствующей |
структурной функции |
||||
Fl {t) = E \ X j {t)f, |
t0 < t < T |
; |
/ = 1, |
.. . М. |
(1.3) |
Случайный процесс X (/) = |
{Xj (^)}'VI с ортогональ |
||||
ными компонентами Xj (t), |
t0 < t < T |
(X/ (s) |
± Xk(t) |
||
для всех s, t при j Ф k), каждая из которых пред ставляет собой процесс с некоррелированными прира щениями, удовлетворяющий условию (1.2), будем назы вать обновляющим процессом для случайного процесса
К*) = Ы 0 Г , t0< t < T .
Отметим, что при нашем предположении (1.1), согласно которому
lim Ht_h(X) = Н/ (X), h->+0
обновляющий процесс является непрерывным слева. Очевидно, обновляющий процесс всегда существует.
Его компоненты Xj (t), tQ< t < Т, можно построить,
например, следующим образом. Выберем какой-либо элемент ,v, е Н (%) и определим процесс с некоррели рованными приращениями Xl (t) = Ptx,, t0< t < T (на
§ П ВВЕДЕНИЕ 9
помним, что Р, обозначает оператор проектирования
на подпространство Н,(%)). |
Если |
Н {Х\) Ф Н (Q, то |
|
выберем затем какой-либо |
элемент х2е Я ( 4 ) , орто |
||
гональный подпространству |
Н (X ,), |
и определим про |
|
цесс с некоррелированными |
приращениями |
X2(t) = |
|
= Ptx2, tQ< t < T . Поскольку подпространство |
Я (А,) |
||
и его ортогональное дополнение инвариантны относи
тельно проекционного |
семейства Pt, t0 < t < Т, |
про |
цесс X2(t), t0 < t < T , |
будет некоррелирован с про |
|
цессом А, (7), t0< t < T . |
Если Я (А ,)© Я (Х2) ф |
Я (4), |
то выберем следующий элемент х3, ортогональный
подпространствам Я (А)) и Н (Х2), и определим про цесс с некоррелированными приращениями А3(^) = = Ptx3, t0< t < Т, который будет некоррелирован с X, {t) и X2(t), i0< t < T . Аналогичным образом выбирая по следующие элементы хк\
xk ± ® H ( X k),
/=1
мы в конце концов исчерпаем все пространство Я (4), получив некоррелированные между собой процессы
X, (/) = P,Xj, t0< t < T ; j = 1.........М, (1.4)
с некоррелированными приращениями (их число М
может быть бесконечным). Очевидно, |
X (t)={X |
|
|
|||||
t0< t < Т , |
является обновляющим процессом для %(t), |
|||||||
t0< t < Т, |
поскольку |
Pt+hXj — PtXj _L Я, (4) при |
h > |
0 |
||||
ii система величин Psxjt t0< |
s ^ .t, Pt+hXj—Ptxr |
h > |
01 |
|||||
j — 1, . . . , |
M, полна в Я (4), |
так что система величин |
||||||
PsXj, t0< |
s ^ i ; j — 1, |
. . . , M, полна в |
Я,(4)> |
и, |
таким |
|||
образом, |
|
Я,(А) = |
Я4(|), |
t0< t < |
т. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если |
ввести гильбертово пространство С всех век |
|||||||
торных |
фуНКЦИЙ С (t) = {Сj (i)}^, t()^ .t< T , |
с число |
||||||
выми компонентами |
Cj(t), |
t0^ t < T , |
удовлетворяю |
|||||
щих условию |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
т м |
|
|
|
|
|
|
|
|
j y ^ l C j i O P d f j i t X o o , |
|
|
(1.5) |
|||
|
|
U /=I |
|
|
|
|
|
|
10 ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. I
со скалярным |
произведением |
|
|
|
|
||||||
т м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
с ц (0 с2/ (0 |
dFj |
(/); |
{cjy ( / ) } ,\ |
[c2j{t))f ^ С , |
||||||
to |
/ = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
F,(t) = |
E \ X ,({)?, |
t0< t < |
Т, |
|
|||||
|
|
|
|||||||||
— соответствующие |
структурные функции обновляю |
||||||||||
щего |
процесса |
X (t)= |
\Хj(t)}f, |
t0 < |
t < |
Т (см. (1.3)), |
|||||
то можно |
описать |
пространство Н (|) |
как совокуп |
||||||||
ность |
всех |
величин |
вида |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
т |
|
Л1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 ^ ( 0 <**/(/>, |
|
(1-б) |
|||||
|
|
|
|
и |
/=I |
|
|
|
|
|
|
где (су )^ еС , |
и, очевидно, |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
t |
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
рЯ = l |
y£ i cI (s)dXl (s), |
|
(1.7) |
|||||
|
|
|
|
to |
/=1 |
|
|
|
|
|
|
поскольку |
Н (X) = |
Н (ё) |
и |
Я, (X) = |
Н, (Q. |
Видно, что |
|||||
подпространство Я ,(£) = |
Р,Н (X) |
состоит из всех вели |
|||||||||
чин вида |
t |
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
j |
Yi cj (s)dX l (s), |
{Cj (s))Jvl e |
C, |
||||||
|
|
to |
/ = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
и, имея в виду унитарный изоморфизм г| •<-> {с ,(s))^, можно сказать, что семейство Я, (|), t0< i < Т, того же типа, что и семейство подпространств Ct, t0< t < 7, ка ждое из которых образовано функциями { ^ ( s ^ e C ,
обращающимися в 0 при |
s > |
/ (для |
соответствую |
|
щего /). |
|
|
|
|
Формула |
(1.6) в применении к значениям рассмат |
|||
риваемого процесса l ( i ) = |
% (/))"', t0< t |
< Т, дает так |
||
называемое |
каноническое представление |
|||
t |
м |
|
|
|
1<(0 = J |
s)dX j(s), |
/ = 1, |
. . . . m, (1.8) |
|
to |
/=1 |
|
|
|
§ П ВВЕДЕНИЕ 11
которое |
позволяет |
описать |
проекционные |
опера |
||
торы Р„ |
t0< t < Т, |
в пространстве |
И (|): |
|
|
|
|
и М |
|
|
|
|
|
Puh(t) = |
j |
s)dX j(s), |
i = |
1, |
/п, |
(1.9) |
и/=1
при t0^ u < t < Т.
С точки зрения приложений, по-видимому, наи более важным следует считать вопрос об эффектив ных методах построения линейных преобразований, связывающих процессы l(t) и X {t),— в частности, эффективных методов построения канонического пред ставления (1.8). В теоретическом плане большой
интерес |
представляют и вопросы |
о том, как |
опреде |
||
лить |
тип |
обновляющего процесса X(t) = |
\Xj (<)}Л|, |
||
t0< i |
< |
Т, |
или как сравнить его |
с некоторым задан |
|
ным типом, зная корреляционную функцию исходного
процесса £(/) = |
{!,• (0}”\ t0 < t < T . |
|
|
|
|||||
Особый интерес к этим вопросам возник после |
|||||||||
одного примера Г. |
Крамера *), показавшего, что обно |
||||||||
вляющий процесс для |
о д н о м е р н о г о |
н е п р е р ы в |
|||||||
ного п р о ц е с с а |
| (t), t0< t < |
Т, может быть, |
вообще |
||||||
говоря, п р о и з в о л ь н ы м . |
Отправляясь от заданного |
||||||||
обновляющего |
процесса |
X{t) — (X /00)f, |
t0< t < T , |
||||||
произвольной |
структуры (с произвольными |
структур |
|||||||
ными |
функциями |
/■ /(/) = |
Е | Xj {t) |2, |
/ = |
1, |
. . . , М) |
|||
соответствующий процесс £(0, |
t0< t < T , может быть |
||||||||
построен следующим |
образом. |
|
|
|
|
||||
Пусть Ау, / = 1, |
..., |
М, — непересекающиеся между |
|||||||
собой |
измеримые |
множества |
на интервале |
(t0, Г)> |
|||||
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( J Ау = |
(<0, Г) (mod 0), обладающие тем свойством, что |
||||||||
/=л
пересечение каждого из них с любым интервалом (s, t), t0< s < t < T, имеет положительную меру. Определим
и н т е г р и р у е м ы й п р о ц е с с \{t), t0< t < T , над.
*) Н. С г a m ё г, Stochastic processes as curves in a Hilbert space, Теория вероят. и ее прямей. IX, 2 (1964), 193—204.
