ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.07.2024
Просмотров: 172
Скачиваний: 0
118 |
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ |
[ГЛ. IV |
что приводит нас к формуле (2.24). Поскольку при любом х е R
со
Пт [ | {хп(А), х} — {х (А), х) |2 w (A) dX — О,
П ■ > со ^
— со
скалярная функция {л: (А), х} как предел функций вида
{■ UA), * } = Y
'о < > к < г
является целой аналитической функцией*). Например, при условии
\\g r l\~' ж { \ + х 2)~ '\ |
(2.25) |
где я — некоторое целое положительное число (что несколько сильнее, чем условие регулярности (2.23)), для соответствующих функций х(Х) можно дать сле дующее представление**):
л- 1 |
г |
х (А) = 2 |
(*A)Vw,.*ft + (1 + il)n f ем с (t) dt, |
k—0 |
6 |
где функция с (t) принадлежит пространству Lr(R). Итак, пусть пространство Н (g) состоит из эле ментов вида и (А) = g[/2.v (А), где х (X) — целые анали
тические функции.
*) Подробное доказательство этого имеется в книге, цнти' рованноп на стр. 95. Описание аналитических функции х (X) в скалярном случае дается в заметке М. Г. К р е й н а, Об основ ной аппроксимационной задаче теории экстраполяции стационар
ных случайных процессов, |
ДАН СССР 94 (1954), 13— 16; см. |
||||
также; N. L e v i n s o n , |
Н. M c k e |
a n, Weighted trigonometrical |
|||
approximation |
in with application |
to the germ field of stationary |
|||
Gaussian noise, |
Acta Math. 112, 1—2 (1964), 99— 143. |
||||
**) Отметим, что это |
представление |
может быть использо |
|||
вано для нахождения проекторов Qt на подпространства |
|||||
Ht (g) = |
V |
e a s g ^ R , |
f0 < t < T |
||
|
|
|
<C t |
|
|
(см. задачу о прогнозе на |
конечном интервале в книге 10. А. Р о |
з а н о в а, Стационарные |
случайные процессы, М., Физматгиз, |
1963). |
|
§ 21 |
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ |
119 |
||||||||||
Предположим, что оператор В = |
А'А не я в л я е т |
|||||||||||
ся обратимым. Тогда, как |
мы показали выше |
(см. |
||||||||||
(2.19)), самосопряженный вполне непрерывный опе |
||||||||||||
ратор |
F = |
I — В должен |
иметь равное |
1 собственное |
||||||||
значение. |
Обозначим » ( A ) e # ( g ) |
соответствующую |
||||||||||
ему собственную функцию. |
Возьмем последователь |
|||||||||||
ность аналитических функций хп(А) типа (2.1) таких, |
||||||||||||
что и (А) = |
gl/'2 х (А) |
есть |
предел |
элементов |
«„(А) = |
|||||||
= g )i2xn(K)[ |
и |
,v(^) = |
limx|l(A) п. в. |
Получается, |
что |
|||||||
fк'гхп(^)—»■ /х2 х М п.в. 11 одновременно последователь |
||||||||||||
ность элементов fH2xn(А) = |
Аип(А) |
такова, что |
|
|||||||||
(Alln, AUfi) |
[Blln, Ufi) |
|
(И-л, Мп) |
|
^/i) |
^ 6, |
||||||
поскольку ип—>и, Fun—>u. Таким |
образом, |
в L‘2(R) |
||||||||||
последовательность |
f\[2xn(k) сходится к 0, |
так |
что |
|||||||||
|
|
|
|
fl!2x (А.) = |
0 п. в., |
|
|
|
|
|||
и, следовательно, д-(А) = 0 на множестве положи |
||||||||||||
тельной меры |
(где f1/ 2не вырождена), |
а для |
анали |
|||||||||
тической функции л*(А) это возможно лишь в случае, |
||||||||||||
когда х(А) ^ |
0. |
Но это противоречит тому, чго « (А) = |
||||||||||
= g\l2x{X) — собственная |
функция |
с е д и н и ч н ы м |
||||||||||
собственным значением, и значит |
оператор В — А'А |
|||||||||||
является обратимым. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. |
Некоторые |
выводы и примеры. Покажем, что |
||||||||||
предложенные в п. 2 общие условия эквивалентности |
||||||||||||
стационарных |
процессов |
| (t) и |
г) (/), |
tQ< t < T , |
со |
|||||||
спектральными плотностями tk и |
gk в |
гильбертовом |
||||||||||
пространстве R являются достаточно эффективными. |
||||||||||||
Для краткости назовем |
спектральные плотности |
|||||||||||
/х 11 <?л эквивалентными, если эквивалентны соответ |
||||||||||||
ствующие |
процессы l(t) |
и r|(zJ), tQ< t < T . |
|
|
||||||||
Предположим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2-26) |
|
Тогда, как это следует из условия (2.22) (см. тео рему на стр. 116), для эквивалентности н е о б х о д и м о ,
120 ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. IV
чтобы разность корреляционных |
функций |
|
со |
6 ( s - 0 = B 11( s - 0 - 5 ? ( s - 0 - |
| |
— 00
на квадрате /0 < s, i < Т совпадала с некоторой опе раторной функцией b(s, t), — оо < s, / < оо, из про
странства L2 (R X Ю с преобразованием Фурье ср (Я, р), удовлетворяющим условию (2.15):
ОО |
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
J(1 "ЬЯ2)'((1 + |
р2)"|ф (Я, p )f dkdp < оо, |
||||||||||
поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|^ - 1/2Ф (^ It) V |
/2f > |
/ C 2(l + я Т ( 1 + цУ | ф (я, |
р)|2. |
|||||||||
Действительно, в рассмотренном случае |
|
|
||||||||||
I* if = |
Iё Щ |
,/2* |
If < |
к (1 |
+ |
я2) - "№ |
,2x f |
|
||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|£ Г ,/2Ф(^. |
,/2|2 = |
2 |
1 |
1/2Ф (^. и) § » '12хр( |
> |
|
||||||
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Я2)" Iф (Я, |
р) g - '/2 Хрf |
= |
|
||||
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
/ Г 1(1 + |
Я2Г I Ф (я., и) g~ '1212 = |
|
|
|||||||
|
= |
|
+ |
(l |
+ |
я&71/2)" |ф (я, |
р)* I’ = |
|
|
|||
|
= к - 1(1 |
Я2Г |
^ |
II£71/2Ф(я, Р)*Хр( > |
|
|||||||
> |
/ с 2 (1 + |
Я2)'1(1 -f р2)" ^ |
II Ф (я, р)’ Хр If2 = |
|
||||||||
|
= |
/<T2(i |
+ |
я2) (i + |
р |
2)'1|ф(я, р )* | '= |
■ |
|||||
|
|
|
|
= |
/ Г |
2(1 |
+ |
я2(1Г + рУ |
|ф (я, р) 2|. |
|||
Таккак |
b (s, |
t) = |
b{s — t) |
при |
t0 < s , t < Т, |
из |
усло |
|||||
вия (2.15) вытекает, что для эквивалентных спек тральных плотностей Д и gk операторная.- функция.
§ 2] |
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ |
121 |
b (t) на интервале (— иметь все производные производная Ы2п) (/), — рять условию
г, т), где т = Т — 10, должна до порядка 2/г, причем 2п-я т < t < т, должна удовлетво
т т |
|
J J | Ь{~п) (s — t ) f d s d t < оо. |
(2.27) |
tA tri
Предположим теперь, что выполняется соотноше ние (2.25), иначе говоря,
|
|
|
В ь Ж ( 1 + ь Т П1- |
|
|
(2-28) |
|
Если операторная функция b(t), t0 < |
t < |
Т, |
обладает |
||||
описанными |
выше свойствами, а именно, существует |
||||||
производная |
|
д2П |
удовлетворяющая |
условию |
|||
|
~^2nb{t)l |
||||||
(2.27), |
то |
операторную функцию |
b(s, /) = b(s — t) |
||||
можно |
продолжить с |
квадрата tQ< |
s, |
t < |
Т на всю |
||
плоскость — оо < s, / < |
оо в некоторую |
ф и н и т н у ю |
|||||
гладкую функцию b(s, t) такую, что*) |
|
|
|||||
|
СО |
0 0 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
J |
^ Г ^ Й С о о . |
|
||
— оо — оо
Преобразование Фурье ф(А, ц) такой функции b{s, t) будет удовлетворять условиям (2.15') и (2.15), а сле довательно, и условию (2.22)
ОО0 0
J j I £Г1/аФ№. й) g f d ld p < оо,
*) В |
ортонормированием |
базисе е и е2, . . . е R |
операторная |
|||||||||
функция |
b (s, /) |
со |
значениями |
в |
S2 {R) задается |
некоторой |
||||||
матрицей |
bkj (s, |
/). |
2 |
I b>4 («, 0 |
|г< |
00 и |
речь идет |
об |
очевид- |
|||
|
|
к, 1 |
|
скалярной |
компоненты |
|
bkj{s, t) |
|||||
ном продолжении |
каждой |
|
||||||||||
с квадрата t0< s , t < T |
на |
всю плоскость |
— оо < s, |
/ < |
оо в фи |
|||||||
нитные функции |
bkj |
(s, |
I) |
с сохранением |
свойств |
гладкости и |
||||||
|
|
|
|
00 |
оо |
|
|
V I2ds dt<(s> |
|
|
|
|
интегрируемости |
типа |
1 |
J |
|
|
|
|
|
||||
—00 —COkt i
