ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.07.2024
Просмотров: 193
Скачиваний: 0
122 |
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ |
[ГЛ. IV |
|
поскольку в нашем случае |
|
||
I g r 'W . |
^ )^ - l/2|2< |U r ,/2IM l^ '/2ll-iiH ^ ^)l2< |
|
|
|
|
< К 2(l + я 2Г(1 + ц2ГН>(я., |
(-0|2. |
Поэтому |
разность / — А*А будет оператором |
Гиль |
|
берта— Шмндта, |
что при условии (2.28) равносильно |
||
эквивалентности |
спектральных плотностей gK и Д |
||
(если только Д не является вырожденной п. в.).
Таким образом, если разность корреляционных функ ций на интервале (— т, т), х — Т — 10, имеет произ
водную Ь[2п) (/), удовлетворяющую условию (2.27), то спектральные плотности Д и ё^ будут эквивалентными.
В частности, спектральные плотности Д и |
будут |
|
эквивалентны, |
каково бы ни было п в условии (2.28) |
|
и каков бы ни |
был конечный интервал (Д, |
Т), если |
f>. — 8k + Ах.
где Д>^ — произвольная финитная функция с интегри
руемой в квадрате |
следовой нормой: |
|
|
|
|
а |
|
Ах = 0 при | ? | > a, j |
| Д* |2 dX < оо. |
(2.29) |
|
Действительно, в этом случае операторная функция |
|||
|
ОО |
|
|
ь (0 = - |
J еш Дл dX, |
t0< s , К Т , |
|
будет иметь производные всех порядков, которые удовлетворяют условию (2.27).
В конечномерном случае, dim 7?<oo, получаем,
например, что если спектральная плотность Д как угодно отличается от спектральной плотности gx на каком-либо конечном интервале (в частности, может
быть Д = 0 при |А.|=^а), то |
Д и gK эквивалентны. |
Отметим также, что для |
спектральной плотно |
сти g%типа |
|
k {\+ X Z T 'l K g k < K { \ + X 2)- nL
§ 2] ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ 123
вместо условия |
(2.29) можно |
потребовать, чтобы |
||||
оо |
|
|
|
|
|
|
J \gZ ll2bKg i 'l2\2d l < ° o . |
(2.290 |
|||||
—ОО |
|
|
|
|
|
|
Сформулируем наш основной результат в виде |
||||||
отдельной теоремы. |
|
|
|
|
|
|
Т е о р е м а . |
Если |
gK^ |
К (1 |
+ Я2)-’'1/, |
то для экви |
|
валентности |
и gk |
на интервале (t0, tQ+ т) необхо |
||||
димо, чтобы операторная |
функция |
|
|
|||
|
|
|
|
со |
|
|
■ b(t) = |
(t) - |
В* (t) = |
J еш {gK- |
h) d% |
||
|
|
|
— оо |
|
|
|
на интервале — т < t < т |
имела все |
производные до |
||||
порядка 2п, причем |
|
|
|
|
|
|
X X |
|
|
|
|
|
|
[ |
[ | bi2n' (s — t) \2 ds dt < |
оо. |
|
|||
о6
Если оке g%~^t k (1 + Х2)~п1, то указанные условия достаточны, для эквивалентности.
В заключение, как следствие полученных выше результатов, дадим описание обновляющего процесса для класса стационарных процессов £(/), tQ< K T ,
с корреляционной функцией |
В (/) |
следующего типа: |
на открытом интервале (0, т), |
т = |
Г — 10, функция В (t) |
имеет все производные до порядка 2п, причем функция
В(2п~" (t) непрерывна всюду на интервале (—т, т), кроме точки ^ = 0, где она имеет разрыв первого рода,
а функция В{2п) (t) удовлетворяет условию
X X
J J | В (2п) (t —s) |2ds dt < оо.
оо
Каждый такой процесс l(t) эквивалентен стационар ному процессу т)(0, t0< t < T , со спектральной плот ностью вида
s ^ = | Р (а) |2 ’
где Р (ik)— полином степени п с соответствующим
:124 ЭКВИ ВАЛ ЕН ТН Ы Е СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. IV
коэффициентом при старшей степени (£\)п. Следова
тельно, |
обновляющий процесс |
X (/) = {Xft (^)}JI+I,■ /0 < |
< t < T , |
для | ( t) будет такого |
же типа, как и для |
процесса т)(^), а именно, первые п компонент будут постоянными:
X k( t ) ^ t k' l)(to), k = l , /г;
они порождают «начальное» подпространство *)
|
|
|
|
П |
H t s + h ( I ) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
л >о |
|
|
|
|
|
.а одна |
компонента Хп+\ (t), описывающая |
дальней |
|||||||
шее обновление подпространств #,(£), |
i0< t < T , |
||||||||
является |
процессом |
типа |
броуновского |
движения |
|||||
(см. § 3 |
гл. I). |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
§ 3. Случайные процессы, |
|
|
||||
|
эквивалентные винеровскому процессу |
||||||||
|
С точки зрения нашего подхода к вопросу об эво |
||||||||
люции |
подпространств |
#,(£), |
t0< t < T , |
связанных |
|||||
с |
соответствующим |
случайным |
процессом |
£(/■ ), tQ< |
|||||
< |
t < Т , |
винеровский процесс т) (/), t0< t < Т |
(с компо |
||||||
нентами {ч(0, -v}, t0< t < T , |
где параметр х пробегает |
||||||||
некоторое |
гильбертово |
пространство R) |
может быть |
||||||
взят в качестве определенного стандарта. Именно, естественная изометрия
|
|
{Л (0 , x } + + X t ( s ) x |
(3.1) |
|
между |
величинами {т| (t), х} <= Н (г)) и |
элементами |
||
% ,{s)x ^ L 2(R) позволяет |
отождествить Ht{rft с под |
|||
пространствами |
Li(R), |
tQ< t < T \ здесь |
скалярная |
|
функция |
xt(s), |
t0< t < T , |
есть индикатор |
интервала |
(t0, t], Lr(R) — гильбертово пространство во всех изме римых /?-значных функций и (s), tQ< s < T , с интегри руемым квадратом ||«(s)|p, со скалярным произве дением
г |
|
(и, v) = J {и (s), v (s)} ds, и, |
t i e / , 2 (R), |
*) При указанных выше условиях |
процесс £ (t) имеет |
ровно п — 1 производных. |
|
§ 3] |
П РОЦЕССЫ , Э К ВИ ВАЛ ЕН ТН Ы Е ВИНЕРОВСКОМУ |
125 |
a L] (R) — подпространство всех функций и (s) е L2(R) таких, что u(s) = 0 при s > t . Мы считаем, что стан* дартный винеровский процесс r|(/), t0< t < T , имеет нормированную корреляционную функцию
5 4(s, t) = min(s — s0, t — /0) • R t0< s , t < T . (3.2)
Пусть g(£), t0< t < T , — какой-либо случайный про цесс с компонентами {g(0, -v}, t0< t < T , .v e R, и пусть Bi(s, t) — его корреляционная (операторная) функция в гильбертовом пространстве R:
Е {g (s), х} • {g {t),r у} = {Bi (s, t) x, у}, |
.v, y ^ R . |
(3.3) |
||
Как мы знаем, семейство подпространств Я, (g), |
||||
t0< i < T , |
будет и з о м е т р и ч н ы м |
семейству |
Lt{R), |
|
t0< t < T , |
если, скажем, процесс l(t), |
t0< t < T , |
экви |
|
валентен винеровскому процессу r)(i), |
t0< t < T . |
В дан |
||
ном случае эквивалентность означает, что оператор А:
А : X /(s)*->{S(0 . |
*}. |
(3.4) |
определенный на полной в L2(R) |
системе элементов |
|
и (s) — %, (s) х (t0< s < T ; х е |
R\ |
t0< t < T ) (3.5) |
может быть продолжен до линейного ограниченного обратимого оператора А такого, что разность I — А"А есть оператор Гильберта—Шмидта в функциональном пространстве L2(R).
Согласно общей теореме п. 1 § 2 всякий оператор Гильберта—Шмидта в функциональном пространстве
L2(R) задается |
некоторым ядром |
К (s, t) е L2 (R X |
X R) — операторной функцией в гильбертовом про |
||
странстве R со значениями К (s, t) е |
S2(R) и интегри |
|
руемой в квадрате следовой нормой: |
||
|
г г |
(3.6) |
|
|
|
где |
|
|
|K (s, |
t) |2= Sp [/((s, t y -К (s, /)]. |
|
126 ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. IV
. Следовательно, при условии эквивалентности
|
|
т т |
|
|
|
|
|
|
(и, v) — (Аи, |
Av) = | J |
{К (s, t) и (s), v (/)} ds dt, |
(3.7) |
|||||
где К (s, |
t) — некоторое ядро из |
L2 (RR). |
выполнено |
|||||
Очевидно, |
соотношение |
(3.7) |
будет |
|||||
для всех элементов и, |
v ^ L 2(R), |
если |
оно |
выпол |
||||
няется для некоторой п о л н о й |
системы |
элементов |
||||||
(скажем, |
для |
системы |
(3.5)). |
При « (s) == |
(s) лг, |
|||
v (t) = Xt,(0 У соотношение |
(3.7) |
можно |
представить |
|||||
в операторной |
форме: |
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно также, что если представление (3.8) имеет место, то соответствующий оператор / — А*А будет оператором Гильберта—Шмидта.
Далее, если разность / — В {В = А'А) есть опера тор Г ильберта—Шмидта, то условие обратимости огра ничейного оператора В можно выразить следующим образом: оператор I — В не имеет собственного зна чения, равного 1 (см. по этому поводу стр. 113).
Витоге мы приходим к следующему результату.
Те о р е м а . Для эквивалентности случайных про цессов£,({) и г|(0, t0< t < T , необходимо и достаточно
чтобы разность b{s, |
t) = B^(s, t) — B i(s, |
t) была абсо |
|||
лютно непрерывна |
относительно ds'X dt, |
точнее, |
|||
ft (S, 0 = |
J J /С (s', |
f) ds' dt', |
t0< s , t < T , (З.г |
||
где производная |
R (s, t) = |
д2 |
t) имеет интегри |
||
ds д{ b (s, |
|||||
руемую в квадрате следовую норму.
т т