Файл: Рогожин В.С. Теория операторов Нетера [учеб. пособие].pdf

B x B « t ) + 5 K ( t , 5 W ( « A S = f i t )

C . i )

содержащее неопределенные пока функции

Ц ц Ш * 1 ^ « ( ^ ) •

которые

поябераы так,чтобы для уравнения (4.8)

имел меото

Первый

случаи

альтернативы»

Запишем однородное уравнение, соответствующее уравнение

(4.В), в

с * у

. . . f < * — :

.

• 4)

Исаи

X(t1 ** квЦвев виво

ненулевое

решение

уравнения

С*Л),

то

должно

йЫйолннтьвя уславИе

ортогональнйсти

его правой

части

у Можно Питать.)

что

- оу.-Мйруеная функция в

квадрата О.

и J C ( i } - суммируемые

с

квадратом функции Нв отрезке |4t

j

, или же считать,

ч ю

функции

^(ej^jfrt^^tCt) непрерывны. В каядом из

этих

случаев справедлива теорема ифедголъиа.

функциям

"^j('t)

ч образующим бааио

решений

однородного уравне­

ния, сопряженного с уравнением (4*2). Ьапишем это условие в

виде

3

fell

*

J ci

(4.5)

Выберем функции

(^Д-Ь) тай, чтобы

выполнялись равенства

При таком

выборе

функций L

( t l

иа (4.5)

получим

'К

ft'

=:)

С |

X j C b )

. где Х | ( " Ь )

-

баэйс решений

уравнения

(4 . ^),

С |

-

некоторые поотояннывь

Подставляя

полученное

ШракеНйв Для

fat) в

(4.б),будем

иметь

Ксли

теперь

выбрать функций

с^С^)

таи,

чтобы

то из предыдущего равенства1

Зуди* вытекать,что Ci-Ot

j - ^ V " ^

а это

означает,что и Х((г)

-

О .

Итак,для того,Чтобы уравнение

(4.4)

не имело других реше­

ний,кроме

нулевого,функции

и Z^Ct)

должны быть

-

18 -

биортогональньдаи

функциям

QCj(t)n

^ ( t )

соответственно. Еоли

3 ^ ( £ ) и %i(.fc) !®ат ортонррмированы,

то

проще всего

веять

Вспомогательное

уравнение

(4.3)^при

этом

примет вид

Х Ю +\}(Ct ) 5)XCS)l5

^ { t ) ^ № ) X K ( 5 ) i s

4Щ

Тк>

KM

<x-

при некотог-

Залетим далее, что еоли иоходное уравнение (4.1)

рой правой части

$-[Ъ)

разрешимо, т . е . выполнены

условия

,

принадлежа обраэу

оператора

XC ' t)

"Ь^ •R('fc) 5)X(S)ol5»

ортогонально

функциям

TijCfc) . Отсюда, в силу ортонормированнооти системы функций

"Х-к^-^'

^^^j^)

ц*

и равенств

(4.У)

вытекает,

что

Ив этого равенства чЗгедует-, что уравнение

(4.8)

совпадает

с

(4 . 1), что и утверждалось.

Сейчас мы сформулируем

соответствующий результат

для

общих

ную выше.

. > '

«

Демна Шмидта. Пусть

& (: ^ E ^ E J 1

квазифредгольмов

оператор и

к

(определение элементов

2 , к

£

и

функционалов | К

^ Е ^

см.

в § 2) ,

тогда:

^

4. Оператор <и имеет ограниченный обратный: уравнение

{^>ЭС — ^ единственным

образом

разрешимо в f~"/j при любом "jj из

2.

Если t j £

Е ^

• т о

решение

уравнения D X * - ^ cogna^-

дает с

решением уравнения

B^C^^j

в подпространстве

.

5.

Е о л и - и ^ Е ^ , зо решение

уравненияВх=^ оовпадае!

решением уравнения R.0C-1J

в

подпространстве

^ •

Доказательство. Запишем

уравнение

В Э С = ; 1

в виде

сиоте-

й

к« <

'

(4.8)

ра

В

на

Е,)

• Обозначим

через

R сужение оператора

R

на

. т ° г д а

f

л

о о - Ж

Л о т

- J

&

Х

ПРИ 0 С £

Е ,

ft ас

ПРИ х

t

£ J

^Этал

формула дает

выражение оператора оq

в

вида Прямой суммы

& 4- К

операторов 6

и R

,

определенных

на слагаемых

Е 1

,

прямой

суммы t

— t <

4- Г 1и действующих соответст-

1

из

|~С0-<Ч

Г * ° - « <

Г *

СГ°'

венно

£

в

Ь

и и

з

L ^ в

С ^