Файл: Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования.pdf

19

§.0.3. Известные результаты по близким проблеял.

Остановимся подробнее на работах ил близко!-! нам облас- '

ти - отыскании асимптотически оптимальных форм с узлами на ' решётках.

Выше мы говорили о работах С.Л.Соболева. Сейчас оста­

новимся на результатах других авторов.

И.Бабушка установил важзме свойства экстремальней

функции оптимального функционала погрешности , вычис­

над несколькими пространствами [2.2} ,[2.о]

NH.С.Бахвалов и И.Ф.Шарыгин получили оценки снизу для

норм функционалов погрешостей при произвольных узлах и весах над лиодгими банаховыми пространствами \3.23Дз.зТ^ Г_Зо] и др. Э-ii. оценки имеют больное зныч^-пие, так как поз­

воляет оценивать качества любых формул, а в решётчатом слу­

чае выделять формулы оптимальные по порядку - достаточно по­ лучить соо тв етствующие оценки сверху.

Л.В.Войтишек вычислила кубатурные формулы Соболева для некоторых многогранников [ 7 ] Н.В.Блинов вычислил их

для некоторых плоских областей о кусочно гладкими граница^ ми [ б ]

В. И. Поло вин кин распространил теорию асимптотической оп­

тимальности на интегралы с весом ^14. , получил результа­

ты по асимптотической оптимальности для ряда эквивалентных норыировок W z m (12) Г.14.23

2 1

Даётся аксиоматически!! подход к проблеме псимптотическоГ. оптг.шшюети lyineujionanoB с ослаолешо регулярна.! погршшчшэ.! слоем шд гилыхфтовилн пространствами (главы 1,Л, определения 5 - 9 , теоремы 3 - 6) и банаховыми прост­

ранствами функции с пегрершнмли нроизгю,:цш.!и некоторых по­ рядков (гл. Ш, теоремы 7 , 8 ) .

Идея этоП оксисмстики состоит Б том, что для асимптотичес­

ком оптиыьльности фунгацонапоп погрешности с ослаоленно регулярнш пограничный CJDCM над рассмотренными пространства­ ми достаточна оптимальность по порядку этих Функционалов над некоторыми другими пространствами - в частности, над

пространствами V/^ Д" я всех hrv из некоторого интерва­

ла С и ъ м л д Показано, что функционалы Соболева удовлетворяют тре­

бованиям, наложенным аксиоиатикой ( п° 1,2.3 ).

Построены ноше функционалы, также удовлетворянцие требованиям аксиоматики, и, следовательно, также являющие­ ся универсально асимптотически оптимальными (гл. 1У).

Идея построения этих ;орыул состоит в привлечении локальных методов теории линейных уравнении с частыми производным!, опираемся на операции разбиения единицы-и локальное рас­ прямление границы.

IptfljioJcejiiiJit метод является .более экономным и реализуем для областей с гледми.и границами.

8 заклгнение, в §§ 5.2, 5 . 1 , мы формулируем никоторые выводы и те в&дачх, гокше еовникли в связи с примененны- ым аьык методами и подучаиьыи реы_,дьтьт£ыи.

2 2

Г Л А В А 1

от\шыш ПОРЯДОК КУБАТУРНЫХ •ирш •

§1.1. Интегрирование периодичесжх Функций.

Вэтом параграфе ш выясним вид оптимального функцио­

Сразу отметим, что хотя говорится о "произвольном" В и класс изучаемых действительно, широк, но мы с

самого начала исключаем из рассмотрения весовые пространст­ ва, потому что всегда требуем инвариантности нормы по сдвигам аргумента Функции - свойство (0 . 2 . 3) .

тР 1.1.1. Оптимальные Формулы.

Леша 1. Над банаховым пространством В со свойст­

вами (0 . 2 . 2),(0 . 2 . 3) один из оптимальных функционалов пог­ решности имеет вид

Это утверядение для строго выпуклых пространств бы­ ло установлено С.Л.Соболевым [19 . 12^ в приведенном здесь виде его независимо получил Г.Н.Салютов.

Доказательство.

. Пусть оптимальный функционал ьадаётся формулой

В частности, в ряды Фурье раскладываются и функционалы

•погрешностей. По лемие 1 один из оптимальных функционалов

2 5

V

C^-j соответствующее оптимальному функционалу, даёт мини­