Файл: Малоземов В.Н. Совместное приближение функции и ее производных.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 02.08.2024

Просмотров: 89

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

fl.

Очевидно, что Рп е Нп, причем в силу леммы 1.1

Р а( (х) = Q„_r (х).

Последовательность {Рп {х)} является требуемой. Действительно, во-первых,

во-вторых,

а

 

Р\р (х) = Qn~ Г(х) —>- ? (х).

'Теорема доказана.

П~+оо

;

§ 2. Обобщение второй теоремы Вейерштрасса

Справедлива

. Теорема 2.1. Для того чтобы 2п-периодическая функция f(x) имела на (— оо, оо)'непрерывную r-ю производную, равную ц>(х), необходимо и достаточно, чтобы нашлась последовательность

тригонометрических полиномов {Гл(х)), Тпе Н п , п —1, 2,..., такая, что при п->- оо

( 2.1)

(2.2)

Предварительно установим лемму, которая в дальнейшем будет неоднократно использоваться.

Лемма 2.1. Если Ф(х) — 2п-периодическая интегрируемая на отрезке [0,2зт] функция, то при любом вещественном а

оа

■ Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть 2 n k^a < 2 n (k + 1), где k — це­

лое число. Тогда

2тс (£+2)

а

а+2х

j Ф (х) dx =

. J

Ф (х Ц- 2тzk) d x ~

I" Ф (х) d x +

il

'Лемма доказана.

С л е д с т в и е .

В условиях леммы 2.1

при любом веществен­

ном X справедливо равенство

 

 

 

 

2к

 

2-

 

 

I Ф (х — t) d t =

Г Ф (^) dt.

Действительно,

о

 

о

 

 

 

 

 

2*

 

ж

 

2-

Ф {X — t ) dt =

J . Ф (t) dt

= J Ф (t) dt.

О

л- -

2г.

 

О

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е мы . Д о с т а т о ч н о с т ь . До­ пустим, что выполнены соотношения (2.1) и (2.2). В силу тео­ ремы А. 1 и (А.9) (см. Дополнение А)

 

 

 

 

(I '

■«

*

 

О оК,

(2.3)

 

 

Тп (*) =

 

J Тпг), (t) Br ( X -

 

 

 

 

оо

 

 

О

9гс

 

 

 

 

 

 

 

 

где

Вг (и) =

2 ^7 cos

— -у-) и 0оя).=

J

(0 d t-

 

 

 

 

ft = 1

'

 

'

о

 

 

Переходя в (2.3) к пределу при /г-»- оо, получаем

 

 

 

 

/ W

= y -

+ y - J ? ( 0 Вг ( X - t )

dt,

 

 

 

 

 

 

 

О

 

 

 

где

а 0 =

1

2z

 

Поскольку при этом

 

 

 

— J f ( l ) d t .

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2-

 

 

 

 

 

 

ср (г!) ^

=

Нш J

Л'Г) (t) dt

lim [7 t-1) (2~) — Гп _1) (0)] = О,

 

 

 

Л-*-со

 

 

 

 

 

 

то на основании той лее,теоремы А.1 заключаем, что f{x) имеет на всей оси непрерывную r-ю производную, равную <p(x).

Достаточность доказана.

Н е о б х о д и м о с т ь . Если 2л-периодическая функция f(x) имеет на (— оо, оо) непрерывную г-ю производную, то на осно­ вании теоремы А.1

/ (X ) = - f + -L j > > (t) Вг ( X - t) dt.

(2.4)

о

 

По второй теореме Вейерштрасса (см. Введение) найдется

последовательность тригонометрических полиномов

{Q« (■*)},

Qnе Н„, п —1,2,..., такая, что при п-*~оо

 

Qп £ £ 0

 

Ql (X) = Qn (

л

1

2к

 

)

Qn (t) dt.

 

В этом случае по-прежнему

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.5)

однако теперь при всех /г

 

 

 

 

2тг

 

 

 

 

J Ql (t) dt = 0.

(2.6)

о

 

 

 

 

Введем обозначение

 

 

 

 

1

2*

 

 

(2.7)

Tn{ x ) = ^ r - \ - ^ r \ Q l { t ) B r { x - t ) d t .

В силу леммы 2.1

О

 

 

 

 

 

 

 

2тс

 

2*

 

 

J Q» (О Вг {х — t) dt =

f Q*; (JC - 0 Br (t) dt.

 

о

 

0

 

 

Отсюда и из (2.7) следует, что T„(x) является тригонометри­ ческим полиномом порядка не выше п. Заметим также, что в силу (2.7), (2.6) и теоремы А.1

Т{п] (х) = Ql (х).

Покажем, что последовательность {Г„(х)} является требуемой. Действительно, на основании-(2.7), (2.5) и (2.4) при п-*- оо

~2-

Т„ (Л-) -> - f -Ч- 4 - 1 / М (О В' (* - t ) d t = f { x ).

о

С другой стороны,

у(0

Теорема доказана.

§3. Дробное дифференцирование периодических функций

1.Рассмотрим тригонометрический полином

П

 

Тгі(х) = А п-\- ^ (ßft0 cos kx -f 0*л) sinàx). '

(3.1)

fc= 1

Очевидно, r-io производную от Tn (x) при натуральном г можно представить в виде

Будем считать, что формула (3.2) определяет г-ю производную от Тп (х) при любом вещественном /'>0.

Теперь можно ввести следующее

О п р е д е л е н и е . * Пусть функции f и ф принадлежат С и г — положительное число. Если существует последовательность тригонометрических полиномов {Тп}, /г= 1, 2,..., такая, что при

п — ОО-

TnS f , г<г)-£ш, (з.з)

то ф называется непрерывной дробной производной порядка г от f и обозначается f(r).

Прежде всего установим корректность этого определения. Теорема 3.1. Если непрерывная дробная производная по­

рядка г > 0 функции f œ С существует, то она единственна.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Допустим

противное. Тогда найдется

последовательность тригонометрических полиномов (ДДл:)}

Тп (л) = Ап +

"V (ai'0 cos kx +

б*0 sin kx) {n — 1,2, ... )

такая, что при i i - +

со

 

 

Т п - ^ 0 ,

(3.4)

где 0 — нуль пространства С, а -ф(х) ^ 0 .

Покажем, что все коэффициенты Фурье функции ф(х) равны

нулю.

 

 

 

 

Действительно, в силу (3.4) и (3.2)

1

2-

 

 

2*

—

f ф (-*) dx = lim —

Г ТІГ) (х) dx — 0.

 

о

 

п^°°

о

Далее, поскольку

9-

 

 

 

 

Тп(х) cos kx dx ^ 0,

 

ai"’ =

j"

 

 

u

 

 

 

1

z'

 

 

 

= — Г T (x) sin kx dx —►0,

 

ï î

J

n

П~*~oo

 

 

0

 

 

то при всех натуральных k

-

2*

 

J

2я

 

—

Г ф (х) cos k x d x — lim —

Г Tir) (x) cos k x d x =

 

U

 

0

)

= iim Æ(n) lain)cos -y- -f 6*° sin -^-1 = 0.

* CM. [14, 15]. Другие определения дробных производных периодических функций были даны Вейлем [44].

Аналогично

J

2*

 

 

2к

—

f б (JC) sin kxdx = lim —

Г T'jp(x ) sin k x d x —

'L о

 

*

о

 

= limÆr (— я!”' sin —ту—[- ôj^cos-^-] = 0.

 

' fi-м»

l.

*-

“ J

Таким образом, все коэффициенты Фурье функции ф(х) равны нулю. Отсюда в силу полноты тригонометрической си­

стемы -ту, cos x, sinx, cos 2х, s i n 2 x , c o s их, sinnx,... в C

следует, что -ф(х)=0. Но это противоречит допущению. Теорема доказана.

2. Обозначим через СО класс 2я-периодических функций, имеющих непрерывную дробную производную порядка г>0,

и получим для функций из СО интегральное представление. Для этого положим

В г (* ) =

где г — любое положительное число. При r> 1 будет Вг е С. Заметим также, что

I '"-о , если х е ( 0 , 2^), .

2

(. 0, если- x = 0.

Пусть 0< г< 1 . Тогда

 

 

 

М

1

 

Вг (0) = cos-^- ^

— = оо.

 

Лемма 3.1. Функция Вг(х) при 0 < /'< 1

непрерывна в интер­

вале (0, 2я) à суммируема на [0, 2зт].

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Воспользуемся преобразованием Абеля

N

N -

1

 

 

 

 

Uh°k~

2

(И* _ ' Uft+ 0

 

 

Л= 1

* = 1

 

 

 

 

где Ѵй= Пі + у2+ • • ■+ ил. Получим

 

 

 

 

 

1

1

1

Dkr (x)

&Nr (X)

 

 

 

 

й = 1

Аг -

(А + ІУ

N r

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

Dkr (л) =

cos ( x

----+

cos { 2 x ----------

 

 

+ . ..

 

 

 

 

, k -|-

1

 

n \

k

... 4- cos I kx —

 

c o s ( — 2 — x -------

 

— s i n - y JC

 

 

 

sin •

 

 

(3.5)

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда следует, что для x œ (0, 2д)

 

 

 

 

 

 

со

 

k x -----

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

s

-

 

k T

 

 

 

 

 

 

 

 

; A +

I

 

m \

k

- S te

 

1

 

cos I-— 2— x -----2“

sin ~2 ~ x

 

 

 

 

 

 

(3.6)

(* + l)r

 

 

sin

•

 

ft= l

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k T

(k

+

l ) r

,r+ l

>

 

(3.7)

 

 

 

 

 

 

 

 

то последний ряд равномерно

сходится на

любом отрезке, со­

держащемся в (0, 2я). Значит, функция Вг(х) является непре­ рывной в интервале (0, 2я)/

Покажем, что при всех натуральных k

 

2-

 

 

 

j |П Аг(х)|Д а: <

я (21п £ + я).

(3.8)

В силу

(3.5)

 

 

2*

. k

 

 

 

sin - J - x

 

 

Г

I Dkr {x) I dx <

-dx = 4

siï/^ 1 d x ‘ (3-9)

 

sin ■

 

 

Для оценки последнего интеграла воспользуемся неравенствами

2

 

 

■

-

|s i n x |^ |x |; s i n x > — х, если

X œ . О

, . Получим

sin k x I a f x <

2

I

I sin k x

IX d x < C

sin X

X

 

 

 

 

2ft

<

2ft

Отсюда и из (3.9) следует (3.8).

16

Смотрите также файлы