Файл: Малоземов В.Н. Совместное приближение функции и ее производных.pdf

Скачать файл (4,20Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 02.08.2024

Просмотров: 62

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

откуда фі {х) < “фі (л) = я.

Допустим, что (Д.2) имеет место при n = k — 1 и докажем его справедливость при n = k. Для этого заметим, что максимум

ярл (х) на

[0, я]

не

может

достигаться

во

внутренней

точке

отрезка [0, л].

противное. Тогда найдется

Действительно, допустим

точка

X2œ (0, л), для которой

àf, (х,) =

шах

ф/. (х) >

л.

,ѵе|П,Е|

Имеем

'Ь (JC3) = 1 +

cos х 2+

cos 2xj

cos kx> = Dk (x2) +

4 - =

sin I k +

- І - 1*3 +

sin

= 0.

: sin -Xo

Отсюда

sin [k-{- — | x 2 =

sin-к1- и

cos ( k +

x 2

= cos-

Учитывая, что

siaÆx, =

— sin

[cos — +

cos (k + ~

) ^2 ) < 0,

получаем

* <

% Ю

= V i W

< V i (-«a).

T. e.

(x2)

л.

Но

это

противоречит

индуктивному предпо-

ложению.

(0, л)

Итак, для всех х е

Фй(•*) <

шах

(г) =

шах {ф/г (0), фй (л)) = л.

2і=[0,г.]

Теорема доказана.

С л е д с т в и е . При всех натуральных п и любых веществен ных X выполняется неравенство

2	sin kx	(Д-3)
2	k	(Д-3)
k—n.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Неравенство

(Д.З)

достаточно дока

зать для X е = (0, я ) . Но в этом случае

4 ^ 1 S in k X

IC — • X

так что

2d1

т ~ — ~

’

Sin k x

~~1

' Л - 1

! =

Теперь (Д.З)

очевидным образом следует из теоремы Д.1.

2. В этом

пункте будет

доказано

неравенство С. Н. Берн

штейна для производной тригонометрического полинома.

Лемма Д.1. Если, тригонометрический полином

Тп(х) по

рядка не выше п обращается в нуль в 2п+\

точке полусегмента

[О, 2л), то Тп (х) = 0 .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть

Тп (х) = А +

(а,, cos kx + bk sin kx)

fe =

и Xs œ [0,2я), s= 1,..., 2/г+1, суть

корни этого

полинома. По

формулам Эйлера имеем

Тп ( х ) = А +

а„ _eik x +

e ~ ik x

glttX— g--i kx

2Г

k = 1

2п

dke ^

= e ~ ^

dk - n ^ x-

fe=- и

ft = 0

Заметим, что точки

= elXs являются корнями алгебраического

2п

полинома P2n(z) =

dkп2'1■

Поскольку xs

принадлежат

k = о

[0, 2я), то точки zs попарно различны,

так

как

их число

равно 2 п + 1 , то Pîn(z) = 0 .

Учитывая,что

Тп(х) =

e~inxP2n[elx),

получаем требуемое: Тп(х)=0.

Лемма доказана.

Тп (х) — произвольный

тригонометри

Теорема

Д.2.

Пусть

ческий полином порядка не выше /г. Тогда

М С / г Ц Д ,

(Д.4)

Неравенство (Д.4) называется неравенством С. Н. Бернштейна.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим

К (t) = 2п COS 1lt ctg t —9h A e [ 1 : 2/г],

где ik =		Так	как		cos nt = cos[n(t — th) +iiik] =
—(—l)'1sin n ( t — th), то hk (t) =					sin n ( t — tk) ctg			. Те
перь замечаем,что
2 + cos t +		cos 2t +	... -f- cos (« — 1 ) t				cos nt =
Sin I n -j-	j t	J		sin nt cos		1	. , ,	t
	■j—-------- — cos nt — ---------Y ~					= — sm nt ctg — ,
2sinTT			'Г		2 sin -
			'Г	Из	определения		следует	также,
откуда следует, что hke / / „ .				Из	определения		следует	также,
что
		К {Q		0, если k Ф s,				(Д-5)
		К {Q		1, если k = s.				(Д-5)
				1, если k = s.
Введем тригонометрический полином
		QnV)=		2л
		QnV)=		^ r v j h b i t ) .
			и = 1
В силу (Д.5)	будет Q„(ts) =T(ts),				s e [1 :2л]. Функция

«л (О = т„(0 ~ <3я (О — [Т„ (0) — Qn (0) ] cos nt

является тригонометрическим полиномом порядка не выше л, причем ип(ts) =0, s e ' [1:2л] и лд(0)=0. В силу леммы Д.2 ип (t) ^ 0 , так что

2л

(О = [Т„ (0) — Qn(0)] cos nt + У] Tn (t,{) /h (t). k= 1

Дифференцируя это тождество по t и полагая / = 0, получаем

1	2,1		1
тл ( 0 ) = - ^	2	Тп ^	( _ 1 )fe+1 — д	г •	(Д-6)
	k = 1		sin- —2”

Последнее равенство справедливо для произвольного тригоно метрического полинома порядка не. выше л, и в частности для sinnf и Tn(t+x) при любом фиксированном х. Подставляя в_(Д.6) sin nt и Tn{t+x) вместо Tn (t), получаем

	4л	= я,		(Д-7)
1	2,1	7,I.U + A)(-1)+1	1	(Д-8)
т ' Л х ) = ^г	2	7,I.U + A)(-1)+1	- J T -	(Д-8)

ь - i

sin2*

Из (Д.7) и (Д.8) легко следует требуемое неравенство (Д.4). Действительно, при любом вещественном х

S '

ft = 1 2п

что и требовалось доказать.

Сл е д с т в и е . Для произвольного тригонометрического по линома Тп (х) порядка не выше п и любого натурального г вы полняется неравенство

IТУ I< ,Т IТпI	(Д-9)
* В [35] и [6] получено обобщение неравенства (Д. 9)	на случай дроб

ных г. Из приведенных там результатов вытекает, в частности, что при любом вещественном г>0

II ІІ < 2/гг \\Т„ ||.

1.	А хи ез ер Н. И.	Лекции по теории	аппроксимации. М., «Наука»,
1965. 407 с.		Б., М а л о з е м о в	В. Н. О приближении непре
2.	Б а ш м а к о в а И.

рывных функций алгебраическими многочленами. — «Вестник Лениигр. ун-та»,,

1968, № 13, с. 5—9.

Ю. А.

Приближение целыми функциями на внешности

3. Б р у д н ы й

отрезка

полуоси. — «Доклады АН

СССР», 1959,

т. 124,

№

с. 739—742.

4. Г а р к а в и

А. Л.

О приближении периодической функции и ее про

изводных

тригонометрическими

полиномами. — «Успехи

матем.

наук»,

1958,

т. XIII, вып. 2, с. 230—231.

О совместном приближении периодической функ

Г а р к а в и

А. Л.

ции и

ее производных

тригонометрическими

полиномами. — «Известия

АН СССР. Сер. матем.», 1960, т. 24, № 1, с. 103—128.

Н.

Бернштейна

для

Г е й с б е р г

С. П. Аналоги

неравенства

С.

дробной

производной. — В

кн.: Вопросы прикладной математики и геометри

ческого моделирования. Краткие содержания докладов к XXV научной кон

ференции Ленингр. инж.-строит. ин-та. Л., 1967, с. 5—10.

7. Г е л ь ф о н д

А. О. О многочленах, наименее уклоняющихся от нуля

вместе

со

своими

производными. — «Доклады

АН

СССР»,

1954,

т. 96,

№ 4,

с. 689—691.

А. О.

О равномерных

приближениях

многочленами

8. Г е л ь ф о н д

с целыми

рациональными

коэффициентами. — «Успехи

матем.

наук»,

1955,

т.X, вып. 1, с. 41—65.

9.Г о н ч а р о в В. Л. Теория интерполирования и приближения функций. М., Гостехиэдат, 1954. 328 с.


	10. Г о п е н г а у з		И. Е.		К теореме		А. Ф. Тимана о приближении функ
ций многочленами		на конечном				отрезке. — «Матем. заметки», 1967, т. 1, вып. 2,
с. 163— 172.			И. Е. К			вопросу	о приближении функций на отрезке
и	11. Г о п е н г а у з
	в области с углами. — В				кн.: Теория функций,			функциональный	анализ
и	их приложения,		вып.	4.	Харьков,		Изд-во Харьковского ун-та,		1967,
с. 204—210.		В. К-		К	вопросу о		наилучшем	тригонометрическом при
	. 12. Д з я д ы к
ближении кратно		монотонных				функций	в метрике	L. — В кн.: Исследования

по современным проблемам конструктивной теории функций. М., Физматгиз,


1961, с. 72—82.	П. П. Линейные операторы и теория		приближений.
13. К о р о в к и н
М„ Физматгиз, 1959. 211 с.
14. М а л о з е м о в	В. И. Обобщенное дифференцирование периодических
функций. — «Вестник Ленингр. ун:та»,		1965, № 7, с. 164— 167.
15. М а л о з е м о в	В. Н. Обобщенное дифференцирование периодических
функций. — В кн.: Исследования по		некоторым проблемам	конструктивной

теории функций. Труды Лениигр. мех! ин-та, № 50. Л., 1965, с. 147— 166.

Смотрите также файлы

Малоэтажные полносборные индустриальные здания разработки по материалам исследований Амдерминской подземной лаборатории (сборник научных трудов)..pdf

Механическое оборудование для театрально-зрелищных предприятий верхнее сценическое оборудование (обзорная информация)..pdf

Мишин Д.Д. Процессы намагничивания и перемагничивания в магнетиках конспект лекций.pdf

Монахенко Д.В. Исследование сейсмостойкости бетонных плотин на моделях математические модели, условия подобия и их реализация в модельных исследованиях.pdf

Некоторые специальные разделы курса теоретической электротехники учеб. пособие.pdf

Файл: Малоземов В.Н. Совместное приближение функции и ее производных.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно