Файл: Малоземов В.Н. Совместное приближение функции и ее производных.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.08.2024
Просмотров: 64
Скачиваний: 0
« ^ s4 r + 5 найдется алгебраический полином Рп (х) степени не выше іі такой, что для всех s e [0: г] и х<= [fl, 6]
| / W (л: ) - Я ^ ( л-)!< Л г( У ( Ь - х ) ( х — а)
X « /ДО. У (b — x)(x — a)
Доказательства сформулированных теорем приводятся в § 2, 4 и 5 главы II.
В последней, третьей, главе изучается вопрос о наилучшем совместном приближении 2я-периодической функции и ее про изводных тригонометрическими полиномами. Положим
%пг (/) = inf |
max |
} \ f { s ) - |
|
|
|
В„ i f s)) |
|
||
{Гп} |
JelO:r] |
|
|
|
Тогда для любой функции |
f е Сw |
выполняется |
неравенство |
|
&пг( Л < ^ 1 п ( р + \ ) + 0(\), |
(3) |
|||
где р.!=min {/г, г}, а 0(1) — величина, ограниченная по модулю абсолютной константой. Более того, для величины <§Пі-= = sup Snr(f) при р—>оо справедлива асимптотическая формула
<§nr = hip + О (ln lnliijO). (4)
Доказательству соотношений (3) и (4), установленных А. Л. Гаркави, и посвящена в основном третья глава. ■
Известно, что некоторые классические операторы конструк тивной теории функций осуществляют совместное приближение функции и ее производных. Таким свойством обладают, напри мер, полином Бернштейна ([9], стр. 114—116). Однако эти частные вопросы в книге не рассматриваются. Не рассматрива ется также более сложная задача совместного приближения функции и ее производных в комплексной области. Интересую щихся этой темой отсылаем к соответствующей литературе [45—50].
В заключение отметим, что для чтения данной книги не требуется специальных знаний, кроме теорем Вейерштрасса и простейших сведений из теории рядов Фурье. Весь остальной вспомогательный материал приводится в Дополнениях.
Книга написана на основе спецкурса, который автор читал в 1969—1971 гг. на математико-механическом факультете Ле нинградского университета. Рукопись внимательно просмотрели В. С. Видеиский, Н. А. Лебедев, И- К. Даугавет, Г. И. Натан сон и Ю. Р. Вайнерман. Их замечания способствовали улучшению книги. Всем названным лицам автор выражает глубокую благо дарность..
|
Г Л А В А |
I |
в о з м о ж н о с т ь |
СОВМЕСТНОГО п р и б л и ж е н и я |
|
§ 1. Обобщение первой теоремы Вейерштрасса |
||
Имеется в виду следующая |
функция f(x) имела на |
|
Теорема 1.1. Для |
того чтобы |
|
отрезке [а, Ь] непрерывную r-ю производную, равную ц>(х), не обходимо и достаточно, чтобы нашлась последовательность
алгебраических полиномов {Рп(х)}, Рп е |
Нп, п= 1, 2 ..., такая, |
|||||
что при п-+- ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р„ (■*) -*-/(■*), |
|
|
|
(U ) |
равномерно по X œ [а, Ь]. |
Р ,р( (х) -> С? (х) |
|
|
|
( 1.2) |
|
|
|
|
|
|
||
Предварительно установим две леммы. |
|
[a, /?] |
непрерыв |
|||
Лемма 1.1. Для |
того |
чтобы f(x) имела на |
||||
ную r-ю производную, равную ц>(х), необходимо и |
достаточно, |
|||||
чтобы для всех х е |
[a, b] |
выполнялось равенство |
|
|
||
|
|
а |
|
|
|
|
где qr- ] (x ) — некоторый |
алгебраический |
полином |
степени не |
|||
выше г — 1. |
|
Д о с т а т о ч н о с т ь . |
Пусть |
справед |
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
||||||
лива формула (1.3). Тогда последовательным дифференцирова нием для xŒ.[a, b] получаем
/ '( * ) = <д_i(jc) + (,-і ! 2) Г І |
2<? ( t ) d t , |
ci |
|
f {r (x) = q(rr_ 1!) (x) + IX ®{t) dt, a
f r)(x) = «P(JC),
что и требовалось доказать.
8
Н е о б х о д и м о с т ь . Допустим,^что f(x) имеет на [а, Ь\ не прерывную г-ю производную.
Рассмотрим при фиксированном х е [а, Ь] интеграл
(Т^туі § ( x ~ t y - y n (t)dt.
а
Применив к нему г раз формулу интегрирования по частям, получим
-<ДтуТ j (.г - tV " / W { t ) â i = — |
(л- - a t - ' + |
a |
|
+ JF±ÖT j (Jf—0r“ 2/ (r-1,(0 d t = ...
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
---------- 2 ' т а |
г |
т - 1 * - “Г ~ к+ f f ' W d t - |
|||||||
|
k= 1 |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
= - |
2 |
|
|
(X ~ |
®)r " ft + / |
(*)• |
||
|
|
k= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда очевидным образом следует |
(1.3), если положить |
||||||||
? (■*) = |
/ (Г) (-К) И |
- 1 (JC) = 2 |
|
^ |
_ k ) f |
(Х _ а)Г ~ * = |
|||
|
|
- |
2 |
|
^ |
< * -«> '• |
|
||
Лемма доказана. |
і = о |
|
|
|
|
|
|||
|
{g**(-£)}, |
г = |
1 , 2 , . . . , — последователь |
||||||
Лемма |
1.2. |
Пусть |
|||||||
ность алгебраических полиномов степени не выше k, которая
при £-»- оо равномерно на [а, Ь] сходится к функции g(x): |
|
Яы(х ) - + ё ( х )- |
(1.4) |
Тогда g(x) также является алгебраическим полиномом степени
не выше k (g œ Hk). |
|
произвольную си |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Выделим на [а, Ь] |
|||
стему из |
/г+1 точки, |
asgx0'< xi< . • .'<xh^ b , |
и воспользуемся |
интерполяционной формулой Лагранжа |
|
||
|
|
k |
|
|
9иЛх ) = 2 Яы[х і )1Л*)> |
|
|
|
|
ѵ = 0 |
|
где /ѵ(х) |
= П |
. В силу (1.4) |
|
|
*=о ѵ |
|
|
|
S+v |
|
|
Ям [х . )г?~ё[х ,),
поэтому равномерно по х е |
[а, Ь] |
|
|
|
к |
|
|
<iki(x ) r z |
2 ê ' K H v W - |
|
|
|
V= О |
|
|
Отсюда и из (1.4). следует, что |
|
|
|
' g (•*) = |
2 S { x , ) l v(x). |
|
|
|
V=0 |
|
|
Значит, g‘ f= Hk. Лемма доказана. |
Д о с т а т о ч н о с т ь . До |
||
Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р емы . |
|||
пустим, что выполняются соотношения |
(1.1) |
и (1.2). На основа |
|
нии леммы 1.1 |
|
|
|
Рп (*) =Яг-1,п (■*) Н—(7~Т)Т J |
(X - |
~ 1’ (0 |
|
а
Поскольку равномерно по X œ . [а, 6]
Р ПІ Х) - 1 / ( Х) ,
J
Û
ТО
Яг -1, „ (*) ^ /(■ *)- тт^іут S i x - t y - 1? « ) * .
a
Заметим, что <7r _ j ne //r _ j при всех /г, поэтому в силу леммы 1.2
|
/(*) - |
(,._1Т)|' J (JC- t)r |
1®(0 dt = qr_ x(х), |
|||
|
|
|
Û |
|
|
|
где |
qr_ x^ H r _ х. Отсюда на основании |
леммы 1.1 заключаем, |
||||
что f(x) имеет |
на [a, b] непрерывную г-ю |
производную, рав |
||||
ную ф(х). |
|
|
|
|
|
|
|
Достаточность доказана. |
|
|
[a, b] непрерывную |
||
|
Н е о б х о д и м о с т ь . Если f(x) имеет на |
|||||
г-ю производную, равную ф(х), то на основании леммы 1.1 |
||||||
|
|
' |
|
X |
|
|
|
/w = ?f-iW+ (г-i)! J ^x-ty~\{t)dt. |
|||||
|
|
|
а |
|
|
|
По |
первой теореме |
Вейерштрасса |
(см. |
Введение) найдется |
||
последовательность |
алгебраических |
полиномов (Q,, _ г (■*)}, я = |
||||
=г + 1, г + 2, ... , такая, что равномерно на [a, b]
(X)? ( х ) .
