Файл: Малоземов В.Н. Совместное приближение функции и ее производных.pdf

а р

х р + ^

Csp ( - \ ) sx p- sx {2m+1)sQ%{x2)

<

- Л т

~ЙР'

или

X

х Р-\-Ъп 2

s - \ n s !х Ц т (J -1 )

■

лР

(Б.21)

( — 1 ) J _ 1 C

•( р

S =

1

J_

< J _ . ______ 1’______. ________P_______ L <

N

n n — m(p— 1). j

j

m (p —

l) + p n

'''•

p

n

■

(а*) = yik) ( s e [ l : m ] , £<=[0 :0, — 1 ]).

т

аі~1

-

Ln{x)= У

У у \» Н і}{х),

(В.1 )

іТ і f T О

где Ніі{х) — полиномы

/г-н степени,

определяемые условиями

’ 0,

если

s Ф і,

Ігф j,

[*.)

0,

если

s =

г,

1,

если

s =

г,

k — j.

Действительно,

ГП аі 1

а -1

IÏ’M “2 2 Л Л 'М “ 2 yWM-y?’.

I = 1 j = о

у=0

Покажем, что

Н

(х \

— 1

Q 0-')

‘ у

1 [ (■* — -*г)иЛ (ѵ)

f r

— x V 1

(R 9)

'

Л

(х-Х;)°Г'

2 і

ѵ!|_ Q(JC)

Іѵ^д-Л^

Xi) ’

(B-2)

v

u

-1= 0

1

где

2 (A') =

fl (A — A;)“

/ <= 1

Пусть яфі. Так как

Ни (х)'= (а — AJ)a^Qy (а), где Qij{x)

полиномы степени п — as, то

H if (Ai) = 0 для

£<= [0 :as — Г], / е

[0 :ог — 1].

Далее Нц {х) = (х — Хі)іРі}{х) ; отсюда

H tf (а,-) = 0

для k е

[0 :j

— 1 ].

Осталось показать, что

Н \Н х і) = 1;

Н ${ { х і)

=

0 для

kf=[j +

1 :о( — 1].

(В.З)

/

/

(

*

)

(

Г

й(л)

П

]

P W " 1

1

[(А-АгУО(V)

ѵ

V

-

Q(x)

L

Ml}

~w

Л W

.(х— *йХ

L

J U

V !

Jѵ=і- Х

V —

0

■‘+J

s (Л

(ft-P)

j

X (X — Х,;)Ѵ

р =}

(Х— x{fl ,v- = .v;

(P—J) ! X

(P-J)

X

{X — Xifi

S {X)

JA- = Xt p\

Воспользуемся равенством

c kCjp =

CJkCpkZjj. Это даст

и « 1w

=

c i

2

е д

j Г

a

W

1(ft-P)

(x —Xjfl

(p - i )

J

[(X-

Xi) \ X= X, L

Й ( Л

J

p=y

=

.

k~J .

Г

SW

J(ft- j - 1) Ux-xtfï](0

Ci

У

c i - J

JBOi

(JC— Xi)al_x = xl

Ol

Я4

1 = 0

-

W I d k ~

J

a (x)

(x — xi)ai

— bft

—

(.X —Xifl

a W

dxb-j

откуда и следует

(В.З). Утверждение доказано.

jct= —1;

х2=1; аі =

2.

Рассмотрим

частный

случай: т = 2;

= а2= г+ 1 .

В

силу (В.1)

и (В.2)

получим

следующее

пред­

ставление для интерполяционного полинома:

L2r+iW =

2

(1 — *2У [y[»ar. (x) +

yU)brJ {x)),

(B.4)

j =;°

где

arj(x)

и brj(x) — некоторые

алгебраические полиномы сте­

пени не выше 2 (г —j) +1.

ш(8) = о) (/;

8) =

sup | / (-»Ci) —/ ( * 3) 1 ,

I -^i —''’a ! ^ 3

х 1гл\л<=[а} Ь]

где 0 ^ ô < oo. Функция

со(Ô)

называется модулем непрерыв­

ности функции f(x). Модуль

непрерывности обладает следую­

щими свойствами: