Файл: Ливенцев В.В. Кибернетика горных предприятий (основные положения) учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 02.08.2024

Просмотров: 64

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

с,

Ю

12

/4

16

IB

 

&

22

M Х.тоК.Т

 

 

 

Рис. 12. График

к примеру I

 

 

для 1-й лавы

 

 

 

 

 

 

 

 

C,min =2/28000-0,00006

+

0,9 = 3,50

 

руб/m;

для 2-й лавы

 

 

 

 

 

 

 

 

С з т і п = 2

/25300• 0,0001 +

1,2 = 4,38

руб/m.

С точки зрения затрат на добычу по любой отдельно взятой лаве от­ клонение добычи в любую сторону от оптимума вызовет увеличение себе­ стоимости 1 т угля.

Если же лавы составляют систему, то этого может не произойти. Будем рассматривать обе лавы как систему и отыскивать глобальный оп­

тимум при условии, чтобы добыча из обеих лав в точности равнялась сумме их оптимальных нагрузок, т. е. 21600+15900=37500 т.

Модель задачи получает следующий вид:

28000 \ г. +0,00006.^ + 0,9 ) хх 4-

С =

31

 

 

 

 

25300

+0,0301дг2

4-1,2 л'з

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

> min;

 

(1.28)

 

 

 

 

Ч

X l +лг2

=

37500.

 

 

 

 

(1.29)

 

 

 

 

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

После преобразований

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С=

 

(28000 + 0 , 0 0 0 0 6 « + 0 , 9дг, 4 25303 4 0, ОО01 xf 4 1, 2*,)-» mi л ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.30)

і

 

 

 

 

 

хг 4-д:з—375С0 ^ 0

 

 

 

 

(1.31)

В соответствии с формулами (1.24) и (1.25) получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

2-0,0001-37500-0,941,2

 

 

 

 

 

 

 

 

хх"

=

 

 

 

 

 

 

 

^24400

ms

 

(1.32)

 

 

 

 

 

 

2(0,00006+0,0001)

 

 

1

 

 

'

 

 

 

 

2-0,00006-37500 4 0,9—1,2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2(о,ооооб40.оЩ

= 1 3 1 0 0 т -

 

( L 3 3 )

 

Как видим, глобальный оптимум не совпадает с частными

оптимумами

(см. рис. 12).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Воспользовавшись формулами (1.26) и (1.27), найдем величины себе-

стоимостей 1 т угля по каждой лаве

при найденных

выше нагрузках.

 

Себестоимость

1 т угля:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

по 1-й лаве

 

28000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'

':'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

руб/m;

 

 

 

d =

24400 40,00006-244004-0,9=3,51

 

( І З і )

по 2-й лаве

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25300

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

î =

Ï3ÏOO" + 0 ' 0 0 Ш ' 1 3 1 0 0 + 1 , 2 = 4 ' 4 4

/У^Л»-

 

(1-35)

Вычислим

общую

(участковую)

себестоимость

1 т угля

яри двух

ва­

риантах распределения нагрузок на лавы:

 

 

 

 

 

 

1)

 

21600 m;

.*:,= 15900 m;

 

 

ху4*3=37500

 

m;

 

 

 

?) ж, =24400

от;

х 3

= 13100

m;

 

X l +х2

=37500

т .

 

 

 

Первый вариант соответствует работе лав на локальных

оптимумах,

второй вариант — на глобальном оптимуме.

 

 

 

 

 

 

Произведем соответствующие вычисления.

 

 

 

 

 

 

Себестоимость

1 т угля при работе

лав по первому

варианту

(локаль­

ные оптимумы)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

„

 

3,50-21600 +4,38-15900

 

 

 

145242

 

 

р^бт.

 

 

С =

 

21600415900

=

 

 

37500

=» 3,87

 

 

Себестоимость

1 г угля при работе

лав по второму

варианту

(глобаль­

ный оптимум)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3,51-24400 4 4,44-13100

=

143700

„ р а

„

 

 

 

 

 

С— —

24400+13100

 

 

37500-3.S4

рубт.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Как

видим,

несмотря

на то, что при переходе от локальных оптимумов

к глобальному

оптимуму

себестоимость

1 г угля по каждой лаве

возросла,

32

в целом, однако, при той же нагрузке на участок себестоимость 1 т угля снизилась. Здесь наглядно проявилась эмерджентность системы.

Месячная экономия от снижения себестоимости по участку составила 145242—143700=1542 руб.

На свойстве эмерджентности систем основан весьма рас­ пространенный в кибернетике принцип системного анализа при изучении объектов и процессов.

Принцип системного анализа заключается в следующем: при отыскании оптимальных значений параметров подсистем не следует брать в качестве критерия оптимальности показа­ тель эффективности функционирования данной подсистемы, а следует взять в качестве критерия оптимальности соответ­ ствующий показатель эффективности той системы, куда входит изучаемая подсистема как элемент.

Обычно принцип системного анализа дает тем больший эффект, чем больше и сложнее исследуемая система.

ГЛАВА 11

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ § 1. Измерение информации в дискретных системах

Любая информация всегда представляет собой совокуп­ ность сведений о какой-то системе. Например, на пульт гор­ ного диспетчера угольной шахты подаются сообщения о ра­ боте очистных забоев, содержании метана в горных выработ­ ках, режиме работы главной вентиляционной установки, функ­

ционировании

обогатительной фабрики

и т. д. Каждое из та­

ких

сообщений описывает

состояние

шахты

как системы.

Если бы состояние системы

было бы

известно заранее, то

не имело

бы

никакого смысла передавать сообщение: оно

не

несло

бы

никакой информации. Сообщение

приобретает

смысл, когда состояние системы заранее неизвестно, обладает какой-то степенью неопределенности.

Но что же такое неопределенность системы и как ее изме­ рить?

Сравним между собой две дискретные системы, каждой из которых присуща неопределенность. В качестве первой систе­ мы (обозначим ее через А) возьмем монету, которая подбра­ сывается и может случайным образом выпасть той или другой стороной, т. е. оказаться в одном из двух состояний: А\ — герб вверху; А2 — цифра вверху.

В качестве второй системы (обозначим ее через В) возь­ мем игральную кость (кубик), которая тоже подбрасывается и может оказаться в одном из шести состояний: В\ — выпала единица; В2 — выпала двойка; ...; Bs — выпала шестерка.

3 в, в, Ливендев

33

Из этих систем большей неопределенностью обладает си­ стема В, так как она отличается большим разнообразием воз­ можных состояний.

Однако степень неопределенности системы зависит не только от числа возможных состояний, но и от их вероятно­ стей.

Рассмотрим третью дискретную систему (обозначим ее через С), у которой, как и у системы А, два возможных со­ стояния. Пусть системой С будет техническое устройство, на­ пример, шахтный магнитный пускатель, который имеет два возможных состояния: С[ •— пускатель исправен; С2 — пуска­ тель неисправен. Если вероятности этих двух состояний оди­

наковы (по

0,5), то степень неопределенности системы С

та­

кая же, как

системы А (монета). На самом деле состояния

С\

и С2 не равновероятны: например, вероятность первого состоя­ ния (пускатель исправен) составляет 0,9, а вероятность вто­ рого состояния (пускатель неисправен)—0,1. Очевидно, сте­ пень неопределенности такой системы будет гораздо меньше, чем в первом случае: ведь мы почти уверены в том, что маг­ нитный пускатель будет исправен. А если состояние Ci будет абсолютно достоверно (т. е. будет иметь вероятность 1), то, очевидно, система С вообще никакой неопределенностью об­ ладать не будет.

В теории информации в качестве меры неопределенности состояния системы принята энтропия. Так как дискретная система может находиться в том или ином состоянии, то энтропия всей системы будет складываться из неопределенно­ стей (энтропии) отдельных состояний.

Неопределенность некоторого г'-того случайного состояния дискретной системы W, как мы видели, зависит от вероятно­ сти Рі этого состояния, т. е. следует считать, что величина энтропии H (W{) является функцией р;:

 

 

tf(W,)=/fo).

 

 

(II.

1)

При этом

энтропия

должна

возрастать с уменьшением

pt

и равняться

нулю

при

/?,-=!І

(если

событие

осуществляется

наверняка, то оно

не

несет

с

собой

никакой

информации).

Данные соображения логического характера приводят к сле­ дующим формулам:

/(/>,) = о

при

(II. 2)

 

если

 

 

34

Эти соображения убеждают принять, что энтропия H (Wt) некоторого случайного состояния Wt измеряется логарифмом

величины — :

Рі

H(Wt) = log^-

= - l o S P l .

(11.3)

Pi

График этой функции показан на рис. 13. На нем видно,

Рис. 13. График функции H(W) —- —log р

что энтропия события с меньшей вероятностью больше энтро­ пии события с большей вероятностью.

Естественно, что для полной характеристики системы важ­

ны не отдельные энтропии H(WX),H(W2),

.... H{W•),...,

H(WK),

а средняя энтропия:

 

 

 

H { W ) _

n1H(Wi)-rn2H(W2)

+ ...+nKH(WK)

( П 4 )

где я ь п2,

«к — количество попаданий

системы W в состоя­

 

ния Wu W2,

WK;

 

 

N — общее число переходов системы из одних состояний в другие.

3*

35

Замечая, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

-Рг.

N - P » ~ -

 

N

-

 

 

 

=рк

и H(Wt)=-\ogPl,

 

H(W2)=-logp2,...,

 

 

 

 

H(WK)=-\ogpK,

получаем

окончательно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H(W) =—Pl\ogp1~p2

 

\ogp2

- ... -

PK\ogpK

 

(115)

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H(W)=-

 

%Pi\ogp,

 

 

 

 

( В Д

 

 

 

 

 

( = 1

 

 

 

 

 

 

 

Данное выражение носит

название

формулы

Шеннона

и

количественно характеризует

энтропию

дискретной

системы.

 

Естественно,

что

обязательным

дополнением

к

формуле

является

равенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А

+

Р2+

 

 

k

Р,=

\.

 

( I I J )

 

 

...+/>«= 2

 

 

 

 

 

 

 

 

і = 1

 

 

 

 

 

 

Поскольку в формуле Шеннона \ogPi

 

являются

энтропия-

ми отдельных возможных состояний системы W, то с матема­

тической

стороны

энтропия

системы

W есть

математиче­

ское ожидание энтропии ее случайного

состояния, так

как

формула

(П.6) представляет собой сумму произведений энтро­

пии

отдельных состояний

на

их

вероятности, т. е. является

формулой математического ожидания.

Логарифмы в формуле Шеннона могут быть взяты при лю­ бом основании, большем единицы. Переход от одного основа­ ния к другому достигается умножением логарифма числа на соответствующий модуль перехода. Так, если необходимо от логарифмов по основанию а перейти к логарифмам по осно­

ванию Ь, то надо умножить

все прежние логарифмы

на одну

и ту же величину log^a

(модуль перехода) :

 

I < W

=

(logaP)(log&a).

(Н.8)

Выводится данная формула следующим образом. Обозначим через х логарифм вероятности р некоторого

состояния системы при основании а:

x = \ogap.

(И.9)

Данное выражение может быть представлено также в ином виде:

а* = р,

(НЛО)

36

Для перехода к логарифму с основанием Ь прологарифми­ руем обе части выражения (11.10) :

X \ogba

= \ogbp.

(H-11)

Отсюда

 

 

 

 

(11.12)

Подставляя значение х

из данной формулы

в форму­

лу (II.9), получаем

 

 

- ^ - - Ю в л

(Н.13)

logé a

 

 

откуда

 

 

logbir? = (loga p)(logb a),

(11.14)

что и требовалось доказать.

Переходя к выражению полной энтропии системы, можем

записать

 

mW)=HAW)logba.

(11.15)

Обычно в формуле Шеннона логарифм берется при осно­ вании 2; тогда говорят, что энтропия измерена в двоичных единицах, или в «битах». Слово «бит» происходит от сокра­ щения английских слов «binary digit» — двоичная единица.

Один

бит — это энтропия

простейшей

системы,

которая

может принимать

только

два

равновероятных

состояния.

Действительно,

пусть

система А

обладает

двумя

 

состоя­

ниями А\

и Л 2

с вероятностями рі=р2=

—•

Согласно

форму­

ле Шеннона энтропия такой системы равна:

 

 

 

 

ЩЛ) = -

- 1

i o g 2 - 1 -

- 1 i o g 2

-L

= -

i o g 2 - 1

=

 

 

 

=

— (loga l — log 2 2)= 1

бит.

 

 

 

В приложении

(табл.

1) даны двоичные логарифмы

целых

чисел от 1 до 100.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим

систему,

которая

имеет

 

равновероятные

состояния, т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pi = / > 2

= - =

/>/ =

. . . = Л =

4 г «

 

 

( І І Л 6 )

 

 

 

 

 

 

 

к

 

 

 

 

где k — число состояний системы.

37

Смотрите также файлы