Файл: Ашневиц И.Я. Элементы комплексного анализа с гидромеханическими приложениями конспект лекций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.08.2024
Просмотров: 81
Скачиваний: 0
Л\инистерство высшего и среднего специального образования РСФСР
ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИ!"! ИНСТИТУТ
И.Я- АШНЕВИЦ
ЭЛ Е М Е Н ТЫ КОМПЛЕКСНОГО АНАЛИЗА
СГ И Д Р О М Е Х А Н И Ч Е С К И М И П Р И Л О Ж Е Н И Я М И
(конспект лекций.)
П од редакцией проф. К. И. Кудрявой и В. Н. Сокмрянской
ЛЕНИНГРАД
1973
Гос. П'
C P
. 4HTAjifa}|pro ЗАЛА
• у з - ЗЩ-/£
44
УДК 517.53 : 532.5 |
Одобрено Ученым советом |
|
|
||
|
|
|
|
||
|
Ленинградского |
гидрометеорологического |
института |
||
ных |
Конспект лекций |
содержит краткое изложение |
элементар |
||
понятий и основных фактов теории функций |
комплекс |
||||
ного |
переменного, |
а |
также некоторые гидромеханические при |
||
ложения t... |
|
|
|
|
|
|
Предназначен |
для студентов-заочников |
гидрометеорологи |
||
ческих институтов. |
|
|
|
2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г л а в а |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К О М П Л Е К С Н Ы Е Ч И С Л А И Д Е Й С Т В И Я Н А Д Н И М И |
|
|||||||||||||||||||||
§ |
1. Комплексные |
числа. |
Геометрическое |
представление |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
комплексных чисел |
на плоскости |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Число z = x + iy, |
где х |
и у |
действительные |
числа, |
а /- = — 1 (і— |
||||||||||||||||||
мнимая |
единица) |
|
называется |
к о м п л е к с н ы м |
ч и с л о м ; |
||||||||||||||||||
X — д е й с т в и т е л ь н а я |
|
ч а с т ь комплексного |
числа |
z(x |
= |
||||||||||||||||||
= Re г) ; у |
— м и и м а я |
|
ч а с т ь комплексного |
числа z(y= |
|
Im |
z). |
||||||||||||||||
Д в а |
комплексных |
|
числа |
z — x+iy |
и Z\ = |
Х\ |
+ іу\ |
считаются |
|||||||||||||||
равными 2=2|, |
если равны |
их действительные |
п |
мнимые |
части, |
||||||||||||||||||
т. е. |
Х = Хи |
£/=£/,. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если |
Im 2 = 0, |
|
то |
|
z = Rez — действительное |
|
число. |
|
|
Если |
|||||||||||||
Im z |
Ф 0, |
то |
комплексное |
число |
z |
часто называют |
м н и м ы м |
||||||||||||||||
числом, а если |
при |
|
этом |
Re |
z — 0, |
то |
число |
z |
называют |
|
ч и с т о |
||||||||||||
м н и м ы м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Д л я того чтобы |
|
дать |
геометрическое изображение |
комплекс |
|||||||||||||||||||
ного числа z=x |
+ iy, |
поступим |
следующим образом. Выберем |
на |
|||||||||||||||||||
плоскости |
прямоугольную |
декартову |
систему |
координат |
Оху |
и |
|||||||||||||||||
будем |
к а ж д у ю |
точку М(х, |
у) |
этой |
плоскости |
рассматривать |
как |
||||||||||||||||
образ |
комплексного |
числа |
z = x + iy. |
Это |
установит взаимно |
од |
|||||||||||||||||
нозначное соответствие между множеством всех |
точек |
плоскости |
|||||||||||||||||||||
и множеством |
всех |
комплексных чисел. |
При |
этом |
множество |
||||||||||||||||||
всех действительных чисел изобразится осью |
абсцисс, |
которая |
|||||||||||||||||||||
поэтому |
называется |
д е й с т в и т с л ь и о й |
о с ь |
ю, |
а |
множе |
|||||||||||||||||
ство |
всех |
мнимых чисел изобразится множеством точек, не ле |
|||||||||||||||||||||
ж а щ и х |
на |
оси |
абсцисс, в частности, множество всех |
чисто |
мни |
||||||||||||||||||
мых |
чисел |
изобразится |
осью ординат, |
которая |
называется |
м и н - |
|||||||||||||||||
м о й |
о с ь ю |
(рис. 1 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Плоскость Оху, |
точки |
которой и з о б р а ж а ю т |
комплексные |
чис |
|||||||||||||||||||
ла z—x |
+ iy, называют |
|
к о м п л е к с и о и |
п л о с к о с т ь ю |
|
или |
п л о с к о с т ь ю z. Таким образом термины «комплексное число х + іу» и «точка х + іу» мы можем употреблять как синонимы.
3
Д л я геометрической интерпретации комплексного |
числа |
мож |
||||
но действительной п мнимой частям |
комплексного числа z = x + iy |
|||||
поставить |
в соответствие не координаты точки |
М{х, |
у), а проек |
|||
ции |
-V и |
у радиус-вектора этой |
точки на |
координатные |
оси |
|
(рис. |
1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому будем |
теперь |
употреблять |
как |
синонимы |
понятия |
||||||||||||||||
«комплексное |
число х+су», |
«точка х + іу» |
и «вектор |
|
х+іу». |
|
||||||||||||||||
Длина |
вектора |
х + іу |
называется |
|
модулем |
комплексного |
чис |
|||||||||||||||
ла 2 = л'-f-iy. Модуль |
обозначается \z\ |
или |
\xJ, |
іу\ . |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Если z ф |
0, |
то угол |
|
между |
положительным |
|
направлением |
||||||||||||||
действительной |
осп |
и |
вектором |
z |
|
называется |
а р г у м е н т о м |
|||||||||||||||
комплексного |
числа |
z. |
Аргумент |
обозначается A r g г, |
он |
опреде |
||||||||||||||||
лен с точностью до целого кратного |
2 л слагаемого. |
Но |
сущест |
|||||||||||||||||||
вует лишь одно значение |
A r g г, |
удовлетворяющее |
|
неравенствам. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
— - |
< |
Arg г < |
к . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Это |
значение |
A r g z |
называется |
|
г л а в н ы м |
|
з и а ч е н и е м |
|||||||||||||||
а р г у м е и т а |
и |
обозначается |
arg |
z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Очевидно,'Arg |
z ~ |
arg |
z .-1н.-^ |
к=0, |
~ |
1, |
и . 2, ••• |
Если |
z—дей |
|||||||||||||
ствительное |
положительное |
число, то arg |
z = 0; |
если |
z—дейст |
|||||||||||||||||
вительное |
отрицательное |
число, то |
arg |
z |
—я; |
если z—чисто |
мни |
|||||||||||||||
мое |
число |
и |
//?і>0, |
то |
|
arg |
z = |
-^; |
|
если |
z—чисто |
|
мнимое |
число |
||||||||
Im 2 < 0 , |
то |
arg z |
=••••—arg |
|
0 |
|
не имеет |
смысла. |
|
|
|
4
Если z = X - f iy, то |
I г | = •/ хг + у 2 |
, tg(Arg г) |
= |
У |
|||
Очевидно, что |
|
|
|
|
|
||
|
|
X = Re z = |
| z | • cos ( A r g г ) ; |
|
|
|
|
|
|
у = |
Im г = |
I z I • sin (Arg |
z). |
|
|
Поэтому |
комплексное число z можно |
записать иначе |
|
||||
|
z — X - j - |
іу = |
I z |- (cos Arg г - f j sin A r g z ) . |
• |
|
||
Эта |
запись |
назыпается |
т р и г о н о м е т р и ч е с к о й |
ф о р |
|||
м о й |
комплексного числа. |
|
|
|
|||
Примеры: |
|
1 = 1- (cos 0 + / sin 0), |
|
|
В дальнейшем |
для 1 простоты |
будем |
записывать |
комплексное |
|||||||||||||
число z |
в виде 2 = г (cos » + |
г sin »), где r=\z\, |
? |
= A r g z . |
|
||||||||||||
Д в а |
комплексных числа х-\-іу |
|
и х—іу |
|
|
называются с о п р я - |
|||||||||||
ж е н и ы м и. Если |
опно из них z, то другое обозначается z: Оче |
||||||||||||||||
видно, что точки z |
и z симметричны |
относительно |
действительной |
||||||||||||||
оси, что к | = ф | и arg 2 = — a r g z |
(если |
z |
не есть |
действительное |
|||||||||||||
отрицательное |
число, ибо в последнем случае |
arg z = arg z = i t ) . |
|||||||||||||||
|
|
|
§ 2. |
Действия над комплексными числами |
|
||||||||||||
|
|
|
|
Сложение |
|
комплексных |
|
чисел. |
|
|
|
||||||
С у м м о й |
комплексных |
чисел |
zl=xi-{-iy1 |
|
и |
z2=x2-\-iy2 |
|||||||||||
называется |
комплексное |
число |
Z = Z , + Z |
2 |
= |
( J C I + J C 2 ) + і ( у 1 + у 2 ) . |
|||||||||||
Р а з н о с т ь ю |
комплексных |
чисел z[=x[-\-iy[ |
|
и z.> = |
x.,-j-iy.2 |
||||||||||||
называется |
комплексное |
число |
z = z l — z 2 |
= |
|
|
|
(xl—x2)Jri(yi—y2). |
|||||||||
На |
рис. 2 изображены |
вектор-сумма |
и |
векгор - разность . ком |
|||||||||||||
плексных |
чисел Z| и Zo как векторов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Если |
Z\ |
и z 2 — действительные |
числа, |
|
zx—x\, |
z2 |
— Xo, |
то их |
|||||||||
сумма |
Z I + Z 2 = |
A'I + A'2 и разность |
z i — z 2 |
= x l |
— X2 |
вычисляются и |
|||||||||||
согласно |
правилу |
сложения |
и вычитания |
действительных |
чисел. |
5
Очегшдно, что правило |
сложения |
комплексных чиеел-івекто- |
роп совпадает 'с правилом |
сложения |
векторов. |
|
|
Рис. 2. |
|
|
|
|
|
Умножение |
и деление |
комплексных |
чисел |
|
|||
П р о и з г> е д е и и с м комплексных |
чисел |
г, = .ѵ, - f |
и z2=x2 + iy2 |
||||
называется комплексное число |
|
|
|
|
|
||
г - = г г , - г 2 |
= |
(л-,л-,—3',3t2 )+r' |
( j c . y H |
х-,уЛ). |
|
(1) |
|
Очевидно, что |
комплексные |
числа перемножаются |
как много |
члены. Если использовать тригонометрическую форму комплекс
ных чисел z , = r , |
(cos <Р|-И' sin |
?,), |
z.,— г, |
(cos |
|
i sin |
<p2), |
то |
их |
||||||
произведение |
Zi • z2 |
согласно |
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
z, • z2 = r , - r 2 |
(cos |
œ,-cos |
|
œ2 —sin ©j-sin |
<?2)-j- |
|
|
|
|||||||
|
/'!-/*2 |
(cos |
», sin |
©a + |
cos |
<j>2 sin |
cp,) |
|
|
|
|
||||
пли |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z,-z,—/v/-2 [cos (<?I+?L>) |
f |
J sin (<?,-|-cp2)]. |
|
Z\ на |
|
(2) |
|||||||||
Таким образом, |
умножение |
комплексного числа |
ком |
||||||||||||
плексное число z2 равносильно растяжению |
(или сжатию) |
век |
|||||||||||||
тора Z| в ]z2 ] раз |
и повороту |
его на угол |
cp2 = A r g |
z2 . |
|
|
|
||||||||
Если ж е z\ |
и z2 |
— действительные |
числа: |
21 = л;і, z 2 = x 2 > |
то |
их |
|||||||||
•произведение |
по |
(3) равно |
г, • z2 |
= X\ • х2, |
т. е. вычисляется |
и |
со |
||||||||
гласно правилу |
умножения |
действительных |
чисел. |
|
|
|
6
Примеры. 1. Перемножим два одинаковых комплексных |
чис |
||
ла Z[ = і и Zo = i. В соответствии |
с правилом (1) их произведение |
||
/ . / = — 1. |
|
|
|
2. |
Перемножим два комплексных сопряженных числа z=x |
+ iy |
|
и z = |
x—іу: |
|
|
|
z -z=x2+y2= |
| z | 2 . |
|
Таким образом, произведение комплексного числа на сопря женное ему равно квадрату его модуля. Из (1) вытекает распре делительный закон умножения
{zi-\-z2)-z=zï-z+z2-z.
Действие умножения легко обобщается и на случай произ вольного числа сомножителей.
Замечания. Выведенное здесь действие умножения сущест венно отличается и от скалярного и от векторного умножения векторов.
Ч а с т н ы м |
от |
деления комплексных чисел г , = г , (cos ?, + |
||
i sin ?,) на |
z2 |
— r2 (cos o-2 + i sin ?2 ), причем z.,^0, |
называется |
|
комплексное |
число |
|
||
z = |
^ |
- = |
[cos ( ? , - ? 2 ) - Н sin (?, - ? . ,)] . |
(3) |
|
Z'i |
I •) |
|
Следовательно, при делении комплексных чисел модуль част ного равен частному от деления модулей делимого и делителя, а аргумент равен разности их аргументов.
Из определения следует, что действие деления обратно дей-
ствпю |
умножения, |
так |
как |
из |
равенства |
z = — |
получаем |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
z-Zi — Z \ . |
Деление Z\ на z2 |
сводится'-к умножению г, |
н а ^ - . В с п о м - |
|||||||||
ним, что для z=x+iy |
= r (cos |
? + / ' |
sin ?), x — r cos ?, |
y = |
/'sin ? |
|||||||
Поэтому из (3) следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
— - |
= |
- ^ - [(cos ?i |
cos |
?2 + |
s i n |
?i |
s i n ?*) |
+ |
* ( s i n ?i c o s |
Ъ — |
||
Z2 |
|
F'2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— sin ?2 |
COS cp,)] == - |
L - [(r , COS <p, r2 |
COS ?2 |
+ |
/'t sin ?, |
/'o |
sin ?a ) -+- |
|||||
|
|
|
'"5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ i ( r , sin ?! /'o cos |
?2 |
— Г ! |
cos ?! |
r 2 |
sin?2 )] |
= |
|
_ (Xj x2 + >'l j ' o ) + ИУі Xo — y2 xt)