Файл: Ашневиц И.Я. Элементы комплексного анализа с гидромеханическими приложениями конспект лекций.pdf

Рис. 5.

Возвышение

в комплексную

степень

и

логарифмирование

комплексных

чисел.

Показательная

форма

комплексного

числа

Возвышение числа

е в комплексную

степень г = х + іу опреде­

ляется

равенством

ех-'-'у — ех

(cos у +

/ sin у) ,

( 6 )

Если

z—действительное

число. z = x. тогда согласно

(6) сте­

пень

ez

сводится к , е х

. П о к а ж е м , что для определенной

равенст­

вом

(6) комплексной

степени

числа

е,

ег, сохраняются

свойства

степени:

ez,

. ez, = ez,+z,

^ J L L . =

ezi-zK

(7)

Действительно, если

z , =

J C ,

/у,,

z-> — x-, J r

О'з.

то из (6)

получаем

,

ez,

. eza

ех, (cosy,

+

/ sin у,)-е-1 '-'(cos у , -+- i

sin у,)

=

=

еЛ'° • ех'

[(cos у, cos

у 2

— sin у,

sin у 2 ) -і

г (sin у, c o s y 2 i -

-+- cos у,

sin у 2 ) | =

e-r '+ x '

[cos ( y , | y - j )

- f

+

г sin ( У і + у а ) ]

=

е^.+^+'Ь-.+у-)

=ez'+z'

,

А н а л о г и ч но

е-'

_

еЛ'> (cos

у, 4-

і sin

у.

ez>

ex'

(cos

y 2

|

/

sin

y: .)

_

g r '

(cos У і +

/ sin

Vj)(cos

)'.,— I sin

yL>) _

ex

cos-

y 2

- j - sin2

у2

ex- X

ч / ( c o s

у!

cos

y.,-|-sin

уi

sin

y - , ) + t

(sin у! cos

y 2 — cosVi s i n y 2 )

X

.

,

{

:

_

=

• l c

o

s

(У1-У2)

+ 1

s J n

(Уі - Уз)]

=

= ex*-x> [cos

( у , — y 2 ) +

i sin(y,— y 3 ) ] = eA ''-^+ / (y1 -y3 ) =«?*•-*».

Из

равенства

(6)

при /с = 0,

± 1 , , ± 2 ,

. . .

имеем

e2(fB ' =

cos

2кп: +

і

sin

2 к я = 1 .

I I на

основании

(7)

т. е. степень

ez

не меняется

от добавления

к

показателю целого

кратного

2~і.

Если в (6) положить х=0,

у = 9 ,

то

получим

е'ч =

cos

'f -f- i

sin

».

Э т о ф о р м у л а

Э п л е р а.

Пользуясь ею, можно триго­

нометрическую

форму

комплексного

числа записать

иначе

z

=

г

(cos » - f I sin

©) =

re'f.

Эта форма записи

комплексного

числа

z

=

re*

(8)

называется

п о к а з а т е л ь н о й

ф о р м о й

к о м п л е к с н о г о

ч и с л а .

Употребляется

и такая

запись

z = | z | е'Л Г К' .

/ 7 / ; и . м е / ш .

1.

І

=

е

" ;

2.

— 1 =

еы

;

3.

— і =

е

' 2

;

4.

l / 3 ~ + i =

2 e ' T -

к о м п л е к с н о н

с т е п е и ы о

к о м п л е к с н о г о

ч и е л а

z^

называется

выражение

zf

=

ez'Ln

г> ;

5.

t' =

e'Ln « =

е

\2

;< =

е

^2

) f

K=o, ± 1,

± 2, ...

§

3.

Бесконечность

и стереографическая проекция

Все комплексные числа, которые

можно записать в виде х + іу

называются

к о н е ч н ы м и

или

с о б с т в е н н ы м и

числами.

символом

. Оно называется бесконечностью пли бесконечно

удаленной

точкой.

Чтобы получить геометрическое изображение числа ос,

при­

бегают к представлению комплексных чисел точками сферы.

Построим сферу 5 произвольного радиуса, касающуюся

сво­

им южным полюсом плоскости z в точке 2 = 0 (рис.

6). Северный

полюс N будем соединять с различными точками

Z сферы

пря-

Рпс.

6

молииейпыми лучами с началом

в /V и отмечать на• к а ж д о м

луче

точку z встречи его с плоскостью. Таким образом

все точки

сфе­

ры, кроме /V, спроектируются на

плоскость. Эта

проекция

назы-

гастся

с т е р е о г р а ф и ч е с к о й . Она осуществляет

взаимно­

однозначное соответствие м е ж д у

точками сферы и плоскости.

Точку Z сферы, соответствующую точке z плоскости, будем

считать

новым изображением комплексного числа z.

Д л я

того,

новое комплексное «число»

со

(бесконечность),

обозначающее

эту точку.

Комплексная плоскость, к которой мысленно присоединяется

единственная

бесконечно

удаленная

точка (=°), называется

п о л н о й

или

р а с ш и р с и и о й

к о м п л е к с

'н о й

п л о с ­

к о с т ь ю .

Геометрически

наглядным

представлением

полной

плоскости

является вся сфера

5.

Рис.

7.

Комплексная

плоскость,

образованная лишь

собственными

(конечными)

точками,

называется

к о н е ч н о й

к о м п л е к с ­

н о й

п л о с к о с т ь ю. Ее наглядно изображаем сферой

S, из ко­

торой

исключена

одна

точка

N.

Стереографическая проекция преобразует различные геомет­

рические места

точек

плоскости

в

геометрические места

точек

сферы. Например, произвольной окружности с

плоскости

z па

сфере

соответствует окружность

С, не проходящая через полюс;

произвольной прямой

/ — окружность

L , проходящая

через по­

люс N (рис.

7).

Поэтому

в полной

комплексной

плоскости прямые

являются