Файл: Ашневиц И.Я. Элементы комплексного анализа с гидромеханическими приложениями конспект лекций.pdf

О ч е в и д н о ,

два

семейства

кривых

и

°4У + °-2Х + f*2 = С)

— это

два

взаимно ортогональных

семейства

прямых.

На

рис. 75 изображены оба

семейства

для

случая,

когда

а = 2,

/3=1 — / .

Линиями

равного

потенциала

будут

прямые

^ - 1

1

L . . .

.Z

V -

<

сг *

Г,.1

Рис.

75

2 А ' + 1 = С І , Л И Н И Я М И тока — прямые 2у — 1 = С 2 .

Линии тока па­

лярны . Ось

Ох — линия

тока при

C z =

— 1 . Д в и ж е н и е

жидкости

можно рассматривать и в любой полосе, параллельной оси

Ох,

ибо

границы

полосы — линии тока.

2.

Функция

f(z)=z2—комплексный

потенциал

движения

жидкости, з а н и м а ю щ е й

всю

плоскость.

Поскольку

f'(z)

= 2z,

то

скорость движения жидкости в точке z

равна 2 z.

Здесь потен­

циал

скоростей

ц>(х,

у)

=х2

— у2,

а

функция

тока х¥(х,

у)—2ху.

Линии равного потенциала — равнобочные гиперболы хг

— у2 =

С\,

линии тока

т а к ж е

равнобочные

гиперболы

2ху = С2.

Л и н и я м и

тока

являются

и оси

координат

(2х'г/ = Сг = 0). Поэтому

это дви­

натных

углов. При

этом

стороны угла

будут

стенками сосуда,

в котором движется

жидкость

(рис. 76).

3. З а д а ч а

на обтекание плотины. Пусть

д в и ж у щ а я с я

жид ­

кость заполняет верхнюю полуплоскость с выступом

вдоль

отрезка

оси

Oy

от

0 до

hi

(область

D). Этот

выступ

и есть

плотина

на

пути

д в и ж е н и я

жидкости

(рис.

77).

Линии

тока

жидкости

огибают плотину, причем сама граница

тоже линия

тока. Па

линиях тока мнимая часть комплексного

потенциала

Рис.

78

Рис. 79

функцию. Функция

W\ — z2 переведет область D на всю плоскость

ffi'i с разрезом

вдоль

оси Ох от точки —h2

до

+

со (рис. 78).

Переведем начало

разреза

в точку

0. Это осуществляет

функ­

ция w2 = W\ + h2

(рис. 79).

Верхнюю

полуплоскость

получим

извлечением

корня

г

I A r

g w'

'

w=y

w., =

y \w2\ - e s ,

0 <

A r g w2

<

2^ .

Итак, w=

Vz2 + h2.

Мы знаем,

что задача

конформног о

отображения

D на

І т а у > 0

имеет

единственное

решение,

если

известно не

только

ш ( о о ) ,

но

и

ау'(со) .

Поэтому потребуем,

чтобы была

известна

скорость течения жидкости

на со

Так как

ѵ„ =

lim

/ ' ( г ) .

Z-» оо

w' =

V

z2+h2~

l i m

W

um

У

z2+h2

— um

h2

=

1,

z- ~

Z - oo

1-

то комплексным

потенциалом будет ф у н к ц и я

f{z)=v„

- / z 2

+ h 2 .

Производна я

этой

ф у н к ц и и

т-ѵ-

• riw

обращаетс я

в

со

при

z = ih,

т.

е.

у

кра я

выступа самое

бурное

течение.

Это

называется

эффектом острия. Пр и z—0

f'(0)=0,

т. е. в

углах

выступа

движение

успокаивается. Это

э ф ф е к т

тупого

угла.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава

I.

Комплексные

числа

и действия

над ними

Стр.

§

1. Комплексные

числа. Геометрическое

представление комплекс­

3

ных

чисел

на

плоскости

§ 2.

Действия

над

комплексными

числами

. . . .

5

§

3.

Бесконечность

и

стереографическая

проекция . .

15

Глава

II. Основные

понятия

комплексного

анализа

§

1.

Множества

точек

на

плоскости

| {

§

2.

Функции

комплексного

переменного

1Ь

§

3.

Предел

последовательности

21

§

4.

Предел

функции.

Непрерывность

24

§

5.

Производная. Условия Кошн-Рн.мана

26

'§ 6.

Геометрический

смысл

модуля

и

аргумента производной

30

Понятие

конформного

отображения

Глава

III.

Интеграл

функции

комплексного

переменного

§

1.

Интеграл

функции

комплексного

аргумента

і •

35

§

2.

Интегральная

теорема

Коши

38

§

3.

Вычисление интеррала от регулярной функции.

Понятие

неопределенного

интеграла

42

§

4.

Интегралы

вида

I" ^ г

45

І

(г-а)"

§ 5.

Интегральная

формула

Кошн

46

§ 6. Производные высших порядков регулярных функции

. . . .

48

§

7.

Свойства

регулярных

функции

51

§ 8. Связь регулярных функций с гармоническими

54

Глава

IV.

Ряды

§

1.

Числовые

ряды

58

§

2.

Функциональные

ряды

:

61

§

3.

Степенные

ряды

64

§ 4.

Ряды

Тейлора

регулярных функций

68

§

5.

Нули

регулярной • функции

;

;

71

§

6.

Ряды

Лорана .

. .' . л

: •; .

72

§

7.

Изолированные

особые

точки

78

Глава

V.

Элементы

теории

вычетов

§

1: Понятие

вычета.

Вычисление

вычета

85

' §

2.

Основная

теорема

о

вычетах

89

§

3.

Приложение основной теоремы о вычетах к вычислению

93

определенных

интегралов

§

1. Некоторые

общие

теоремы теории конформных

отображений

ЮЗ

§

2.

Линейная

функция

.

104

§

3.

Функция а к = —

107

§

4.

Дробно-линейная

функция

.

113

§

5.

Степенная

функция

121

§ 6.

Показательная логарифмическая

функция

128

§

7.

Гидромеханическое

истолкование

аналитической

функции . .

135

(конспект лекций)

Редактор

10.

П.

Андрейков

М-11382

Подп. к печ. 1.Х.73

г.

Объем 9 п. л.

Заказ 227.

Тираж 1000.

„

г л ч , п ш / Цена

66коп.

г

Бумага бОХЭО'Аб