Файл: Ашневиц И.Я. Элементы комплексного анализа с гидромеханическими приложениями конспект лекций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 06.08.2024

Просмотров: 82

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Если заметить,

что

числитель здесь равен z \ - z 2 , а знамена ­

тель [г2 р, то можно

записать

 

z —

~

 

 

Z;

Примеры.

 

1.

 

^

| / ( 2

 

 

 

1,

 

 

 

2.

1 + і

(1 + 0 ( 1 + 0

1 + 2 / -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

1

1 - і ] / 3 ~

1 - г У з "

 

 

1 + і / З

( 1 / 4 ) 2

 

 

 

 

 

 

 

 

Возвышение

в целую

степень

и

извлечение

корня

 

 

 

 

из комплексных

 

 

чисел

 

 

п-\\ с т е п е н ь ю

числа

z

называется произведение

а со­

множителей

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z"=z-z

• • •

z .

 

 

 

 

Согласно

определению (2)

 

 

 

 

 

 

 

 

Z" =

Г" (COS II «? - г

І

S i n

II

ер) .

 

(4)

Таким образом, при возвышении комплексного числа z в л-іо степень его модуль возводится в /?-ю степень, а аргумент умно­ жается на п.

Примеры.

1.

z=i,

і2 = і-і=—-1,

г3

=

/ г ' і = —/,

г - ' = 1 ' М = 1 ;

 

к = 0 , ± 1 , ± 2 , . - .

 

 

cos (

+

2 «я ] +

2.

Так

как

" ] /

3 + і

=

2

 

+ і

sin ^"g"+

2 к -

J ,

 

то

 

 

( > T + 0 6 =

2 g - [ C O S ( K +

1 2 К - ) + І

sin(« +

 

 

+

12 к

*)] =

- 2 6 = - 6 4 .

 

 

3. Формула Муавра

(COS CB + t sin <?)"= cos ft <p+ i sin / I <p.

Если

здесь

/?=3, то

 

 

 

 

 

 

 

(COS

cp - | - 7Slncp ) 3 r =C0S 3 cp - j - 3f cos'2 с? - sin а —3

sin2

tp cos <o — i sin3 cp =

 

=

(cos3

9—3 sin'- 9 cos cp) -f- г (3 cos2

cp sin œ —sin3

») .

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(cos3 cp—3 sin2

<?-cos cp) -|- 7(3 cos2

cp sin cp—

 

 

 

 

 

sin3

cp) = cos 3 cs-f-г sin 3 9.

 

 

 

Откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

COS

3

cp =

COS 3 cp —3 S i n 2

cp-COS cp

 

 

 

 

 

s i n

3

cp =

3

s i n cp-cos2

cp — s i n 3 cp.

 

 

 

Число

w называется

к о р н е м

с т е п е н и

п из

числа z

 

"f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w=Y

z

, если

w" = z.

Пусть

z—r (cos cp-j-j s i n cp),

 

 

tc=p(cos Ѳ - j - i s i n Ѳ) . Тогда

согласно

(4)

получаем

т. e.

 

p" (cos

a

Ѳ +

 

i sin il Ѳ ) = г

(cos cp-fi

sin

cp),

 

p « = r , « Ѳ = ср + 2 к т г , к = 0, ± 1, + 2, . . .

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p=VT,

9 , =

 

 

, к = 0 , ± 1 , ± 2 , . . .

(5)

Если

здесь

положить

к = 0, 1, 2, . . . п—1,

получим

п значе­

ний

Ѳ„ :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

//.

 

 

1

 

/г

 

/г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

? + 2 ( г а - 1 )

-

 

 

 

 

Если взять

Ѳ„,

Ѳ„+і, . . . Ѳгл-1,

то

 

 

 

 

fi

_

cp-l-2 ( 2 /7 - 1 ) TT _

? + 2 ( 7 7 - 1 ) *

t'2/1-1— •

=

1- 2 к = И л _ і + 2 - , .

9

С л е д о в а т е л ь н о ,

формула

(5)

определяет лишь п различных

 

 

п г—

 

 

 

 

комплексных

чисел

)

z .

 

 

 

 

 

V

г

cos •

II +

I sin

11

 

 

п

Г—

COS

? + 2 ~

+

f sin

 

 

п.

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1

COS - ' — ! —

 

-—

sin

У

 

 

 

 

 

 

 

так как добавление к аргументу целого кратного 2л не изменяет комплексного числа.

Точки Wo- tt'i, — ^ л-1 расположены в вершинах правиль­ ного /і-уголы-шка, вписанного в окружность радиуса р = " /: с цент­

ром

в начале

координат.

Это следует из того, что модули всех

w0,wu

wn-\

равны,

а аргументы двух соседних отличаются

на

— • Переходя

последовательно

от w0, к wn-\

и

далее снова к

wn.

мы

совершаем

полный

обход

окружности

(против

часовой

стрелки) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Легко убедиться,

что

при извлечении

корня

нечетной

степе­

ни п из

положительного числа

мы

получаем п комплексных

чи­

сел,

из

которых одно

действительное и

положительное,;

корень

ж е

четной степени

п

из

комплексного

положительного числа

имеет п

комплексных

значении,

из

которых

два

дспстиитслыіых

(одно положительное,

другое отрицательное) .

 

 

 

Примеры.

 

 

Y

7

V

cos

:

— .

.

.

~

к~

cos •

2

 

 

y

1

-•= )'

2къ-\-і

 

sin

2

 

і

sin

 

2

к~

к=0,

 

1,

2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VT

k-U — 1,

 

и',

=

V

1

 

COS

2r.

+

i

 

2 «

 

 

 

 

sin •

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

/

 

 

 

 

 

4 -

 

 

 

 

4 -

 

w2=

у

i

 

к = 2

=

cos

 

 

/

sin-

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

(рис. 3);

I Y A

2

YS

10

11
- - ! - ) = — / 3 - і (рис. 5).

2.

у г

16

=

у

16

(cos

2

кк-\-

i

sin

2 ^ )

=

 

 

=

2

(cos

 

 

+

» sin

 

) ,

к = 0 ,

1, 2,

3,

 

•îC'0

=

2,

и ч ~

2

( cos

- 9 -

- f t

sin

-

-

2/,

 

 

 

 

 

ay2 =2 (cos

-

-|- i

sin - )

=

— 2,

 

 

ге<3

=

2

 

cos

- = — +

i sin

—

^- j

=

— 2 i

(рис.

4):

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л -

-»-гп

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

46

V4

//

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. з.

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.

 

 

3.

/

2

H-2/

 

 

 

 

cos y~

-i

2 кт.

=

2

cos ^-g-

+

к*

] +

i sin

[ —

+

кг

J ,

w0=

 

2

cos -х-

+

i sin

—

/

=

2 , /

3

f /

4 - )

 

 

 

6

 

 

6

 

\

2

 

 

^ , = 2 { c o s ^ - + i s l n ^ - \ = V

 

1 / 2 3

 

 

 

isinf -^--Ь2А'-

к= 0, 1,

=/ 3 - + / .

Смотрите также файлы