Файл: Васильков Д.А. Начала теории вероятностей учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 05.08.2024

Просмотров: 50

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР

М О С К О В С К И Й ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ

ИНЖЕНЕРНО - ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Д. А. ВАСИЛЬКОВ

НА Ч А Л А

ТЕ О Р И И В Е Р О Я Т Н О С Т Е Й

Утверждено Ученым советом института

в качестве учебного пособия

МОСКВА 1973

В а с и л ь к о в Д. А. Начала теории

вероят­

ностей. Учебное пособие. М. Изд. МИФИ,

1973 г.

Пособие содержит изложение основ теории

вероятностей, рассчитанное на студентов

МИФИ

всех специальностей.

Изложение начинается с основных понятии и простейших теорем теории вероятностей. По­

дробно

рассматриваются случайные величины

и

их

числовые характеристики, а также предель­

ные

теоремы.

 

 

 

 

Нетрадиционным с методической стороны яв­

ляется

введение

пространства

случайных вели­

чин,

обладающих

вторыми моментами.

 

 

Каждая глава

завершается

параграфом,

со­

держащим задачи; приведены ответы и (к неко­ торым задачам) краткие указания.

Таблиц, рисунков нет, библиография 7 на­ званий.

Г«с. публичная

.научно - техничв~к£Я библиотек* есгЭР» ЭКЗЕМПЛЯР ЧИТАЛЬНОГО З А Л А

© Издание МИФИ, 1973.

П Р Е Д И С Л О В ИЕ

Издание настоящего конспекта имеет своей целью снаб­ дить студента кратким пособием по некоторым общим для всех специальностей МИФИ разделам теории вероятностей.

Читатель, которому это пособие адресовано, не владеет основами теории функций действительного переменного. Это, на наш взгляд, исключает возможность излагать теорию ве­ роятностей на современном уровне с использованием понятий меры, измеримой функции и т. д. Наше изложение основыва­ ется по-существу на наивйом представлении о случайной ве­ личине и поэтому неизбежно оказывается несовершенным в математическом отношении.

Конспект содержит около ста задач, из которых боль­ шинство почерпнуто из задачников [5, 6, 7]. Некоторые за­ имствованы из монографии В. Феллера [4] и из учебника Б. В. Гнеденко [2] . Часть задач снабжена краткими указа­ ниями.

Д. ВАСИЛЬКОВ

Г л а в а 1 ПОЛЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

 

 

§ 1.

События

 

Под событием мы понимаем то, к чему приложимо

выска­

зывание,

что оно происходит.

Например, выпадение

осадков

в данной

местности за

определенный промежуток времени,

тот или иной результат

спортивного состязания, регистрация

счетчиком определенного числа заряженных частиц представ­

ляют

собой события.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

S — какая-либо

совокупность

условий.

События,

которые

могут

произойти

или

не

произойти

при

услови­

ях S,

обозначим

прописными

латинскими

буквами

Л,

В,

С...

. Отношение Acz В,

которое читается

«из

А

вытекает

(следует) 5» или «А влечет за

собой

5»,

означает,

что

вся­

кий раз, как при условиях

S происходит событие А, проис­

ходит и событие В. Говорят, что события А и В

равносильны

и пишут

А = В,

если Ас

В и В а А. Таким образом, «ра­

венство»

А — В

означает,

что

события

Л

и В

происходят

лишь совместно. Условимся не различать равносильные со­ бытия, т. е. считать их тождественными.

Событие Е называется достоверным,

если оно непремен­

но происходит

при условиях

5. Событие

О

называется

невоз­

можным, если

оно не может

произойти

при

условиях S.

Оче­

видно, что любые достоверные события равносильны, любые невозможные события также равносильны.

Событие, состоящее в том, что некоторое событие А не происходит, называется противоположным (по отношению к

А) событием и обозначается А.

Суммой событий А и В называется событие, состоящее в том, что происходит либо А, либо В, либо Л и В совместно; такое событие обозначается А + В. Вообще, если имеется ко­

нечное или счетное множество событий

Л ь

Л 2

, т о их сум­

мой— она обозначается Л1+Л2 + . . .

 

или

2 А * - Н А З Ы _

k

вается событие, состоящее в том, что происходит хотя бы од­ но из событий Ak (k = 1, 2 , . . . ) .

4

Произведением двух событий А и В называется событие, состоящее в том, что и А и В происходят; оно обозначается

АВ. Если

А\, А2,...—

любое

конечное

или счетное

множество

событий,

то их произведением — оно

обозначается

А\А2...'

или П.АА—называется

событие, состоящее в том, что проис-

к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ходят все

Ак.

разность

В — А

есть событие,

 

состоящее

Если

A cz В, то

 

в том, что В происходит, а Л не происходит;

таким

образом,

В — А = В~А.

 

 

 

 

 

 

 

 

Отметим некоторые

свойства

операций

над

событиями:

любое слагаемое влечет за собой сумму, произведение влечет за собой любой из множителей

Л С 2 А*. П Л <= А,.

кк

Из невозможного события следует любое событие, а любое событие влечет за собой достоверное событие

О с Л с £

 

Каково бы ни было событие А,

 

 

АО = О, А + 0 = А,

АЕ = А,

А + Е = Е.

Покажем, что имеет место распределительный закон умно­

жения относительно сложения: каковы бы ни были

события

А, Ви

В2,...,

 

 

A%Bk=%ABk.

(1)

*к

Обозначим А^Вк

— С, ^АВк

= D

и

покажем,

что

С cz D и D с

к

Если

k

 

 

 

 

С.

С происходит, то происходит А и хотя

бы одно из В\,

В2,...,

скажем,

Bt\

таким

образом, происхо­

дит

ABt)

а так как АВ t

есть одно из слагаемых суммы D, то

ABt

cz D.

Итак,

событие С влечет за собой D. Обратно,

если

происходит D, то происходит одно из слагаемых ABt; так как

ABt cz Л

и ABt cz Bt cz 2

t o происходит и событие А и

 

k

 

событие

2 &it- Таким образом, из D следует С.

 

к

 

Отметим некоторые свойства противоположных событий: каково бы ни было событие А,

(Т) = Л, А+А = Е, АА = О;

если A cz В, то В cz А ; следовательно, из А = В вытекает

А = В.

5

 

Более интересен так называемый принцип

двойственности.

Так называются следующие два равенства, справедливые для

любой системы событий

Л ь

Л г , . . . :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 А =

П А ,

 

П А

=

2 Л .

 

 

 

 

 

(2)

 

 

 

л

 

А

 

 

 

*

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

Докажем первое из этих равенств. Обозначим

С — 2

А*»

D =

П Ak и допустим, что происходит

событие

С; это озна-

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

А К , т. е. происходят

 

чает, что не происходит ни одно из

все

А К ; итак, С cz D.

Если происходит

D ,

то не происходит ни од­

но из Ak,

иначе говоря, не происходит

2 A I

таким

образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ft

 

 

 

 

 

 

 

D c C ^

Для доказательства

второго

равенства

(2)

положим

Bk

= Ak-

В силу первого

равенства

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2*л Л = 2*^ = П*5 А = П*л А ,

 

 

 

 

 

 

откуда получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 А =

 

ПА,.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

События Л и В называются

 

несовместными,

если

А В — О .

Говорят,

что множество

{ Л ь

Л 2 , . . . )

состоит

из попарно

не­

совместных событий, если

A-,Aj — О

при всех

номерах

i ф /.

 

В теории вероятностей рассматривают различные множе­

ства событий А =

[ А

,

В , .. .

 

] . Всякое такое

множество долж­

но предоставлять исследователю достаточную свободу дейст­

вий над его элементами. Точнее говоря, мы

будем

рассмат­

ривать так называемые а-алгебры событий. Множество

А со­

бытий Л,

В , . . .

называется

а-алгеброй,

если

 

 

 

 

 

 

 

1)

А

содержит достоверное

 

событие Е;

 

 

 

 

 

 

 

_

2)

каково бы ни было

Л € А, противоположное

событие

Л также содержится в А;

 

 

 

 

 

 

 

 

(k =

 

 

 

 

 

3)

каковы бы

ни

были

события

 

Л А 6 А

 

1,

2,...)

в

конечном или счетном

числе,

 

их сумма

2

At

также

при-

надлежит

к А.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим, что в силу требований

1 и 2

А

содержит

не­

возможное событие О — Е. Далее, если

Л Й £ А

( & = 1 , 2 , . . . ) ,

то

А содержит все Ak

{k =

1, 2,...)

и их сумму

2 А * С О Г -

 

 

 

 

 

 

 

ft

ft

 

 

 

 

 

А

 

 

 

ласно

же

равенствам

 

 

 

 

следовательно,

А

(2) 2А

 

=

П л а ,

 

должно содержать также произведение

 

П Ak

= 2

А* •

 

 

 

§ 2.

Статистический эксперимент

 

 

 

Предположим,

что

имеется

некоторый

комплекс

условий

S, который может быть воспроизведен неограниченное число

раз *. Каждое воспроизведение

условий 5

назовем испытани­

ем. События А, В,...,

которые

могут произойти

(или

не

про­

изойти) при

отдельном

испытании, называются

исходами

ис­

пытаний. Статистическим экспериментом

называется

любая

бесконечная

(или

достаточно длинная) серия испытаний,

т. е.

серия воспроизведений

условий

S.

 

 

 

 

Пусть производится последовательность испытаний, и нас интересует определенный исход А этих испытаний. В некото­ рых испытаниях исход А имеет место, в других — нет. Отде­ лим первые N испытаний данной последовательности и отме­ тим те из них, в которых зарегистрирован исход А; количест­ во последних обозначим mN(A). Число

называется частотой исхода А в первых N испытаниях рас­ сматриваемой серии испытаний.

На большом экспериментальном материале подмечено яв­ ление, называемое устойчивостью частот: частота (1), явля­ ющаяся функцией события А и переменного N, при больших значениях N от N «почти не зависит» **. Другими словами, ког­ да /V велико, значения pN (А) (при заданном А) варьируют весьма мало.

Это обстоятельство наводит на мысль, что в статистиче­ ских экспериментах (по крайней мере в некоторых) с каж­ дым исходом А испытаний связана какая-то величина Р(Л), для которой частоты pN (А) играют роль экспериментальных

(приближенных) значений. Простейшей задачей теории ве­

роятностей является

построение

теории (модели)

статистиче­

ского

эксперимента,

в

которой

постулируется

существование

такой

функции события Р(А).

Для того

чтобы сформулиро­

вать

разумные требования, предъявляемые к функции

Р(А),

нужно несколько подробнее изучить частоты pN

(А).

В

самом

деле,

если, как мы предполагаем, при

1

 

 

 

 

 

 

 

р „ ( Л ) « Р ( Л ) ,

 

 

 

 

 

то свойства Р(А)

должны быть тесно связаны

со

свойствами

частот.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

Практически обычно речь может идти лишь о достаточно большом

числе

воспроизведений.

 

 

 

 

 

 

 

 

** Устойчивость

частот

есть опытный факт, не

вытекающий

логически

из определения частоты

и

отнюдь не

очевидный.

 

 

 

 

 

7

Смотрите также файлы