Файл: Ашневиц И.Я. Элементы комплексного анализа с гидромеханическими приложениями конспект лекций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.08.2024
Просмотров: 104
Скачиваний: 0
перейдут соответственно |
в |
точки |
о.'і = 0 |
и |
W\ = c o , |
причем |
точка |
|
2 = 2/ отрезка |
перейдет |
в |
Ш | = 1 . На |
плоскости |
<£>і мы |
имеем |
||
угол раствора 2л с вершиной |
в точке œ'i = 0. Из него |
можно |
||||||
извлечением |
корни 4-й |
степени |
получить |
угол |
раствора |
- g - . |
||
|
|
|
-1 / |
|
|
|
|
|
Введем ветвь |
функции w->~ у wf |
так: |
|
|
|
|
||
Образом плоскости |
ÎC'I |
с разрезом |
вдоль |
положительной |
части вещественной оси |
на |
плоскости іс'2 |
будет |
первая четверть |
Рис. 62 |
Рис. 63 |
127
о т о б р а ж а е т верхний полукруг плоскости ги на |
1 четверть плос |
|||||||||||||||||
кости œ>2, поэтому |
окончательно |
имеем |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•I ,Г,1- |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
_ |
w2— 1 |
_ |
] / |
z—Зі |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
z-Ъі |
|
|
|
|
|
|
|
§ |
6. |
Показательная |
логарифмическая |
|
функция |
|
|||||||||||
|
Отображение, |
|
осуществляемое |
|
показательной |
функцией |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гѵ = ег |
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
|
конформно на всей конечной |
плоскости, так как производная этой |
|||||||||||||||||
функции іс / = е г |
существует |
п отлична от нуля |
в любой |
конеч |
||||||||||||||
ной |
точке |
z. |
Д л я |
изучения |
этого |
отображения |
введем |
в плос |
||||||||||
кости z декартовы, а в плоскости |
w |
полярные |
координаты. |
|||||||||||||||
Имеем z = x + iy, w = p |
e w . |
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Отсюда |
|
|
|
ре® = ех+іУ |
|
=ел'-е'У. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Р = |
^ , |
Ѳ = у |
|
|
|
|
|
(8) |
|||
Из |
равенства |
(8) |
следует, |
что |
п р я м а я |
г/= const, |
п а р а л л е л ь н а я |
|||||||||||
вещественной |
осп |
Ох, |
переходит |
при |
отображении |
(7) в луч |
||||||||||||
Ѳ = г/=const, |
исходящий |
из |
точки |
W — Q (так ка к х при этом |
||||||||||||||
пробегает |
все значения |
от |
— с о д о |
+ с о , то р = ех |
пробегает все |
|||||||||||||
значения |
от 0 до |
- f c o ) . |
Из |
первого |
равенства |
в |
(8) |
вытекает, |
||||||||||
что |
прямые |
.Y = const, |
|
параллельные |
мнимой |
оси, |
переходят |
|||||||||||
в окружности |
р = е Л ' = const с центром |
в точке |
w — 0 (рис. 64). |
|||||||||||||||
|
Вещественная |
|
ось |
плоскости z |
переходит |
в |
положительную |
|||||||||||
часть вещественной оси плоскости w. Прямоугольник со сторо
нами х = Х\, |
|
Л' = .ѵ2, |
у = У\, |
г/ = г/г |
( 0 < г / і < у 2 < 2 я ) |
переходит |
в |
||||||
к р и в ол и н е й и ы й |
четы р ex у голь н и к, |
о г р а и и ч е и и ы й |
о к ру ж н о ст я м и |
||||||||||
р і = е - 1 ' ' |
р 2 |
= ех- |
il |
лучами |
<д\ = у\, |
Ѳо = У2 |
(ри с |
65). Поэтому |
|||||
полоса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 0 < у < у 0 < 2 т т |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
\ — c o < J C < 4 - c o |
|
|
|
|
||||
ширины |
i/o |
отобразится |
взаимно-однозначно |
и |
конформно на |
||||||||
угол 0 < Ѳ < / / о |
раствора |
у0 |
с вершиной в точке |
w = 0 (рис. 66). |
|||||||||
Так, |
при |
г/о = л |
имеем |
полосу |
ширины п, она переходит |
в |
|||||||
верхнюю |
полуплоскость |
плоскости w, |
а полоса |
ширины 2л |
|
||||||||
j 0 < у < 2 *
128
g Зак. 227
Рис. 65 |
129 |
|
переходит в плоскость да с разрезом вдоль положительной части вещественной осп.
Отображение ж е всей плоскости z на плоскость да не будет взаимнооднозначным, так как на всю плоскость да с разрезом
вдоль положительной |
полуоси |
отобразятся взаимно-однозначно |
и конформно и полоса |
ширины |
2я |
2 * < у < 4 *
— о э < л < 4 - о о и любая полоса ширины 2~
\2 а д < у < 2 к ( к 4 - 1 )
|
|
\ |
— c o < j c < + |
co, |
Л' = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . |
|||
Поэтому обратная |
для |
(7) |
функция |
|
|
|
||
|
z = L n xC'=ln |
I w |
I 4- і Arg w — In | w |
j 4- |
||||
|
4 i ( H 4 - 2 « - ) , |
Ä = 0 , ± l , ± 2 , ... |
(9) |
|||||
бес ко не чнознач н а я. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно , |
ф у н к ц и я |
|
|
|
|
|
|
|
z = l n | w | + t(H4 - 2K 0 - ) . |
а < Ѳ < Н - 2 - . |
« = «о |
( M ) |
|||||
о т о б р а ж а е т плоскость |
-да с разрезом |
вдоль |
луча |
Ѳ = я на по |
||||
лосу ширины |
2~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
а < у < а + 2я |
|
|
|
|
|
|
|
I — с о < х < 4 - с о |
|
|
|
|||
плоскости z, поэтому д л я того чтобы область D плоскости z отобразилась бы взаимно-однозначно и конформно па область Л
плоскости да с помощью функции |
(7), |
необходимо и |
достаточно, |
чтобы область D целиком л е ж а л а |
в полосе ширины |
2л со сто |
|
ронами, параллельными вещественной |
оси (рис. 67). |
|
|
Мы имеем здесь еще один пример |
многозначной |
аналитиче |
|
ской функции z— |
Lim1 . Функции |
(10) |
|
являются ее |
регулярными |
||
ветвями. Регулярная функция |
|
|
|
|
|||
|
|
z = l n |
w = In |
I w [ 4 |
- |
i arg w |
|
называется |
г л а в н о й |
в е т в ь ю л о г а р и ф м а |
Lnw. Она |
||||
о т о б р а ж а е т |
плоскость |
да с разрезом |
|
по отрицательной вещест |
|||
венной полуоси на |
полосу |
|
|
|
|
||
-- < у < -
'— co<jc< - j - co
ширины 2я (рис. 68). 130
Рис. 67
131
9*
Если функция w=ez |
полосу (рис. 68) |
о т о б р а ж а е т па всю |
|||||
плоскость |
to |
с разрезом |
вдоль отрицательной части веществен |
||||
ной о?н, |
то |
обратной |
функцией |
для |
нее |
будет |
регулярная |
функция |
|
|
|
|
|
|
|
z = |
ln w = ln I w |
I i arg да, |
— |
< |
arg to < |
- . |
|
Эти функции осуществляют взаимно-однозначное и конформ ное отображение областей Л, В, С, D соответственно на А' В\ С , D'. Этим будем пользоваться при решении задач .
Пример. |
|
Отобразить |
область м е ж д у двумя касающимися |
|||
о к р у ж н о с т ь ю |
и |
прямой |
на полуполосу, |
именно |
область |
|
J - |
> - L |
R e z > 0 на 0 < І т а д < ~ , |
0 < R e « y < + oo |
|||
2 |
" |
2 |
|
|
|
|
(рис. 69).
Поскольку две касающиеся окружности (или окружность и прямую, как в данной задаче) можно дробно-линейной функцией отобразить на две параллельные прямые, стоит только их точку касания перевести в со, то область между ними этой функцией
отобразится в полосу. Функция и>!= |
переведет нашу об- |
Рис. 68
132
ласть |
в полосу |
(рис. |
70). |
Очевидно, если z — ai |
(а — вещ . ), |
то |
|
Wi= |
і |
, если |
ж е |
z — a, |
1 |
, |
1 |
a |
то ш , = — , т. е. функция и\ = |
z |
|||||
|
|
|
|
a |
|
||
вещественную ось переводит в вещественную, мнимую — в мни-
Рис. 69
мую. Л таккак наши прямая и окружность были перпендику лярны вещественной оси, то их образы по конформности zt\ будут перпендикулярны новой вещественной оси. Внутренняя
точка z = 2 нашей области переходит в -ш, —— внутреннюю
точку полосы. |
|
|
|
|
|
|
Ф у н к ц и я |
|
|
|
|
|
|
|
ш 2 = |
•ке1- |
• шя= |
Ыті |
|
|
преобразует |
нашу полосу в |
горизонтальную |
полосу |
ширины те |
||
(рис. 71) |
|
|
|
|
|
|
Ф у н к ц и я |
w-j = ew> п е р е в е д е т эту |
полосу в |
в е р х н ю ю полу |
|||
плоскость. В |
примере 2 |
§ 5 |
показано, что ф у н к ц и я |
w= |
||
133
