ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.08.2024
Просмотров: 68
Скачиваний: 0
А. А. А Р С Е Н Ь Е В
СИНГУЛЯРНЫЕ
ПОТЕНЦИАЛЫ И РЕЗОНАНСЫ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКОВСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
1 9 7 4
УДК 517.944+530.145.61^
Работа |
посвящена математической |
теории |
рассеяния. |
|
В ней обсуждаются вопросы, связанные |
с |
резонанса |
||
ми, квазиуровнями, квазистационарными |
состояниями |
|||
и полюсами волновой функции на втором |
|
листе ком |
||
плексной |
поверхности энергии при |
нерелятивистском |
рассеянии на «ловушечном» потенциале. Основное со держание работы составляет математическое докаэагльство резонансного характера решения задачи рас-
.еяния на «ловушечном» потенциале, доказательство существования полюсов с малой мнимой частью у вол новой функции задачи рассеяния, доказательство ре зонансного поведения фазовых сдвигов, оценки неэкс поненциально убывающих «хвостов» при распаде квазистационарных состояний, оценки энергетической шири ны квазиуровней. Эти доказательства основаны на предварительном изучении задачи рассеяния на сингу лярных потенциалах. Книга рассчитана на специали стов по математической теории рассеяния я физиковтеоретиков.
Р е ц е н з е н т ы :
проф. В. А. Ил ь и н , проф. В. П. М и х а й л о в
Печатается по постановлению Редакционно-издательского Совета
—Московского университета
, |
4 ? |
Гос. |
п блинная |
научко-тг'>;кич*-,ка.я |
|||
|
|
библио |
ена . с р |
ЭКЗЕМПЛЯР
ЧИТАЛЬНОГО ЗАЛА
(6) Издательство Московского университета, 1974 г.
А 2°-2-М- ° —61,36-74
077(02)—74
Предисловие
Эта работа посвящена математической теории рассеяния. В ней обсуждаются вопросы, связанные с резонансами, ква зиуровнями, квазистационарными состояниями и полюсами волновой функции на втором листе комплексной поверхности энергии при нерелятивистском рассеянии на «ловушечном» (см. рис. 1 на стр. 8) потенциале. Данные вопросы с физи ческой, точки зрения давно ясны [1]. Основное содержание работы составляет, математическое доказательство резонанс ного характера решения задачи рассеяния на «ловушечном» потенциале, доказательство существования полюсов с малой мнимой частью у волновой функции задачи рассеяния, дока зательство резонансного поведения фазовых сдвигов, оценки неэкспоненциально убывающих «хвостов» при распаде квазистационарных состояний, оценки энергетической ширины квазнуровней.
Единственное существенное предположение о потенциа ле, которое мы делаем (помимо обычных требований об убы
вании потенциала при |х|-»-оо), состоит |
в том, |
что |
потенци |
|
ал должен быть достаточно велик |
в |
окрестности |
сферы |
|
] лг| =/?о- Хотя рассматриваемая нами |
модель |
квазистацио- |
нарных состояний не включает наиболее интересного случая многочастичных задач, она является (насколько известно автору) одной из первых моделей, в которой с математиче ской точки зрения удалось разобраться до конца.
В современной литературе по математической теории рассеяния принято по определению резонансным состоянием; называть функцию из области изменения оператора, являю щегося вычетом в полюсе аналитического продолжения ядра1 оператора R(X, Н). Однако далеко не все полюсы оператора. R(%, Н) связаны с «истинными» резонансами (т. е. пиками в сечении или скачками в фазе рассеяния). Вопрос о том, как связаны полюсы аналитического продолжения ядра резоль венты с «истинными» резонансами и почему эти полюсы ле жат близко от действительной оси в случае потенциала, изо браженного на рисунке 1 (стр. 8), также нетривиален.
Основная идея предлагаемых доказательств состоит в исследовании спектрального разложения оператора ехр(—<Я) (Я — оператор Шредингера) и при учете того, что в случае диффузии для «ловушечного» потенциала имеется легко оце ниваемый малый параметр; вероятность частице из области |х|<Яо попасть в область |х |>Яо-
3
Главы 1—4 посвящены задаче рассеяния на сингуляр ных потенциалах (связь этой задачи с нашей поясняется в предисловии к гл. 5) и по объему составляет бблыпую часть работы, так как в них получены основные оценки, используе мые затем в гл. 5—6. Обычно в задачах о распростране нии волн имеется существенная разница между случаями четной и нечетнойразмерности пространства. В нашем круге
задач это не так, и чтобы подчеркнуть это, |
мы всюду (кроме |
|||||
§ 7 гл. 5) рассматриваем случай произвольной |
размерности |
|||||
пространства. |
|
|
|
|
||
|
Основное содержание работы было получено автором в |
|||||
статьях, опубликованных в 1968—1971 гг. |
|
|
|
|||
|
В результате критики А. Ы. Тихонова, В. С. Владимиро |
|||||
ва, |
В. А. Ильина, |
В. П. Михайлова, |
А. |
А. |
Самарского, |
|
Л. |
Д. |
Фаддеева точка зрения автора на излагаемый круг во |
||||
просов |
изменилась, |
что и нашло отражение |
в |
настоящей |
работе.
Автор глубоко благодарен лицам, принявшим участие в обсуждении его результатов. Автор благодарен С. П. Новико ву и В. В. Кучеренко, указавшим на одну существенную не точность в рассуждениях автора, а также И. А. Шишмареву и Л. Д. Фаддееву, чьи замечания позволили автору зна чительно упростить ряд доказательств.
Обозначения
Точки //-мерного евклидова пространства Rn обозначим
строчными |
латинскими |
или |
греческими |
буквами, |
|
х= (хь |
xN). Всюду мы предполагаем, что N^3. |
||||
|
... |
dx — мера в RN, равная //-кратному |
произведению |
||
|
меры Лебега на прямой; |
|
(a, b) = ab — скалярное произведение в RN:
N
ab = (а, Ь) = £ арс,
i= 1
р{А, В) — расстояние между множествами А и В в Rn] {х; 3i}— множество точек х, удовлетворяющих усло
вию 31;
LP, 1 < р < о о — банахово пространство с нормой
\\f(x)fp = §\f(x)\pdx;
L°° — банахово пространство с нормой
||/(х)||м = vrai sup |/ (х) |; x€Rfj
LP (S) — подпространство Lp, состоящее из функций, равных нулю вне 5:
L — пересечение пространств L1и L°°, L =Ь' П£°°;
< / i > / 2> — скалярное |
произведение в L2: |
(7i- /2> = |
p\(x)U(x)dx-, |
z, z*— число, комплексно-сопряженное числу z;
(f)o(k) — преобразование Фурье функции /(х):
(7)0 (&) = j exp (ikx) f (x) dx\
\A->-B, 31]— пространство линейных непрерывных отобра жений банахова пространства А в банахово пространство В, где А и В— любые банахо вы пространства, удовлетворяющие условию 31; интегральный оператор с ядром А (х, у) обозначаем символом А:
(Af) (х) = j А (х, y)f(y)dy;
5
Аоператор Лапласа:
N
|
|
дЧ |
|
£ = 1 |
дх. |
|
|
|
( ди |
ди |
ди |
'и = Ы г ' |
дха |
дх-N■> |
Е(К,А)_ — спектральная функция оператора А\ А — оператор, сопряженный оператору А;
8{F(x{x))} — интеграл по |
мере Винера от функционала |
F ( * ( t ) ) , |
л:(т;)<=C[0,i](# jv). |
ЧАСТЬ I
РАССЕЯНИЕ НА СИНГУЛЯРНЫХ ПОТЕНЦИАЛАХ
Г л а в а 1. НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ |
ФУНКЦИИ ГРИНА |
|||
УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ |
|
|||
Определение 1. |
Функция V(x) |
удовлетворяет условиям |
||
А+(a, R), если выполнены следующие требования: |
функция |
|||
1) при любом |
фиксированном |
М е(0, оо) |
||
VV(x) = тт{У (л :), М} |
неотрицательна и удовлетворяет ус |
|||
ловию Гельдера; |
|
зависящие от М константы |
R < оо, |
|
2) существуют не |
||||
а>0, С<оо, такие, |
что при всех х<={х-, \x\^R) выполнено |
|||
неравенство |
|
|
|
|
Определение 2. Функция V(х) удовлетворяет условию А~ (a, R), если она удовлетворяет условию Л+(а, R) и допол нительно выполнено требование
У(*)£!*, <7>0,5W.
Определение 3. Функция V (х) удовлетворяет условию A (a, R), если функция
V+ (х) = max {У (х), 0}
удовлетворяет условию Ж-0 (a, R), а функция
У~ (х) = — min {У (х), 0} —
условию Л<-> (а, R).
7
В дальнейшем мы будем говорить, |
что функция V (х) |
(см. рис. 1) принадлежит классу Л<+> (a, R), |
Л<_) (а, R), Л (а, R). |
Пусть Mi(n) и М2(п) — произвольные бесконечно большие последовательности чисел
V „ (* ) = V & <*)(*) Vm2 (п) (х).
Эта глава посвящена изучению предела при п-^оо функции Грина задачи Коши для уравнения теплопроводности
'-$- = * u— Vn(x)u, x£ RNt > 0, и(х, +0) = ио(х),
01
и(х, t) 6 L°°.
§1. Вспомогательное интегральное уравнение
Пусть функция К(х)еЛ(_>(а, R). Рассмотрим интеграль ное уравнение
G (х, у, t) = G0(х, у, t) + |
t |
|
|
j" dx j G0(x, и — %)У (g)G (g, у, т)d% |
|||
О ' |
(U ) |
||
и будем искать его решения, представимые как |
|||
|
|||
G(х, у, t) = |
G0(х, у, t)<o (х, у, t), |
(1.2) |
|
где функция |
|
|
со(х, y , t ) e L 7 ® L y ® Ц°ол.
Подставив это решение (1.2) в уравнение (1.1), полу чим, что функция со(х, у, t) удовлетворяет интегральному уравнению
8
со (х, y , t ) = l |
+ G0 (х, у, t)~xJ dx j |
G0 (x, g, t — x) X |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
X У (E)G0(g, y, T)ce(|, y, X)dt |
|
|
(1.3) |
|||||||
Определим оператор -А равенством |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
(Лф) (х, 0 = G^1(х, у, t) j dx j G0 (x, g, t —t)’ x |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
X V(QG0 (g, у, т)ф(6, T)dg. |
|
|
|
|||||||
Лемма 1.1. Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
V(x)£Lp, q>0,5N |
и sup |ф (x, t) |< C0ta, a > 0 , |
|
|||||||||
|
|
|
|
x&Rtf |
|
|
|
|
|
|
|
то справедлива оценка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
sup |(Лф) (x, t) |< |
C0C |
|
|
|
r ( « + i |
— |
£ - ) |
|
|
||
|
” |
|
|
/ |
|
m/ V |
’ |
(L4) |
|||
x£Rfj |
|
■' |
|
г ( “ |
О |
||||||
где |
|
|
|
|
+ |
5Г ) ) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сх = (4я) |
2MP) |
2" |
|
r(l-^ -)||E (x)||?J |
P = - ^ ~ T - |
||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Воспользовавшись |
условием лем |
|||||||||
мы и определением оператора Л, |
получим |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|(Лф) (*, 0 1< C0G0 (х, у, t)~' j dx [j G0 (x, l,t — т) X |
|
||||||||||
X У(E) G0 (g, y, t) dg] t<*< |
C0G0 (x, y, t)~xJ x“ X |
|
|
||||||||
X [j G0 (x, g, *- |
t)^G0(g, у, x)p dg]1*’ dx |У (x)||9. |
|
|||||||||
Ho |
G0( x , U - x y |
G0(l,y,xy = |
|
|
|
||||||
= (4я (t ^ |
x) 4ят)~ |
exp j - |
|
|
|
|
|
|
= |
||
|
|
|
|
N |
. |
n |
/ |
|
/ «r \ |
|
|
|
|
|
|
------(P—1) |
|
X |
|
||||
= p~Np (4л (t — т) 4лт) 2 |
|
G0 (x, g, — -— j |
|
||||||||
|
|
X G0^у, |
g, |
|
|
|
|
|
9