ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.08.2024
Просмотров: 71
Скачиваний: 0
Поэтому |
U G0 (х, i, t — т)РG0[(g, у, х)рЩ Чр = |
|
||||
|
|
|
N |
N |
N |
{ x - y f |
= p~N(4я (t — т) 4ят) |
2q |
р 2р (4jt^) |
2р ехр^- |
|||
|
|
|
|
|
|
At |
|
N_ |
___N_ |
_N_ |
___W. |
N |
|
|
2P (4я) |
t |
2P |
2 (t — x) |
2" X (t) |
2<? G0 (x, £/, f). |
Следовательно,
I (Лф) (x, t) |< |
(4я) |
JL |
{p) |
- n+JL |
JL |
|
||
'l24 |
|
2p |
t 2? |
|
||||
N . |
|
|
|
|
|
■— - n+-n |
||
----------(-a. |
dx |V (x) |7 C0 = |
(4я) |
||||||
x (t) ^ ' |
*я (p) |
2p Г(1 |
||||||
|
|
a+1—— |
|
r ( - - H |
- l ) |
|||
X |
I V W |
I |
, 129C 0 |
f |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
( a + |
2 ( 1 _ |
2q ) ) |
N
2Я X
X
что и требовалось доказать.
Лемма 1.2. Если F(x)eL9, <7>0,5iV, то интегральное уравнение (1.3) имеет единственное решение, принадлежащее
Lx (g)L“ (g)L°° [0, £], |
и для этого решения выполнена оценка |
|
sup |
|со (х, у, х) |< С (t, IV (х) |9) < оо, |
|
x.y£RN, Т6[0,<] |
|
|
где константа C(t, |
||V(x)||q) конечна при |
всех ffe[0, оо), |
IIV(jc) ||в<оо и зависит только от t и ||У(х)||д. |
при достаточ |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу оценки (1.4) |
||
но большом п оператор Ап, рассматриваемый |
как оператор |
|
в банаховом пространстве(§)-Ц °®£°°(0. ^]* |
имеет норму |
|
меньше единицы, поэтому утверждение леммы есть следствие принципа сжатых отображений.
§ 2. Предел функции Грина уравнения теплопроводности при п—>оо
Предположим, что функция V(x) удовлетворяет услови ям Л(->(a, R), пусть VM(x) =min{K(x), М). Рассмотрим за дачу Коши
-| т- = Дu + Vm {x) u, t > 0 , х б Rn \ |
|
dt |
|
u(x, + 0) = и0{х), и(х, t)£ L°°. |
(1.5) |
10
Пусть GM(x, у, t) — функция Грина задачи (1.5). Как уже доказано [2],
GM{х, У, t) = G0(х, у, t)®м (х, у, О,.
где
1 |
_ |
(X(т) — тх (1)) + |
|
<otf (х, у, t) = § {exp (f J Vm (2Vt |
|
||
0 |
|
|
|
+ X + ( y — x) T)dr)j. |
(1.6) |
||
ПустЬ |
_ |
|
|
l |
|
|
|
<р№(х, у, t,x{%))= exp(f JVAf(2/< |
(x{x) — xx(l)) + |
|
|
+ x + ( y — x)x)d%y
Лемма 1.3. Если функция V{x) удовлетворяет условиям
ЛН(а, R), то
1) при любых фиксированных х, y^RN почти всюду по мере Винера существует конечный предел
фС—) (х, у, t, х (т)) = Пт ф£-> (X, у, t, х(х)У,
2)функционал <рН(х, у, t, х(т)) интегрируем по Винеру
слюбой степенью д е ( 0, о о ), причем
'<И(Фн ) - ф И Р}-+°- М^-оо-,
3)рассматриваемый как функция х, y^RN и t<=(0, °°), интеграл
со(-) (х, у, t) = § {ф(- } (х, у, t, х(т))}
есть измеримая функция и на произведении пространств RnXRnXI0, 0. и 110 каждой переменной в отдельности при фиксированных остальных;
4) функция ©Н (х, у, t) удовлетворяет оценке
|
1 "С |
*(х, у, t) <^.С (t, IУ (■х)||9), |
|
причем |
величина |
C(t, ||У(х) ||9) |
зависит только от t и |
|У(х) ||q и конечна при всех te[0, |
оо) и ||У(х) ||9<оо; |
||
5) |
функция ©H(x, у, t) симметрична по х и у |
||
®(-) {х, У, t) = ®(_) (У, х, t).
11
Д о к а з а т е л ь с т в о . Как известно, функция GM(х, у, t) удовлетворяет интегральному уравнению
|
GM(х , у, t) --= G0 (х, y,'t) + |
|
||
< |
|
g, t — t) VmШ Gm(i, У, x)dl, |
||
+ jdT jG 0 (x, |
||||
о |
|
|
|
|
а отсюда следует, |
что |
функция солг (х, у, t) |
удовлетворяет |
|
интегральному уравнению |
|
|||
(х, у, |
t) = |
|
t |
g, f — t) x |
1 + GiT1(х, у, t) j dx J G0 (x, |
||||
|
|
|
0 |
|
|
X VM(l) G, (g, у, x) (x>m(£, г/, т) dg. |
(1.7> |
||
Из формулы |
(1.6) |
следует, солГ'(л:, t/, 0 G-LJ (g)L“ (g)L“ [ОД]. |
||
В силу леммы 1.2 существует единственное решение уравне
ния (1.7), принадлежащее ДТ ® 7.” |
[0, *], |
причем |
это- |
|
решение удовлетворяет оценке |
|
|
|
|
О < |
со^ (х, у, t) < С(t, IV» (х) I,) < |
С(t, |V (х) |?) < оо. |
(1.8) |
|
При |
фиксированных х, y^RN |
и /> 0 |
функционалы |
|
Ф^Г* (х, у, х (т)) образуют монотонно возрастающую последо |
||||
вательность неотрицательных интегрируемых по Винеру функционалов, причем в силу неравенства (1.8) последова тельность интегралов от них ограничена в совокупности чис лом, не зависящим от М, поэтому первое утверждение леммы есть следствие теоремы Беппо Леви.
Так как
(ФаГ’ (х, у, t, х (т)))р = |
|
1 |
_ |
|
exp [tp tj Vm (2 У t (х (т) — хх (1)) + |
||||
|
о |
|
|
|
+ х + ( у — х) х) dx'j |
|
|||
и потенциал pV(х) |
(a, R) |
при |
р > 0, если |
только |
V(х) еЛН (а, R), то второе утверждение леммы есть |
след |
|||
ствие первого и теоремы Лебега. |
есть |
следствие того, что |
||
Третье утверждение |
леммы |
|||
функция со<~)(л:, у, t) — предел монотонно возрастающей пос ледовательности неотрицательных измеримых функций
ам( \х, у, t) и оценки (1.8). Из оценки (1.8) вытекает и чет вертое утверждение, а пятое следует из равенства
тдГ) (х, У, 0 = с (у, х, t).
Лемма 1.4 доказана.
12
Предположим, что потенциал V(х) удовлетворяет усло виям Л<+>(а, R). Пусть
|
1 |
_ |
|
фм} (X, у, t, х (т)) = exp |
(х (т) — тлГ(1)) + _ |
||
|
О |
|
|
+ |
X+ (у — х) г) dtj, |
(1.9) |
|
со$° (х, у, |
t) = <? {фй-*(х, у, t, |
х (%))}. |
|
Лемма 1.5. Если функция V(х) |
удовлетворяет условиям |
||
Л(+)(а, R), то
1) |
при любых фиксированных x ,y £ R N, х (т) в C[o,i] (RN) и |
|
/> 0 существует конечный предел |
||
|
Ф(+) (х, У, t,x(%)) = |
lim ф]-И(х, у, tx ( т)); |
|
. М-»оо |
|
2) |
функционал <р(+)(х, у, |
t, х(т)) интегрируем по Винеру |
с любой степенью р е ( 0, оо), |
причем |
|
gф(+) _ ф(+) |р} -> О, М -*• оо;
3)рассматриваемый как функция х, y^.Rn и £>0 ин
теграл
ш<+> {х, y,t) = I {ф<+> (х, у, t, х(т))}
есть измеримая функция и на произведении пространств ^jvX-RivXlP, О и 110 каждой переменной в отдельности при фиксированных остальных;
4) функция ©(+> (х, у, t) удовлетворяет оценке
0<со(+> (х, у, t) < 1 ;
5) функция со<+) (х, у, t) симметрична по л: и у.
со<+> {х, у, 0 = со<+> (у, х, t).
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Лемма 1.5 следует из того факта, |
что последовательность |
функционалов фФ неотрицательна |
и монотонно убывает при А1->-оо. |
|
Пусть функция V(х) |
удовлетворяет условиям Л (a, R), |
М\(п) и М2{п) — две произвольные бесконечно большие по следовательности,
у(+> (х) = шах (V (х), 0), У$дп) (х) = min{y<+> (х), ML(/г)},
у(-) (х) = — min {У (х), 0), У^п, (х) = min{y(_) (х), М, (л)},
Vn(*) = VitU (x) ~ V (mU (*);
13
