Файл: Арсеньев А.А. Сингулярные потенциалы и резонансы.pdf

Urn К(Я +

£е)=Х+(Я)(= ГLP-^Lfl

l / p - I / < 7 >

N+ 1 1

2N

J ’

e-> + 0

l_

lim

Х ( Я - / е )

=

Х ' ( Я ) е I U>-+Li

1 / ц - 1 / ц >

N 4-1

j .

ол,

e-»+o

L

2 /v

3) операторы Х+ (Я)

и Х - (Я) непрерывны по Я при ЯеЦ),

оо)

в силь­

ной операторной топологии пространства

Lp

W ,

llp — l l q >

N + 1

1

< р < 9 < оо

2Х

4)если

ф (*/) е L00

и ф(р) = О ((у | ^ “ ),

0 < а <

1 , то для

интёг-

рала

1+(х,

Я) = | х + (Я, |х — y\)y(y)dy.

справедливы асимптотические оценки

1- N

а

Х е х р | г ( [ х | / Я

) Ф 0 (|.

).

|х|-»- + оо,

где

Р (п) = J

Цп,у) /X

е

|!/|

(р(у)

dy\

2N

выпол-

5) какова бы ни была функция ф (х) € Z,? П L°°, Ж Х+1

нено равенство

(е~и -

Go) еи (Е +

Х+ (Я)) <р =

ем (Е +

Х+ (Я)) (eu ~ f i 0(1)) ф =

Ф;

б)

оператор

Х(Я),

рассматриваемый

как элемент

пространства

£ Я/* ->-

,

1 Ip — 1 /q >

j,

непрерывен по Я в замкнутой полуплоско­

сти Re Я=^0 и норма

его ограничена константой,

не зависящей

от

Я при

ЯеЯ^О.

В

силу утверждения 5) теоремы 6.6

норма

Д о к а з а т е л ь с т в о .

оператора Х(Я) в [Lt- kLt

1 ^ р ^ г ^ о о ] ограничена равномерно по Яе£>,

где D — любой компакт, не содержащий луней Я =2 ят /1 +ri, я=0;

+ 1, ...

.... т ]^ 0 ,

а в силу 1 )

для любых финитных функций Ф[(х) и ф2 (х)

функ­

ция

а(Я) = j К(Х, U

— i/l)q>i (*) Фз (</) dxdy

голоморфна по X при ЯеД, откуда и следует первое утверждение тео­

ремы.

теоремы 6.5 норма

оператора

В силу утверждения 6 ) и 7)

(К (Ь + « в ) - К + (*,))£ L.P

Af +1

1

L*, 1/Р-!/<?>

2N

J

достаточно

доказать,

что

какова

бы

ни была финитная

функция

ф((/) и

г {

2N

\

, выполнено равенство

—

---- -— > оо

1

lim

J] J [K(k +

ie,

|* — у I) — К+ (X, |х — у |)] ф (t/) dy j 4 dx =

0 .

(6.38)

Фиксируем

произвольное

Так как

при каждом

фиксированном

г>0

Пт [К (X -f- i&, г) —К + (X)] =

0,

Е -Н -0

то в силу теоремы Лебега при каждом фиксированном x^Rn

lim

\{ [К(Х +

i&,

\х — у\)—'К+ {Х, \х ~у\)]у (у) dy\ = 0.

(6.39)

е- » + 0

I J

I

Из утверждений 6 )

и 7)

теоремы 6.6

следует, что при всех xe/?jr

и е>0

выполнена оценка

] J [ K ( X + t e ,

|х — </|)— К+ (Я, \х - у

))] у {у) dy |< c j

Ф(У)],

Г

1+1*—У\ 2

< С |1 ф (у) |м

-------------Л-У-

—

- 6

L?,

q£ (

-2^ ,

о о ] ,

(6.40)

1 + ] х ^ у]~

причем С не зависит от

х и в. Из

(6.39),

(6.40)

и теоремы

Лебега сле­

дует (6.38). Утверждение 2 теоремы доказано. Утверждение 3

доказывает­

ся совершенно аналогично.

Докажем оценку 4). Пусть (х|>1. Интеграл /+(х, Я) мы предста­

вим как сумму трех интегралов

I+ ( x , X ) =

j

К+ (Х,

\х— y\)y(y)dy +

• м < 0,51X1v<

+

j

К+ (Х,

\x-y\)<p(y)dy +

0,5|х]‘ /<<М <0.51х1

Пусть

1 jq —

N — 1

■а. Тогда

2N

4N

IJ

К+(К, I* — y\)y(y)dy\<

\у)>0,Ь\х\

J

; (

j

К+ ( М *

- аг|)? <&),Аг (

1 Ф1 1

Р ^

)

lffl>0,5|x|

Iffl>0,51x1

N—1

а

N

nr i

< c (

[

r - ^ + ^

- ' d

r )

< C ' | / I

q

« 1

2

4

4

— C'\x\

r > 6 ,5

Ul

|

j

U — y\)<?(y)dy |<

0 ,5U| */■*< Itf1<0,б|лг|

1—N

J

1фЫ1^ <

l~N _

4.

'"<ci*i 2

c

\ x \

2

0,5|.Vll /* < !srl< 0 ,5 U l

При|л:|-^схз

равномерно по у е {у,

1у I < 0,8

|х |'’*}

справедлива

оценка

\х — у |=

|х I — cos(х ,

-f- 0

(| л Г ,/г)

где cos(x,

у)

=

^

поэтому из оценки 4) теоремы

6 .6

следует,

что

J .

2

' х

|«|<0,5|*|V4

X V

-2

<(l«l У Х --2 -

cjv-

d )

я: I де|

e

i—n __ i_

_

_

L

J

.

, Г Г . ' ( М

X

4t-

\

[2n\x\

V

я|х|

1—N a_

X(3U) + 0(|x| 2

4).

Г

Предположим, что

ф (x) € Lp 0 L°°,

где

p — некоторое

число из

2N

\

неравенству

I j

-------------- j , а число q<oo удовлетворяет

I/P — 1 / ? >

ЛН- 1

2JV