Файл: Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник.pdf

Г л а в а X V I I I . К р и в и з н а п о в е р х н о с т и

4 1 0 Индикатриса Дюпена имеет вид сопря­ женных* гипербол, если касательная плос­ кость в рассматриваемой точке пересекает поверхность. Такую точку называют гипер­ болической. Касательная плоскость к линей­ чатой поверхности проходит через ее про­ изводящую прямую линию.

Если она остается касательной плоско­ стью для всех точек этой прямой, то инди­ катриса Дюпена такой поверхности в точках производящей линии представляется двумя параллельными прямыми линиями. Точки, расположенные на этой производящей ли­ нии, называют параболическими.

Описанные выше возможные виды инди­ катрисы Дюпена показывают, что в каждой

точке поверхности величины кривизны k ^

нормальных сечений поверхности достига­ ют двух крайних значений.

Направления, в которых кривизны нор­ мальных сечений имеют минимум и макси­ мум, взаимно перпендикулярны и совпадают с главными диаметрами индикатрисы Д ю ­

верхности в рассматриваемой точке. Соот­ ветствующие этим кривизнам радиусы Ri

и Ri называют главными радиусами кривизны

вданной ее точке.

Вэллиптической точке главные кривизны имеют одинаковые знаки, а в гиперболиче­ ской — противоположные. В параболиче­ ской точке одна из главных кривизн равна нулю.

Вгиперболической точке поверхности можно отметить два асимптотических на­ правления (асимптоты гиперболы) с нулевой

* Сопряженными н а з ы в а ю т г и п е р б о л ы , и м е ю щ и е о б щ и е а с и м п т о т ы . Д е й с т в и т е л ь н а я о с ь к а ж д о й из них р а в н а м н и м о й ос и л р у і ой и на­ о б о р о т .

кривизной нормального сечения, т. е. можно построить прямые, к которым ветви гипер­ болы неограниченно приближаются при уда­ лении в бесконечность. Здесь радиусы кри­ визны бесконечно большие.

Радиус кривизны R -jk любого нор­ мального сечения N выражается через глав­ ные радиусы кривизны формулой Эйлера*:

ны по величине и противоположны по зна­

средняя кривизна равна нулю, называют

минимальными.

Минимальные поверхности с гиперболи­ ческими точками имеют индикатрисами Д ю ­ пена равнобочные гиперболы.

Из поверхностей вращения минимальной поверхностью является катеноид — поверх­ ность, которая получается при вращении

Г л а в а X V U I . К р и в и з н а п о в е р х н о с т и

4 1 2 Э т о следует из того, что соприкасающиеся окружности нормальных сечений поверх­ ности и кривые линии сечения ее соприкаса­ ющегося эталона совпадают как предель­

щей прямой линией, то соприкасающийся винтовой гор имеет вид прямого или косого закрытого геликоида, конуса вращения, ци­ линдра вращения или плоскости. Эти по­ верхности сами являются эталонами.

У линейчатых ротативных и спироидаль-

и геликоиды с неравными нулю эксцентриси­ тетами являются соприкасающимися эта­ лонами ротативных и спироидальных ли­ нейчатых поверхностей с направляющей пло­ скостью.

Очевидно кривизну в заданных точках кинематических поверхностей основных ви­ дов с плоскими производящими линиями можно определить, например, построив ин­ дикатрису Дюпена для точек винтового тора,

касательной, построенной в данной точке производящей окружности.

Давая соответствующие значения вели­ чинам этих параметров, можно получить расчетные уравнения к построениям инди­ катрис Дюпена для винтового гора общего вида и для его частных случаев: закрытых

Полученные таким путем расчетные урав­ нения позволяют строить индикатрису Дю ­ пена кинематических поверхностей основных видов при общем способе их задания базо­ вой линией и производящей кривой линией произвольного вида.

Отметим, что для поверхностей враще­ ния базовая линия преобразуется в ось поверхности, а для поверхности переноса — в направление переноса. В этих случаях не­ обходимо лишь построить соответствующее плоское сечение рассматриваемой поверх­ ности и, пользуясь им, по чертежу опреде­ лить параметры r, R и ф соприкасающегося винтового тора, который имеет о б щ у ю с заданной поверхностью индикатрису Д ю ­ пена.

Прямые и косые геликоиды наиболее точ­ но характеризуют строение линейчатых по­ верхностей с плоскостью параллелизма и направляющей плоскостью в их бесконечно малых отсеках, поэтому их можно рассмат­ ривать как соприкасающиеся эталоны этих поверхностей.

Таким образом, построение индикатрисы Дюпена различного вида геликоидов дает возможность решить все вопросы о кри­ визне линейчатых поверхностей с плоско­ стью параллелизма и направляющей плос­ костью.

в е р х н о с т и в д а н н о й т о ч к е ?

4. Н а п и ш и т е о б щ е е у р а в н е н и е и н д и к а т р и с ы Д ю п е н а .

5. К а к и е п о в е р х н о с т и н а з ы в а ю т с о п р и к а с а ю ­ щ и м и с я з і а л о н а м и р а с с м а т р и в а е м ы х к и н е м а т и ­ ческих п о в е р х н о с т е й ?

Л И Т Е Р А Т У Р А

К у л и к о в А . С . Н а ч е р т а т е л ь н а я г е о м е т ­ р и я в п р и м е н е н и и к ч е р ч е н и ю , к о н с т р у и р о в а н и ю

ч е р т а т е л ь н о й г е о м е т р и и в п р и м е н е н и и к р а з л и ч ­