Г л а в а X V I . П л о щ а д и п о в е р х н о с т е й
§ 104. П л о щ а д ь линейчатой поверхности с н а п р а в л я ю щ е й п л о с к о с т ь ю
П р о и з в о д я щ ая прямая линия во всех своих положениях наклонена к плоскости Qv под углом а. Как приближение считаем, что прямоугольник п л о щ а д ь ю Д / является про екцией бесконечно малой площадки AF от сека, ограниченного соответствующими час тями производящей линии в смежных ее положениях и ходами бесконечно близких точек производящей линии.
В этом случае площадь отсека поверх ности можно рассматривать как предел сум м ы площадей, состоящих из лент, ширина которых определяется бесконечно близкими точками производящей линии, а длина — ходами этих точек.
На рис. 508 построены развертки |
гори- |
397 |
зонтально-проецирующих цилиндров ходов |
|
точек производящей линии ab, a'b' и опреде |
|
лены Д Л И Н Ы Э Т И Х ХОДОВЛЛ5, |
ВВъ. |
|
|
Н а |
вертикальной |
прямой |
линии |
взят |
|
отрезок AB, равный длине отрезка произво |
|
дящей линии, и в соответствующих его точ |
|
ках восставлены перпендикуляры (проведе |
|
ны горизонтальные линии), равные длинам |
|
ходов точек производящей линии. П л о щ а д ь |
|
полученного контура, ограниченного пря |
|
мыми и кривой линией, равна с некоторым |
|
приближением площади заданного контура |
|
отсека |
поверхности с |
направляющей |
плос |
|
костью. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В о п р о с ы д л я |
с а м о п р о в е р к и |
|
|
|
1. |
К а к о п р е д е л я ю т п л о щ а д ь т о р с о в о й |
п о |
4. |
Н а к а к о м п р и н ц и п е о с н о в а н м е т о д о п р е |
в е р х н о с т и ? |
|
|
д е л е н и я п л о щ а д и у л и т о к в р а щ е н и я ? Д а й т е о б щ у ю |
2. |
В ч е м с о с т о я т п р и н ц и п ы м е т о д а П а п п а — |
с х е м у р е ш е н и я э т о й з а д а ч и . |
Г ю л ь д е н а и м е т о д а Г р о м о в а п р и о п р е д е л е н и и |
5. |
Р а с с к а ж и т е , к а к о п р е д е л я ю т п л о щ а д и п о |
п л о щ а д е й п о в е р х н о с т е й в р а щ е н и я ? |
|
в е р х н о с т е й К а т а л а н а , п о в е р х н о с т е й р а в н о г о с к а |
3. |
К а к о п р е д е л я ю т п л о щ а д ь в и н т о в о й |
п о |
т а , п л о щ а д и л и н е й ч а т ы х п о в е р х н о с т е й с н а п р а в |
в е р х н о с т и и п л о щ а д ь п о в е р х н о с т и п е р е н о с а ? |
|
л я ю щ е й п л о с к о с т ь ю . |
Г Л А В А XVII
О Б Ъ Е МЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ, ОГРАНИЧЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЯМИ
Определение объемов геометрических тел, ограниченных кривыми поверхностя ми, большое значение имеет в конструи ровании различных резервуаров, воздухо водов, насосов, ряда агрегатов машин и механизмов, форм поверхностей гидро технических и других инженерных соору жений.
В начертательной геометрии методы оп ределения объемов тел, ограниченных по верхностями, являются новыми. Они могут найти широкое применение в различных об ластях техники. Покажем графические ме тоды определения объемов пространства, ограниченного кинематическими поверхно стями.
§105 О Б Ъ Е М Т Е Л А , О Г Р А Н И Ч Е Н Н О Г О Т О Р С О В О Й П О В Е Р Х Н О С Т Ь Ю
Пусть поверхность торса задана его реб ром возврата ab, a'b' (рис. 509). Определим объем тела, ограниченного этой поверхно стью, плоскостью Qv, горизонтально-про ецирующим цилиндром ребра возврата ab, a'b' торса и горизонтально-проецирующими плоскостями крайних образующих торсовой поверхности.
Построим направляющий конус торса. Эту поверхность ограничим плоскостью Qv и крайними образующими . Построим кри вую отношений длин парных образующих торса и его направляющего конуса. Через парные образующие торса и направляющего конуса проведем их горизонтально-проеци рующие плоскости Ыц . Этими плоскостями торс и конус рассекаются на бесконечно большое число пирамид бесконечно малых
объемов. Пирамиды, ребрами которых яв ляются парные образующие торса и направ ляющего конуса, подобны. Линейные раз меры пирамид, принадлежащих торсу, в m раз больше линейных размеров соответ ствующих пирамид, принадлежащих направ ляющему конусу торса.
Очевидно, объем каждой из пирамид, принадлежащих торсу, в т3 раз больше объема соответствующей пирамиды, при надлежащей направляющему конусу.
Выбираем две взаимно перпендикуляр ные прямые и принимаем их за оси коорди нат. П о оси абсцисс в заданном масштабе откладываем величины объемов пирамид, ограниченных направляющим конусом, а по оси ординат — соответствующие образую щ и м конуса величины т3.
§ 105. О б ъ е м т е л а , о г р а н и ч е н н о г о т о р с о в о й п о в е р х н о с т ь ю
Р и с . 509
Г л а в а X V I I . О б ъ е м ы г е о м е т р и ч е с к и х т е л , о г р а н и ч е н н ы х п о в е р х н о с т я м и
400 |
Так можно построить кривую линию ек, |
лому |
объему трехгранной |
пирамиды, |
|
представляющую собой |
график указанной |
ребрами |
которой |
являются |
образующие |
|
зависимости. П л о щ а д ь , |
ограниченная кри |
торса. |
|
|
|
|
вой ек, осью абсцисс и двумя бесконечно |
Площадь, ограниченная кривой ек, осью |
|
близкими |
ординатами, |
расстояние |
между |
абсцисс и крайними ординатами, по число |
|
которыми |
АѴ, равна АѴ-тз. П о числовой ве |
вой величине равна |
объему заданного тела |
|
личие эта площадь равна бесконечно ма |
с торсовой поверхностью. |
|
§106оБ Ъ Е М Т Е Л А , О Г Р А Н И Ч Е Н Н О Г О |
П О В Е Р Х Н О С Т Ь Ю |
В Р А Щ Е Н И Я |
|
|
Определим объем тела, ограниченного поверхностью вращения. Н а рис. 510 по верхность вращения задана производящей кривой линией AB в меридиональной плос кости и вертикальной осью. Объем поверх ности ограничен плоскостями крайних па раллелей.
Рассматриваемый объем можно считать составленным из бесконечно большого числа бесконечно малых объемов цилиндров, пло щади основания которых равны площадям кругов параллелей, а высоты Д/і бесконечно м а л ы . Объем такого слагаемого цилиндра равен nr2Ah.
Во фронтальной меридиональной плос кости отложим от оси поверхности враще
ния, придерживаясь масштаба измерения, по направлениям радиусов параллелей ве личины я г 2 . Таким построением наметится кривая CD, для которой вертикальная ось поверхности является осью ординат. Отсек площади, ограниченный этой кривой ли нией, осью ординат и абсциссами, расстоя ние между которыми бесконечно мало, по числовой величине равен я г 2 Д й , т. е. бесконечно малому объему слагаемого ци линдра.
Площадь, |
ограниченная кривой лини |
ей CD, осью |
ординат и крайними абсцисса |
ми, равна (в принятых единицах измерения) объему заданной поверхности, ограниченной плоскостями крайних ее параллелей.
