Файл: Руководство к лабораторным занятиям по физике учеб. пособие.pdf

Согласно закону Гука зависимость удлинения от нагрузки имеет

Неизбежные ошибки опыта приводят, однако, к тому, что точки Хи Уі не лежат на одной прямой. Значение k может быть найдено из любой пары значений хіу уи а наличие п пар приводит к появлению п, вообще говоря, несовместных уравнений для нахождения k.

Задачу о выборе наилучшего значения к мы до сих пор решали графически, отмечая ’точки yt на миллиметровой бумаге и про­ водя через них на глаз наилучшую прямую. Графический способ решения не всегда, однако, обеспечивает достаточную точность. Аналитическое решение задачи производится с помощью метода наименьших квадратов.

Рассмотрим отклонения точек хІУуі от прямой (4.13) и составим величину ср — сумму квадратов отклонений наших точек от прямой:

Величина tp всегда положительна и оказывается тем меньше, чем ближе к прямой лежат наши точки. Метод наименьших квадратов утверждает, что для к следует выбирать такое значение, при кото­

ром ср имеет минимум:

П

-2 2 м ( ^ - ^ ) = °

і=і

или

і=і

Вычисление показывает, что стандартная ошибка er (к) опре­ деления величины к равна при этом

Мы рассмотрели сейчас наиболее простой случай применения метода наименьших квадратов. Рассмотрим теперь несколько более трудный случай, когда точки xiy yt должны удовлетворять не формуле (4.13), а несколько более сложной формуле

Задача состоит в том, чтобы по имеющемуся набору значений xit у{ найти наилучшие значения а и Ь.

Снова составим квадратичную форму ср, равную сумме квадратов отклонений точек xt, уі от закона (4.17),

П

Ф= 2 (Уі —а - bXif,

і=і

и найдем значения а и Ь, при которых ф имеет минимум

Вернемся к опыту по исследованию упругих свойств металли­ ческого стержня. Пусть результаты опытов изображаются точками на рис. 313. Первый же взгляд на график убеждает нас в том, что зависимость удлинения от нагрузки является линейной или почти линейной. В самом деле, прямая, проведенная на рис. 313 сплошной линией, не противоречит экспериментальным данным. Им не противо­ речит, однако, и изогнутая линия, проведенная пунктиром. Более того, эта линия даже несколько лучше удовлетворяет эксперимен­

тальным данным, чем прямая. Мы хотели бы, однако, думать, что истинная связь удлинения и нагрузки все-таки является прямоли­ нейной. Задача сводится к отысканию критерия, позволяющего судить о том, является ли представление искомой зависимости в виде прямой линии достаточно хорошим или экспериментальные данные заставляют отдать предпочтение криволинейной зависимости, напри­ мер зависимости, изображенной пунктиром.

Сформулированная сейчас задача в применении к закону Гука представляется несколько искусственной. В этом случае лучше всего попросту повторить опыГ, уменьшив эксперименталь­ ные ошибки, и вопрос ре­ шится сам собой. Встре­ чаются, однако, случаи, когда такое повторение опыта оказывается затруд­ нительным или даже невоз­ можным. Так бывает, напри­ мер, при опытах с редкими частицами в космических лучах или на ускорителях, когда повторение опыта требует нескольких лет

работы или попросту оказывается невозможным. Возможно более полная интерпретация имеющихся данных становится в этом слу­ чае особенно существенной.

Общий вопрос, который возникает в таких случаях, сводится обычно к следующему. На графике, изображающем некоторую зави­ симость, точки легли не вполне регулярно. Следует ли придавать значение наблюденным отступлениям от гладкой кривой? Совместима ли с экспериментальными данными гипотеза о том, что искомая зависимость на самом деле является гладкой (или даже прямолиней­ ной) или эти данные указывают на негладкий, аномальный ход кривой?

Исследование проблемы достоверности гипотез производится обычно с помощью критериев значимости.

Одним из наиболее удобных критериев значимости является так называемый «критерий %2».

В предыдущем разделе мы рассматривали метод наименьших квадратов, с помощью которого можно, например, провести через экспериментальные точки наилучшую прямую. Исследуем теперь вопрос о том, насколько данные, использованные для проведения этой прямой, согласуются с представлением о том, что рассматриваемая прямолинейная зависимость действительно имеет место. Единствен­ ной мерой, которая может быть использована для расчета, является, естественно, точность, с которой экспериментальные точки удов­ летворяют предполагаемому закону. В методе %2 з качестве такой

меры принимается сумма квадратов отклонений от предполагаемой зависимости

Отклонения экспериментальных точек от значений, следующих из принятой гипотезы, выражаются в долях стандартной ошибки данного измерения. Найденное значение %2 должно быть сопо­ ставлено с теорией. Это делается с помощью таблицы, приведен­ ной на стр. 596. В таблице для разного числа степеней свободы (числом степеней свободы в этом случае называется число измерений без одного, если гипотеза не содержит определяемых из опыта коэф­ фициентов, число измерений без двух, если из опыта находится один коэффициент, например наклон прямой, ит. д.) приведены значения Х2для ряда чисел р. Для 10 степеней свободы находим из таблицы,

гипотеза справедлива, рассчитанное по (4.22) значение х 2 с вероят­ ностью 99% (р = 99) окажется больше 2,6, с вероятностью 95% (р — 95) больше 3,9, с вероятностью 70% больше 7,3, с вероят­ ностью 1 % больше 23,2 и т. д. Пусть мы найдем в результате расчета по формуле (4.22) х2 = 3,5. Такое ^значение %2 должно наблюдаться больше чем в 95% случаев; отклонение наших данных от ожидаемой прямолинейной зависимости является в этом случае совершенно несущественным. Если бы мы нашли в результате расчета х 2 = 18, сопоставление с таблицей показало бы нам, что такие отклонения следует ожидать только в 5% случаев. Существование прямолиней­ ной зависимости и в этом случае нельзя считать исключенным, но должно быть поставлено под сомнение. Естественно в этом случае повторить опыт, чтобы получить более ясный результат. Если бы х 2 оказалось равно 30 (вероятность получить на опыте такое значе­ ние — 0 , 1 %), можно было бы утверждать, что проверяемая гипотеза почти наверное является ошибочной.

При сравнении отклонений с таблицей обычно применяют еле дующую терминологию: если найденная из опыта величина х2Должна наблюдаться с вероятностью, заключенной между 1 и 5 %, откло­ нения называются почти значимыми, если вероятность заключена между 0 , 1 и 1 % — значимыми и, наконец, если вероятность обна­ ружить найденное значение х2 оказывается меньше 0 ,1 %, отклонения являются высокозначимыми. При вероятности > 5% следует счи­ тать, что экспериментальные данные недостаточны для того, чтобы отвергнуть гипотезу.

На этом мы заканчиваем краткое изложение методов обработки наблюдений. Более подробные сведения могут быть найдены в спе­ циальных книгах.