Файл: Руководство к лабораторным занятиям по физике учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 14.10.2024

Просмотров: 211

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

IV. МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ НАБЛЮДЕНИЙ

589

ядро может распасться на две, на три, или даже на четыре,

но

обязательно на целое и притом небольшое число частей. Статисти­ ческие закономерности, которые имеют место в этом случае, несколько отличаются от изученных нами ранее; отличаются и правила вычис­ ления ошибок.

Рассмотрим счетчик, регистрирующий космические частицы. В то время как число отсчетов счетчика за любой промежуток вре­ мени является целым числом, интенсивность ѵ космического излу­ чения (т. е. число отсчетов счетчика в секунду, усредненное за очень большой — в пределе за бесконечный — отрезок времени), вообще говоря, целым числом не выражается.

Найдем вероятность того, что при интенсивности ѵ счетчик сработает за секунду п раз.

Поскольку мы переходим теперь к вычислению вероятностей, следует представить себе очень большое число совершенно оди­ наковых одновременно работающих счетчиков. Некоторая часть их сработает за секунду п раз. Доля, составляемая этими счетчиками по отношению к полному числу счетчиков, и равна вероятности того, что через счетчик в секунду пройдет ровно п частиц.

Обозначим полное число счетчиков буквой N. Через них в секунду в среднем проходит Nv частиц, а за небольшое время dt пройдет Nv dt частиц. Если dt достаточно мало, то ни через один из счетчиков за это время не пройдет двух частиц, и паши счетчики можно разбить на два класса: те, через которые за dt прошла частица, и те, через которые не прошла. Последние составляют, конечно, огромное боль­ шинство. Число счетчиков, через которые прошла частица, равно, очевидно, числу сосчитанных частиц Nv dt, а их доля по отношению к полному числу счетчиков составляет Nv dt/N = v dt.

Вероятность того, что за время dt через счетчик пройдет частица, равна, следовательно, v dt. Это утверждение справедливо только для очень малого времени dt.

Вычислим теперь вероятность Р0 (7) того, что за время t через счетчик не пройдет ни одной частицы. По определению число таких счетчиков в момент t составляет NP0 (t), а в момент t + dt равно МР0 (t + dt). На основании предыдущего ясно, что из NP0 (t) счетчиков за время dt сработают NP0(t)vdt. Поэтому

NP0 (t + dt) = NP0(t) -

NP0v dt,

или

 

P0(t + d t ) - P 0(t)= - P 0vdt,

 

Интегрируя, найдем

 

/>о(9 = е-ѵ<-

(4.1)

При интегрировании было принято во внимание, что в начальный момент времени вероятность найти счетчик, не сработавший ни разу, равна, конечно, единице.

590

ПРИЛОЖЕНИЯ

Вычислим теперь

Рп (t -f dt) — вероятность того, что за время

t ■+ dt через счетчик пройдет ровно п частиц. Эти счетчики делятся на две категории. К первой принадлежат те, через которые все п частиц прошли за время / (а за время dt не прошло ни одной). Ко

второй принадлежат счетчики, через которые за время

г

прошло

п — 1 частиц, а последняя — за промежуток dt. Число первых равно

NPn (0(1 — vdt), а

число вторых

составляет

NPn-i (/) v dt.

Имеем,

следовательно,

 

 

 

 

NPn (t+dt) =

 

 

 

 

— NPn ( t ) ( \ - v d t ) + N P nA{t)vdt.

Перенесем nPn (t) влево

и

разде­

лим обе части равенства

на N dt:

■ ^- + ѵР я= ѵРя-і.

(4.2)

Последовательно

применяя

ре­

куррентную формулу

(4.2),

с

по­

мощью (4.1)

найдем

 

 

 

 

Рис. 311.

Распределение Пуассона

Pn(t) =

V,

(4.3)

 

для пи =

3.

tt' е

Заметим теперь, что ѵ/, которое мы обозначим через л„, равно сред­

нему числу

частиц,

проходящих

через счетчик

за время

t. Введя

в (4.3) «о,

найдем

 

trl

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рп (По) ■

Ü2п\..е-П0

 

(4.4)

Формула (4.4) определяет закон распределения Пуассона. Для иллю­ страции на рис. 311 изображено распределение Пуассона для п0 — 3. Ни для какого п величина Рп не равна нулю. Она достигает мак­ симума при п — 3. Вероятность п = 0 оказывается довольно велика.

Достаточно велика также

вероятность

того, что счетчик

сработает

не 3, а 6 или даже

8

раз.

 

 

 

Рассмотрим некоторые свойства формулы (4.4). Вычислим преж­

де всего вероятность

найти какое угодно значение п:

 

С О

00

 

с о

 

 

Рп =

ѴЧ п п

V

п п

(4.5)

>

 

е-"° = е~по >

= е е п°= 1.

fl—0

лЗ)

 

 

О

 

Этот результат является очевидным, поскольку мы вычисляли вероят­ ность достоверного события. Вычислим среднее значение п:

СО со

^ср -- 2 " » I -

г-а п0е-*

л!

dn, еПа — п0. (4.6)

V

« 0

=

 

■ще -по

я=0

 

 

п=0

 

IV. МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ НАБЛЮДЕНИЙ

591

Полученный результат также можно было без труда предсказать заранее.

Найдем теперь среднее квадратичное отклонение п (стандартную ошибку):

 

G O

 

 

(п - щ)1р =

У

(л - п0)2 "°г в-«. -

щ

 

п—0

 

 

(вычисление суммы в качестве полезного упражнения мы предостав­ ляем читателю). Имеем, следовательно,

а = Ѵ(п — п0)Ір = У п 0.

(4.7)

Стандартная ошибка равна корню из среднего числа отсчетов.

§ 2. Распределение Гаусса

Распределение Гаусса является предельным случаем распре­ деления Пуассона и многих других законов распределения.

Рассмотрим распределение Пуассона при больших п0 и п. Дис­ кретность распределения по п в этом случае теряет свое значение, так как п меняется практически непрерывно.

Будем характеризировать отклонение п от яи с помощью к, определенного соотношением

n = tt0(l + е ).

Ограничимся рассмотрением случая,

когда е 1.

Подставляя формулу Стирлинга

 

ln пі = 1п |/ 2 яп

п ln п — п

в (4.4), найдем

 

In Рп — п In щ — In У 2лп — п in п + п — n0 — п In ~~ (п — «о) —

— In У2лп ^ — In У 2лп0— ГЩ- ,

откуда

/ 2лпг: .-ехр

( я - » о ) 2\

2«о /

Замечая теперь, что, согласно (4.7), п0 = о2, а п — п0 просто равно отклонению от среднего значения, получим закон распределения Гаусса, описывающий поведение непрерывных величин,

Р(х).

1

ехр _ (х -^ср)

(4.8)

 

 

 

 

У2по2

2 о2

 

592

ПРИЛОЖЕНИЯ

С помощью формулы (4.8) нетрудно найти вероятность того, что значение х измеренной величины лежит между хг и х2.

=

J e x p ( _ f e ^ ) * c .

(4.9)

Интеграл (4.9) не сводится к элементарным функциям. Он вы­

ражается обычно через функцию Ф (х):

 

X

 

 

Ф {x) = ^ $ e r W

d t .

(4.10)

 

о

 

 

Как нетрудно убедиться,

 

 

 

Р(Хі^ х ^ х 2) =

* ( ф ( 0

) - ф ( хі і * а ] ) .

(4.11)

Определенная формулой (4.10) функция

Ф является функцией *

только X . Эта функция изображена на рис.

312 для х >

0. Значения

Ф (х) при X < 0 находятся с помощью соотношения

 

Ф ( — х) = — Ф (х).

(4.12)

Приведенные во Введении оценки для вероятности отклонения на о и 2о легко получить с помощью формул (4.11) и (4.12) и гра­ фика функции Ф(х)на рис. 312.

§ 3. Метод наименьших квадратов

Рассмотрим опыт по определению модуля растяжения металли­ ческого стержня. Результаты измерений удлинения стержня под нагрузкой могут быть представлены в виде таблицы

Нагрузка...

Xj

х2

Хя

х4

хп

Удлинение...

Уг

Уг

Уз

Ул

Уп

Смотрите также файлы