Файл: Руководство к лабораторным занятиям по физике учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 14.10.2024

Просмотров: 215

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

112 II. МЕХАНИКА

Описанный метод отличается простотой и наглядностью, но не дает возможности измерять ускорение силы тяжести со скольконибудь высокой точностью из-за ошибок, возникающих при измере­ нии времени падения шарика. Основными причинами ошибок являются неодновременность моментов включения секундомера и выключения электромагнита М, нерегулярность хода электриче­ ского секундомера и задержка между моментом падения шарика на пластину П и разрывом цепи секундомера. Указанная задержка связана с тем, что пластина П разрывает цепь секундомера не в тот момент, когда она начинает двигаться, а лишь после того, как ее центр пройдет расстояние, обычно составляющее долм милли­ метра или даже несколько миллиметров. Пластина движется суще­ ственно медленнее шарика, а на ее перемещение нужно время. Следует к тому же иметь в виду, что пластина П после падения шарика не движется как целое: по ней бежит упругая волна, рас­ пространяющаяся от места падения шарика к контакту.

Измерения. 1. Ознакомьтесь с конструкцией установки и рабо­ той отдельных ее узлов. Проверьте правильность хода электриче­ ского секундомера по обычному секундомеру.

2. Установите площадку П на некотором расстоянии от электро­ магнита М и 5ч-7 раз измерьте время падения шарика. С помощью полученных результатов рассчитайте ускорение силы тяжести. Убедитесь в том, что найденное значение с точностью 5—10% сов­ падает с табличным (если это не так, то прежде, чем приступить к основным измерениям, необходимо разобраться в причине рас­ хождений).

3. Измерьте время t падения шарика для 6-н8 значений высоты падения h (при каждом значении высоты опыт повторите несколько раз). Результаты эксперимента изобразите на графике в координа­

тах (У h, t). Убедитесь в том, что точки ложатся на одну прямую. С помощью полученной прямой найдите ускорение силы тяжести g и постоянную часть ошибки в измерении времени. Откуда может возникнуть такая постоянная ошибка?

4. Оцените погрешность в определении g.

II.Определение ускорения силы тяжести при помощи оборотного маятника

Принадлежности: оборотный маятник, секундомер.

Теория метода. Большинство косвенных методов измерения ускорения силы тяжести g основано на использовании известной формулы для периода Т колебаний физического маятника

Р Ы. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

113

Здесь J — момент инерции маятника относительно оси качаний (точки подвеса), т — его масса, I — расстояние от оси качаний до центра тяжести. Измерение периода можно выполнить с большой

точностью, чего обычно не удается сделать

для

ве­

 

личин J и /. Достоинством рассматриваемого метода

 

является возможность

исключить эти

величины

из

1

расчетной формулы для g.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оборотный маятник (рис. 51) состоит из стальной

 

пластины, на которой укреплены две опорные призмы

 

Пу и П2. Период колебаний маятника можно

менять

 

при помощи подвижных грузов Гъ Г2 и Г3.

 

 

к

Допустим, что нам

удалось

найти такое

положе­

 

ние грузов, при котором периоды колебаний маятника

 

Ту и Т%около призм Л, и П, совпадают,

т. е.

 

 

 

т1 = т2= т ■

:2л Ѵ щmghй

= 2лѴУ

~mgl2

 

(2)

 

 

 

 

 

Е /7,

Условием этого, очевидно, является равенство приве­ денных длин, т. е. равенство величин JJtnl-y и J2hnl2. По теореме Гюйгенса— Штейнера

J 1 — J о "Г fftl\,

— J о _Г ml-2,

(3)

где JQ— момент инерции маятника относительно оси, проходящей через его центр тяжести (и параллель­ ной оси качаний). Исключая из (2) и (3) J0 и т, по­ лучим формулу для определения g:

 

g' = ^ r( /i + /2).

 

 

 

 

(4)

 

Е П,

Здесь /j -f /2 — расстояние между

призмами

Г1Ѵ и

 

П2, которое легко может быть

измерено с большой

 

 

точностью.

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим, что формула {4) следует из формул (2) и

 

 

(3) лишь при условии, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к Ф к,

 

 

 

 

 

(5)

 

 

так как

при 1у — 12 равенства

(2)

и

(3)

удовлетво­

 

 

ряются тождественно. Перед тем как

начинать систе-

Рис 5 1 . 0 6 0 -

матические измерения, полезно подумать о том, как

ротный"маят-

следует

выбрать условия опыта,

чтобы точность

из-

 

ник.

мерений

оказалась наибольшей.

Чтобы

ответить

на

 

колебаний

этот вопрос, изучим прежде всего зависимость периода

 

Т от расстояния I до оси качаний. Из формул

(1) и (3)

имеем

У

 

Т — 2л j/~

tngl

 

 

 

 

 

114

 

II. М ЕХАН И КА

 

Эта зависимость

имеет вид кривой, изображенной на рис.

52.

При / -> 0 период Т стремится к бесконечности, как Г’Д. При I —

оо

период

Т снова

стремится к бесконечности, на этот раз как

Г^.

При

Т > Тmin одно и то же значение Т достигается при двух

разных значениях /. Эти разные значения и должны быть найдены

 

 

 

на

опыте

и

 

использованы

 

 

 

для

вычисления

g.

Как ста­

 

 

 

новится

очевидно из рассмот­

 

 

 

рения графика,

при

различ­

 

 

 

ных

выборах

Т

значения

Іх

 

 

 

и Іг сближаются или, нао­

 

 

 

борот,

удаляются

 

друг

от

 

 

 

друга.

 

 

вопрос

о

том,

 

 

 

Разберем

 

 

 

как

точность

определения g

 

 

 

зависит от разности

— 12.

 

 

 

При

выводе

формулы

(4)

Рис. 52. Зависимость периода колебаний

мы

полагали,

что

 

7\

=

Т2.

маятника от расстояния

между

центром

На

самом

деле

точного

ра­

тяжести и осью

качаний.

 

венства

периодов

добиться,

значения Тх и Т2, которые

кажутся

конечно,

невозможно.

Пусть

нам

равными, на

самом деле

отличаются на малую величину 2ДТ, так что

 

 

 

 

 

 

 

Т ^ Т + АТ, Т2 = Т - А Т .

 

 

 

 

 

 

(6)

Величина 2АТ определяет, таким образом, точность

совпадения

периодов. С помощью формулы (6) вместо формулы (4)

найдем

Ң — Ң

4 л 2 (/t

/2) (І-і -{- /2)

(7)

g- 4л2-1{Г\ — 12П

Т2 (Іг - к) +

2ТАТ (/х + 12)

Здесь мы пренебрегли квадратом величины АТ. Разлагая последнее выражение в ряд по степеням АТ и ограничиваясь линейными чле­ нами, получим

Л 9

"4" ^2^1

■2Дт(/, + /*)

(7')

g = 4л2

Т2

^ 1 -

T { k - l 2)

Для тех, кто незнаком с представлением функций при помощи степенных рядов, приводим элементарный вывод формулы (7').

Заметим, что (7) можно записать

так:

 

 

 

к + -а

+2

 

____ \

 

: 4 Л 3 - Т2

( h -

!,)АТ

 

 

к + 12 АТ

 

(к

~І2)Т )

 

Введем обозначение х = 2

 

Выражение в

скобках яв­

U - к Т '

ляется суммой бесконечной

убывающей геометрической

прогрессии

[УГГ7 — 1 ~ х+ А'2 — х*~г • • •

Г 14. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е У С К О Р ЕН И Я СИ ЛЫ ТЯЖ ЕСТИ

115

 

Так как при достаточно малых АТ/Т величина х будет мала и члены прогрессии быстро убывают с ростом степени х, то можно восполь­ зоваться приближенным выражением

что немедленно приводит к (7').

Выражение, вынесенное в (7') за скобку, совпадает с (4), а член, прибавляющийся к единице, определяет относительную ошибку измерения g. Из (7') после простых преобразований найдем

Ag/g = 2AT (/х М 7 ( / , - / , )

(8)

Формула (8) определяет ошибку вычисления g, связанную с ошибкой измерения времени. Из этого выражения видно, что относительная ошибка Ag/g неограниченно возрастает, если разность /> — /2 стремится к нулю, т. е. если Т -> Тті„ (рис. 52). Условия опыта, таким образом, должны выбираться так, чтобы Іх и /2 отличались друг от друга достаточно сильно. Измерения обычно обеспечивают

хорошую точность в определении g, если

(lt/l2) >

1,5. Нетрудно,

однако, показать, что слишком сильно отличающиеся /х и L тоже

выбирать не следует. Допустим для определенности, что

> /2

(рис. 52); Іі всегда меньше расстояния

между

призмами,

так

что при больших /j/4 величина /2 всегда оказывается малой. Если при этом окажется, что J0 тЩ, то период Т2будет

и время, необходимое для измерения периода, может стать неприем­ лемо большим. Кроме того, при малых /2 возрастает роль затухания колебаний. Чтобы это показать, заметим, что период колебаний маятника не зависит от угловой амплитуды ср только в том случае, когда ср я/2. При выполнении последнего неравенства запас колебательной энергии W маятника можно представить в виде

W = mgl2(1 — cos ф)

1kmgk ф2

 

(здесь учтено, что при

ср

я/2

справедливо

соотношение

cos ф л? 1 — ф2/2). Потери

энергии при колебаниях

определятся

в основном силами трения между опорной призмой и подушкой, которые практически не зависят от периода. Поэтому потери ДW энергии за период (при постоянном ф) можно считать постоянными, и величина

 

ДW/W = 2AW/mgl.2(p2

по мере уменьшения 1.2 будет возрастать,

как (12)~г. Отсюда сле­

дуют два вывода;

затухание колебаний, что

1.

С уменьшением /2 возрастает

приводит к снижению точности измерения

периода.

116

II. МЕХАНИКА

2.

Формула (1) получена в предположении, что АІУ — 0, <по­

этому ее можно использовать с тем большим основанием, чем лучше

выполняется неравенство

(9)

А

При выполнении данной работы желательно, чтобывеличины

W

и Ай7 отличались друг от друга не менее чем на три порядка, т. е.

чтобы

10-'* АU".

(9')

Г

Следует заметить, что ввести в (1) поправки, учитывающие зату­ хание колебаний не удается, так как законы трения в опорных

призмах обычно неизвестны.

 

между

Предыдущие

рассуждения показывают, что разница

Іх и /2 не должна

быть слишком значительной. Удовлетворитель­

ные результаты можно получить,

если выбрать

 

 

 

3 > у - >

1,51). .

(ГО)

Измерения.

1.

Ознакомьтесь с конструкцией оборотного маят­

ника. Определите

рабочий диапазон амплитуд, в пределах

кото­

рого период колебаний Т маятника можно считать не зависящим от амплитуды. Для этого установите маятник на одной из опор­ ных призм и, отклонив его от положения равновесия на некоторый угол ф1( предоставьте ему возможность совершать свободные коле­ бания. Измерив время 100-1-150 полных колебаний, найдите пе­ риод 7\. Затем, уменьшив начальное отклонение маятника в 1,5-f- 2 раза, таким же образом определите период Т\. Если в пределах точности измерения времени окажется, что Ту — Т\, то "для даль­ нейших опытов можно выбирать любую амплитуду ср, не превос­ ходящую фх. Если же 7\ ф Т\, следует выбрать меньшее значение ф: и повторить измерения. Не рекомендуется выбирать начальные

значения

больше

10°, так как при таких амплитудах может

возникнуть скольжение призмы по опорной площадке.

2.

Установите,

каким образом периоды колебаний 7\ и Т2

(при опоре на призмы /7] и Я2 соответственно) зависят от положе­

ния

грузов Гъ

Г2 и Гя. При этом нет необходимости точно нахо­

дить

значения

7\ и

Т2, так что достаточно измерить время 10-1-15

полных

колебаний.

В результате этого эксперимента постарай­

тесь

получить

ответы на следующие вопросы:

а) Какой из грузов существеннее других влияет на величины Тх и Т2 и какой оказывает наименьшее влияние?

б) Какой из грузов существеннее всех влияет на разность периодов I 7\ — Т2 | ? Изменяет ли перемещение грузов оба пери­

0 Гели маятник сконструирован правильно, то левая часть неравенства (10) обычно выполняется сама собой.

Смотрите также файлы