Файл: Руководство к лабораторным занятиям по физике учеб. пособие.pdf

может иметь место только в том случае, если обе его части не зави­ сят ни от t, ни от X, т. е. постоянны. Обозначим эту постоянную через _ сгк%(выбор знака перед c2k2 будет объяснен ниже). Наше уравнение распадается на два:

Решениями этих уравнений, как нетрудно убедиться непосред­ ственной подстановкой, являются гармонические функции

В — В0 sinket, A = A0sinkx.

Искомое решение волнового уравнения имеет, следовательно, вид

баний.

Рассмотрим (6 ) несколько подробнее. Точки, в которых sin kx обращается в нуль, являются узлами стоячей волны. Между двумя соседними узлами все участки струны колеблются в фазе (их откло­ нения имеют одинаковый знак), а при переходе через узел фаза колебаний меняется на я вследствие изменения знака sin kx. Ампли­ туда колебаний меняется вдоль струны по гармоническому закону, а частота колебаний всех точек струны постоянна и равна kc.

Скажем несколько слов о знаке перед №. Если изменить этот знак, то решения уравнений (5) и (5') превратятся в экспоненты с действительными показателями, описывающие монотонное, а не периодическое движение, что не соответствует картине стоячей

Как легко видеть, п определяет число пучностей (но не узлов!) ко­ леблющейся струны. Таким образом, волновому уравнению с данными граничными условиями удовлетворяют не любые функции вида (6 ), но лишь те из них, для которых выполняется условие (7).

Заметим теперь, что для частоты колебаний ѵ из (6 ) следует

Подставив это выражение в (7), получим с помощью (2) формулу для

собственных частот струны, т. е. частот, при которых в струне устанавливаются стоячие волны:

ti 1 Г Т

V = 2 L V У

Заметим, что определяемые формулой (9) собственные частоты не зависят от модуля Юнга материала струны. Такой на первый взгляд парадоксальный результат является следствием того, что мы пренебрегли изменением натяжения струны при колебаниях.

Вусловиях нашего опыта это предположение хорошо выполняется.

Спомощью (7) и (9) получим вместо (6 )

X = 0, Ып, 2 Lin, ..., L являются узлами. Так как узлы все время остаются в покое, то течения энергии по струне не происходит (энергия не может перейти через узлы). Передача энергии по струне производится только бегущей волной.

Отметим, что волновому уравнению удовлетворяет не только

Таким образом, в струне могут одновременно существовать коле­ бания с различными собственными частотами. Так, наряду с основ­ ным тоном (п — 1) могут возбуждаться обертоны (п = 2, 3, 4, ...).

Выясним, при каких условиях развитая выше теория, описы­ вающая, строго говоря, только движение идеально гибкой струны

ввакууме, может быть применена для реальной струны. С этой целью сделаем ряд замечаний.

1.При колебаниях реальной струны всегда происходят потери энергии (часть энергии теряется вследствие трения о воздух; дру­ гая часть уходит через концы струны и т. д.). Для поддержания незатухающих колебаний служит вибратор. Если энергия потерь

вточности компенсируется энергией, поступающей от вибратора,

то в струне можно наблюдать стоячие волны. Но теперь по струне должна происходить передача энергии, поэтому наряду со стоя­ чими будут существовать бегущие волны, в результате чего узлы

в струне, то искажение стоячих волн бегущей волной не очень существенно.

мая, естественно, в пучности, примыкающей к узлу).

2. Теория развивалась для струны с жестко закрепленными концами,- что в реальных условиях не выполняется. Справедли­ вость выведенных формул поэтому может быть поставлена под сомнение. Проще всего перейти от рассмотрения всей струны к рассмотрению ее участка, расположенного между двумя узлами.

Вэтом случае применимость формул становится очевидной.

3.При наблюдении стоячих волн на установке легко заметить, что струна не колеблется в одной плоскости, а совершает враща­ тельное движение вокруг положения равновесия. Любое вращение может, однако, быть представлено как сумма колебаний в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, так что все предыдущие выводы остаются в силе.

Измерения. 1. Ознакомьтесь с инструкцией, излагающей правила работы со звуковым генератором. Изучите конструкцию установки. Уясните назначение всех ее элементов.

2. Включите звуковой генератор. Установите частоту на нуль (см. инструкцию к пользованию генератором). Нагрузив струну и вращая ручку изменения частоты генератора, получйте стоячие волны.

3. Фиксируя частоту звукового генератора и меняя силу натя­ жения струны, получйте стоячие волны, соответствующие различ­ ным п. Повторите эксперимент при другой частоте звукового гене­ ратора. Проверьте, соответствуют ли полученные величины грузов формуле (9) (легко видеть, что при заданной частоте отношение грузов зависит только от п).

4. Увёличивая частоту звукового генератора при некотором постоянном натяжении струны, получйте стоячие волны, соответ­ ствующие п = 1 , 2 , 3... (максимальное значение п следует брать не менее 8 ). Фиксируя каждый раз показания лимба звукового генератора, повторите процесс измерений 3—4 раза. Проделайте эти измерения при различных значениях (не менее пяти) натяже­ ния струны.

5. Результаты эксперимента представьте в виде графика, откла­ дывая по оси абсцисс значения собственных частот, отсчитанные по лимбу звукового генератора, а по оси ординат — собственные частоты, вычисленные по формуле (9). Совпадают ли измеренные и рассчитанные значения? Какие причины могут привести к их расхождению? Обозначения следует выбирать таким образом,

чтобы экспериментальные точки, соответствующие различным зна­ чениям натяжения, можно было отличить друг от друга.

6 . При проведении эксперимента проверьте справедливость условия (11). Если оно выполняется недостаточно хорошо, надо уменьшить выходную мощность звукового генератора.

Контрольные вотросы

1.Непосредственной подетановкой убедитесь, что волновому уравнению (3)

Определите скорость распространения колебаний в струне.

/2 . Представьте стоячую волну как результат сложения (суперпозиции) двух бегущих гармонических волн равных амплитуд и частот. Используйте полу­ ченный результат для объяснения процесса установления стоячих волн в струне после включения вибратора.

3. Как происходит отражение волн от свободного и закрепленного концов струны? Почему в одном случае отражение происходит с потерей полуволны,

ав другом — без потери?

4.Покажите, что вращательное движение может быть представлено как сумма двух колебательных.

и 0' струна не колеблется в плоскости ху, а вращается вокруг оси х с постоянной угловой скоростью со. Рассмотрим элемент струны, заключенный между точками х и X + dx. На концы этого элемента действует сила натяжения Т, величину кото­ рой мы будем считать постоянной и не зависящей от х. Сумма проекций этих сил на направление оси у, как и прежде, равна

Очевидно, последнее выражение и является центростремительной силой, приво­ дящей во вращение рассматриваемый участок струны. Так как центростреми­ тельную силу можно представить в виде

~ Т Ѣ “ !>“■»• . <І4>

Отрицательный знак перед Т связан с тем, что в левой части (14) должна стоять центростремительная сила, т. е. проекция силы на направление (—у). Непосред­

ственной подстановкой легко убедиться, что уравнению (14) удовлетворяет функ-