Файл: Руководство к лабораторным занятиям по физике учеб. пособие.pdf

ется от измеренного больше, чем на величину порядка 0,5 мг или соответственно 5 мг.

Из рассмотренного примера видно, что умение оценивать погреш­ ности опытов столь же существенно, как и умение находить в ре­ зультате измерений достаточно близкие к истине результаты.

§ 2. Случайные и систематические погрешности

Ошибки, возникающие при измерениях, делятся на два больших класса: погрешности случайные и погрешности систематические. Для уяснения разницы между ними вернемся к нашему примеру со взвешиванием. При взвешивании разновес кладется обычно на правую чашку весов, а взвешиваемое тело — на левую. Правое и левое плечи весов не могут быть сделаны, конечно, в точности оди­ наковыми. Разница в длине плеч искажает результаты измерений и притом всегда одинаковым образом. Ошибки, сохраняющие ве­ личину и знак от опыта к опыту, носят название систематических.

К систематическим ошибкам принадлежат ошибки, связанные с неравноплечестью весов, с неправильным весом гирь, с неточной раз­ бивкой шкалы измерительных линеек и т. д.

Неравноплечесть весов и ошибки в калибровке гирь представ­ ляют собой не единственные причины погрешности взвешивания. Коромысло весов качается с некоторым трением. Поэтому даже при неизменной нагрузке весов оно останавливается не всегда в одном и том^же месте, а в разных местах, лежащих в области, размер которой определяется силой трения. Ошибки в этом случае от опыта к опыту не повторяются. Случайными ошибками назы­ ваются ошибки, которые непредсказуемым образом изменяют свою величину (и знак!) от опыта к опыту. Бывают случаи, когда слу­ чайные ошибки эксперимента не вызываются дефектами аппара­ туры, а лежат в существе изучаемого явления. Известно, напри­ мер, что интенсивность космического излучения на уровне моря (число космических частиц, падающих в минуту на каждый квад­ ратный сантиметр поверхности) составляет около 1 частица/см2 -мин. Будем измерять интенсивность излучения в течение ряда проме­ жутков по 1 минуте с помощью счетчика, имеющего площадь 20 см2. В этом случае количество отсчетов будет только в среднем рав­ няться 20 в минуту. В одних измерениях при этом мы будем полу­ чать 18, 17 или даже 12 отсчетов, в других — 23, 25, 27 отсчетов. Отклонение измеренного числа отсчетов от 20 носит в этом случае чи­ сто случайный характер и связано с характером изучаемого явления.

Разделение ошибок на случайные и систематические чаще всего не лежит в природе самих этих ошибок, а связано с методом изме­ рений, с применяемой аппаратурой. При измерении длины с по­ мощью линейки неточность нанесения штрихов на линейке прояв­ ляется всегда одинаково и носит характер систематической ошибки.

14 ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ. СОВЕТЫ И УКАЗАНИЯ

То обстоятельство, что попавшая в наши руки линейка имеет именно такие, а не какие-либо другие ошибки, связано при этом чаще всего со случайными погрешностями, возникающими при изго­ товлении линеек. Если мы будем производить измерения с по­ мощью нескольких линеек (лучше всего, изготовленных на раз­ ных фабриках), то ошибки, связанные с неточностью шкал, будут иметь разную величину и знаки и превратятся в случайные ошибки.

Из сказанного не следует, конечно, делать вывод, что раз­ личие между систематическими и случайными ошибками явля­ ется несущественным. Во всяком данном опыте эти ошибки резко отличаются друг от друга и ни в коем случае не должны сме­ шиваться. .

Легко видеть, что влияние случайных ошибок на результат измерений может быть существенно уменьшено при многократном повторении опыта. Трение коромысла весов приводит к тому, что в одних опытах для веса тела получаются завышенные значения, а в других — заниженные. Произведя измерения несколько раз и вычислив среднее значение веса тела, можно существенно улуч­ шить точность измерений, так как преувеличенные и преуменьшен­ ные значения будут встречаться одинаково часто и почти скомпен­ сируют друг друга.

Уменьшить вклад систематических ошибок путем повторения опыта, конечно, нельзя. Для этого нужно усовершенствовать прибор (например, уменьшить неравноплечесть весов) или изменить методику измерений (взвешивать, например, тело

шего качества, производить взвешивание с более точным раз­ новесом и т. д.).

§ 3. Вычисление погрешностей. I

Будем сначала предполагать, что приборы не вносят заметных систематических ошибок в результаты измерений, так что все ошибки можно считать случайными. Как было выяснено выше, прежде всего следует произвести измерения несколько раз, чтобы ошибки в сторону преувеличения и в сторону преуменьшения ре­ зультата встретились достаточное число раз и могли скомпенсиро­ вать друг друга. Пусть в результате измерений получено п, вообще говоря, разных-значений измеряемой величины аи а2, •••> При обработке полученных результатов возникают два вопроса: 1) как сконструировать из полученных значений наиболее вероятное зна­ чение измеряемой величины и 2) чему равна ожидаемая ошибка измерений? Ответ на эти вопросы дается теорией вероятностей. Мы здесь приведем его без вывода.

Наиболее вероятное значение аср измеряемой величины а равно среднему арифметическому значений, найденных в результате изме­ рений:

Физический смысл формулы (В.2) очевиден. При вычислении сред­ него арифметического ошибки в сторону преувеличения и преумень­ шения результата наилучшим образом компенсируют друг друга.

Обратимся теперь ко второму вопросу: к оценке ошибок изме­ рений. Не следует думать, что ошибки измерений могут быть най­

число случаев, когда ошибка попала в данный интервал. По­

фики называют гистограммами) с максимумом в области неболь­ ших ошибок (чем ошибки больше, тем они обычно встречаются реже; очень большие ошибки при разумной постановке опыта про­ исходят крайне редко или никогда не встречаются). Высота кривой, а следовательно, и площадь, расположенная под кривой, для каж­ дого интервала ошибок пропорциональны числу случаев, в которых данная ошибка наблюдалась. Гистограмма рис. 1 может служить для выяснения и более сложных вопросов. Можно, например, выяснить число случаев, когда ошибка лежит в I и —I интерва­ лах. Легко видеть, что это число определяется площадью, заклю­ ченной под кривой на участках I и —I. Число случаев, когда ошибка выходит за пределы I и —I интервала, равна площади всей гисто­ граммы, за вычетом площадей, принадлежащих участкам I и —I и т. д.

16 ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ. СОВЕТЫ И УКАЗАНИЯ

Будем теперь увеличивать число измерений и соответственно уменьшать ширину интервалов разбиения оси абсцисс. Гистограмма рис. 1 будет при этом стремиться к плавной кривой. Форму гисто­ граммы, получаемой при небольшом числе опытов, нельзя предска­ зать заранее. Но теория вероятностей позволяет вычислить форму предельной гладкой кривой, к которой стремятся гистограммы при неограниченном увеличении числа опытов. Эта предельная кривая носит название кривой Гаусса (рис. 2). Ее аналитическое выраже­ ние приведено в приложении IV. Кривая Гаусса имеет вид коло­

под соответствующим участком кривой. Проведем на рис. 2 на оди­ наковых расстояниях от оси ординат две вертикальные прямые так, чтобы между ними уместилось 68% площади, заключенной под всей сплошной кривой. Эти прямые отсекают на оси ошибок от­ резки —о. Найденная таким образом величина <т ндсит название с т а н д а р т н о г о о т к л о н е н и я или с т а н д а р т н о й о ш и б к и. Как это ясно из построения, в 68 случаях из 100 фак­ тическая ошибка опыта окажется меньше, а в 32 случаях — больше чем стандартная ошибка. В качестве ожидаемой ошибки опыта принято указывать именно величину стандартного отклонения.

.заметим для справок, что ошибки опыта в 95% случаев лежат в интервале±2а и в 99,7% случаев не превосходят ± 3 а . Иногда этот результат выражают другими словами: говорят, что с вероятностью 68/о. величина ошибки лежит в интервале ± а , с вероятностью