Файл: Руководство к лабораторным занятиям по физике учеб. пособие.pdf

18 ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ. СОВЕТЫ И УКАЗАНИЯ

Эта ошибка определяет пределы, внутри которых измеряемая ве­ личина лежит с вероятностью 50% (в 50% случаев). В настоящее время для определения погрешности измерений почти исключи­ тельно пользуются стандартной ошибкой о.

На первый взгляд может показаться, что при беспредельном увеличении числа измерений ошибка опыта может быть сделана сколь угодно малой. Это, конечно, не так. Сколь угодно малыми могут быть сделаны только случайные ошибки опыта, но отнюдь не систематические ошибки, которыми мы до сих пор пренебрегали. Сколько бы мы ни делали измерений неверно сделанной линейкой, точного результата при этом получить нельзя. А ведь всякая ли­ нейка изготовлена не вполне точно!

Из сказанного следует, что вопрос о количестве измерений, которые нужно произвести, должен быть тщательно обдуман. Никогда не следует ограничиваться однократным измерением. Всегда нужно сделать повторное контрольное измерение. Если результаты измерений совпали, на этом обычно следует остано­ виться. Если же между результатами обнаружилось различие, измерения нужно произвести еще 2—3 раза, чтобы понять в чем тут дело: в том, что одно из измерений было произведено непра­ вильно, или в том, что результаты измерений расходятся из-за слу­ чайных ошибок. В первом случае нужно просто вычеркнуть невер­ ное измерение, а во втором следует попытаться понять причину расхождения результатов. Если эта причина может быть устранена путем регулировки прибора (смазки трущихся частей, устранения люфтов и т. д.), это обязательно нужно сделать. Если же устранить причину расхождения результатов не удается, то следует предпри­ нять целую серию повторных измерений с тем, чтобы сделать слу­ чайную ошибку достаточно малой (меньше систематической или меньше, чем допустимая ошибка при необходимой в данной работе точности измерений).

Математических формул, позволяющих определить системати­ ческие ошибки, не существует. Никакие формулы не могут, напри­ мер, предсказать, насколько точно сделан купленный вами разно­ вес. Систематическую ошибку следует оценивать исходя из разных соображений: из сравнения прибора с прибором лучшего качества (эталоном), из простого сравнения нескольких приборов (например, линеек), из технических или технологических соображений. Пре­ делы, в которых может быть заключена систематическая ошибка, иногда указываются на самих приборах (например, на электроизме­ рительных приборах).

Сделаем еще одно замечание. Систематическая ошибка прибора (например, неправильность разбивки шкалы линейки или ампер­ метра) является вполне определенной величиной, которая в прин­ ципе всегда может быть измерена путем сравнения с эталоном и учтена в виде поправки. Этого, однако, при обычных измерениях

не делают и оценивают величину систематической ошибки так, как если бы ее точную величину и знак узнать было невозможно. Погрешность измерений при этом несколько возрастает, но про­ должительность эксперимента существенно сокращается.

Более подробно к вопросу об определении систематических оши­ бок мы вернемся несколько позднее.

Будем теперь предполагать, что систематическая ошибка опыта Дсист из тех или других соображений получена. Заранее нельзя сказать, сложится эта ошибка со случайной ошибкой а или вычтется из нее. Можно, однако, утверждать, что полная ошибка измере­ ния Дполн, наверное, заключена в пределах | о — Дсист | sg Дполн ^ «с; о + Дсист. Естественно оценивать точность эксперимента и в этом случае

спомощью некоторой средней ошибки.

Втеории вероятностей показы­ вается, что ожидаемое среднее значение Дполн следует вычислять по формуле

Учет систематических ошибок опыта заставляет вместо (В.6) писать

В заключение укажем, что в реальных опытах систематическая ошибка чаще всего оказывается больше случайной. Из рис. 3 и из формулы (В.7) видно, что вклад случайной ошибки оказывается несущественным уже в том случае, если Дсист — 2а. В этих слу­ чаях не следует предпринимать многократных повторных измере­ ний, а в качестве полной ошибки Дполн нужно просто указывать величину систематической погрешности Дсист.

§ 4. Запись результатов опыта

Скажем несколько слов о записи результатов измерения. Нали­ чие ошибки Д определяет точность, с которой имеет смысл произ­

в этом случае производить с точностью до второго знака после запятой или максимум до третьего знака. При ошибке 0,070 послед­ ние две цифры числа 2,86745 не означают ровно ничего. Этих цифр не следовало поэтому ни писать, ни вычислять. Грамотная запись результата была бы 2,87 ± 0,07 или, быть может, 2,867 ± 0,070.

При записи результатов опыта следует писать все известные цифры (даже если они нули!) и одну лишнюю, не вполне точно

20 ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ. СОВЕТЫ И УКАЗАНИЯ

известную цифру. Никаких следующих цифр (которые могут возни­ кать при вычислениях) писать ни в коем случае не следует.

Приведем пример: пусть при проверке массы двухграммовой гири оказалось, что ее масса равна 2 г. И пусть эта проверка про­ изводилась один раз с точностью 1 мг, другой раз с точностью 10, третий раз — 100 мг. Результат опыта следует записать в первом случае 2,0000 ±0,0010 г, во втором 2,000 ±0,010 г и в третьем 2.00 ± 0 ,1 0 г. Другой пример: при взвешивании вагона на желез­ нодорожных весах оказалось, что его масса равна 68 т (±0,5 т). Не следует писать, что масса вагона равна 68 000 кг, так как это означало бы, что последние три цифры (или по крайней мере две из них) действительно являются нулями, в то время как о них ничего сказать нельзя. Следует поэтому писать 68 т или, лучше, 68.0 т, или 6,80 ПО4 кг, или, наконец, 0,680-ІО8 г, но не 68 000 кг и не 68 000 000 г и т. д.

Во многих случаях предпочитают указывать величину ошибки в процентах от измеренной величины. Вес двухграммовой гири

Погрешность, выраженная в долях измеряемой величины, носит

При рассмотрении погрешностей измерений мы до сих пор огра­ ничивались случаями, когда интересующая нас физическая вели­ чина непосредственно получалась в результате измерения. Это не всегда имеет место. Так, для измерения плотности чаще всего изме­ ряют массу тела М и его объем V, а саму величину плотности р находят путем вычисления

Как найти ошибку в измерении р, если ошибки измерения М и V известны? Как вычислить ошибку в других подобных случаях? Ответ на этот вопрос снова дает теория вероятностей; мы приведем его здесь без вывода.,

Наилучшее значение х находится при этом путем сложения наилуч­ ших значений А, В, ... по формуле (В.10), а стандартная ошибка х, которую мы будем обозначать ах, связана со стандартными ошиб­

Стандартные отклонения аА, ап и т. д. могут быть при этом либо получены из опыта (если значения А, В и т. д. непосредственно измерены), либо найдены путем вычисления (если значения А, В, ...

сами получены в результате расчетов).

II с л у ч а й . Пусть искомая величина х связана с другими величинами А, В, С и т. д. с помощью формулы

где а, ß, у — любые числа, целые или дробные, положительные или отрицательные. Теория вероятностей показывает, что наилучшее значение х снова вычисляется с помощью (В. 12) через наилучшие значения А ср, Вср, Сср и т. д., т. е.

а ошибка измерения находится по формуле

Как и в первом случае, при этом безразлично, получены величины оА, ов и т. д. прямо из опыта или найдены путем расчета из других, уже непосредственно измеренных величин.

Рассмотрим в качестве примера формулу (В.9) для нахождения плотности р. С помощью (В. 14) находим

Заметим, что формулы (В.11) и (В.14) очень похожи одна на другую: складываются всегда квадраты ошибок. Но в том случае, когда искомая величина получается из измеренных путем суммиро­ вания или вычитания, складывать следует квадраты абсолютных ошибок ад, ов и т. д., а когда искомая величина является про­ изведением или частным непосредственно измеренных, — суммиру­ ются квадраты относительных ошибок оJ A , ав/В и т. д.

О б щ и й с л у ч а й . Укажем для справок общую формулу для вычисления погрешностей. Пусть искомая величина х является