Файл: Руководство к лабораторным занятиям по физике учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 14.10.2024
Просмотров: 179
Скачиваний: 0
22 |
ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ. СОВЕТЫ И УКАЗАНИЯ |
где dfldA |
обозначает, как обычно, частную производную / по А |
и т. д., а оа, aß и т. д. — стандартные отклонения для величин А, В, С, ... Частные производные вычисляются при наилучших зна
чениях А, В, С и т. д.
Точность вычисления погрешностей. Как уже было выяснено выше, стандартное отклонение о или полная ошибка АП0Лн характе ризуют реальные ошибки опыта лишь по порядку величины. При вычислении о и Аполн достаточно поэтому производить расчеты с точностью 10—20%. Более точное вычисление погрешностей не имеет никакого смысла и потому само является ошибкой.
Формулы (В.11), (В.14) и (В.17) позволяют не только правильно оценить погрешности опыта, но и правильно построить измерение.
Рассмотрим два примера. Для определения удельного веса изме ряется объем и вес тела. Погрешности опыта вычисляются в этом случае по формуле (В. 15). Пусть тело имеет массу 50 г, объем 25 см3 и обладает неправильной формой. Для измерения объема поместим его в мензурку с водой. Пусть объем воды, вытесненный телом, определяется при этом с точностью 0,5 см3, т. е. оѵ/Ѵ = = 0,5/25 = 2%.
При идеально точном взвешивании погрешность в измерении
удельного веса <тр/ р также составит 2%. При измерении |
массы |
с точностью до 1% эта погрешность будет равна ]/"I2 + 22 = |
2,2%, |
т. е. почти не изменится. Нет, следовательно, никакого смысла измерять вес тела с точностью лучше, чем 1 %, т. е. с ошибкой меньше 0,5 г. Измерять вес с помощью хороших аналитических весов было бы в этом случае напрасной тратой времени.
Другой пример. Измерим толщину стенок тонкостенной трубки большого диаметра. Можно измерить толщину стенок трубки непо средственно. Это нетрудно сделать микрометром с точностью 0,01 мм. Точность измерения стенки, имеющей толщину 0,5 мм, будет в этом случае равна 2%.
Можно попытаться измерить наружный диаметр трубки, затем ее внутренний диаметр и определить толщину стенки путем вычи тания. Легко видеть, однако, что такой способ совершенно непри годен для измерений. Прежде всего, наша тонкостенная трубка вряд ли является вполне круглой. Достаточно измерить внешний диаметр трубки в одном направлении, а внутренний — в другом, чтобы получить для толщины стенки, может быть, даже отрица тельные значения. Пусть, однако, трубка оказалась идеально круг лой. Обычные микрометры не позволяют измерять размеры, пре восходящие 25 мм, и не приспособлены для измерения внутренних диаметров. Если же измерять диаметры штангенциркулем, ошибка будет составлять не 0,01 мм, а несколько сотых, возможно 0,1 мм, и мы снова получим грубо неверный ответ.
Пусть, наконец, мы разыщем прибор, позволяющий измерять наружные и внутренние размеры с точностью до 0,01 мм. Ошибка
§ 6. СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ И КОНТРОЛЬНЫЕ ОПЫТЫ |
23 |
визмерении их разности будет равна (см. формулу (В. 11)) ]/2 -0,01 ==
=0,014 мм, т. е. все-таки 3, а не 2%.
Небольшие величины всегда следует измерять непосредственно, ни в коем случае не следует получать их вычислением как разность больших величин.
§ 6. Систематические погрешности и контрольна опыты. Класс точности электроизмерительных приборов
Как было показано выше, величина случайных ошибок опыта определяется разбросом измеренных значений и может быть рас считана по формулам, например по формуле (В.5). В то же время
величина систематических погрешностей сама по себе не следует из результатов измерения и может быть определена только с по мощью специальных контрольных опытов или расчетов. Такие опыты необходимо производить при всех экспериментах, так как от надежности и полноты этих опытов в огромной степени зависит достоверность полученных результатов.
Приведем несколько примеров.
1. Стандартные измерения размеров металлических деталей производятся с помощью штангенциркуля. Неточность изготовле ния последнего может вносить систематическую ошибку в резуль таты измерений и при точных измерениях должна быть определена. Проще всего это сделать, измерив размеры нескольких образцов как с помощью штангенциркуля, так и с помощью микрометра. Микрометры изготовляются несравненно точнее, чем штангенцир кули, так что при проверке штангенциркуля показания микро метра можно считать вполне точными. Микрометр играет при этом измерении роль эталона. При проверке микрометров в качестве эталона применяют полированные стальные пластинки, размер которых известен с точностью до микрона (так называемые плитки Иогансона); разновесы сравниваются с эталонами, имеющимися в Палате мер и весов и т. д.
Далеко не во всех случаях, однако, проверка точности аппара туры сводится к сравнению с эталонами. Очень часто под руками не оказывается нужных эталонов, еще чаще случается, что таких эталонов просто не существует, а в большинстве случаев в срав нении с эталонами нет никакой надобности, так как измерения имеют относительный характер. Будем, например, исследовать изменение сопротивления образца при нагревании. Сопротивление
образца изменяется согласно известной формуле |
|
R = Ro( 1 + «/)> |
(В. 18) |
так что |
|
(В. 19)
24 ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ. СОВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
Легко видеть, что при определении а не обязательно измерять сопротивление в омах, выверенных по международному эталону. Измерять сопротивление в этом случае можно вообще в любых единицах, так как величина а от этого никак не зависит. Измери тельный прибор (например, мост Уитстона) может быть отградуи рован поэтому произвольным образом, причем требуется только равенство всцх делений между собой. При контрольных опытах можно ограничиться проверкой этого равенства. Приведем пример такого опыта. Измерим два сопротивления сначала порознь, а потом вместе. Согласно закону Ома сумма значений, полученных для каждого сопротивления, должна равняться суммарному сопротив лению. Проделав эти опыты на нескольких сопротивлениях, мы убедимся в том, насколько хорошо работает наш прибор, и узнаем, с какой степенью точности ему можно доверять. При этом мы не узнаем, конечно, в каких единицах отградуирован наш мост; в меж дународных омах, в интернациональных омах или в своих собст венных омах, но это для нашего опыта не играет никакой роли. Проверка моста путем сравнения с эталонами, хранящимися в Па лате мер и весов, является в этом случае, очевидно, необязательной.
Легко видеть, что измерение температуры в том же опыте должно производиться абсолютным методом, и ответ существенно зависит от того, в каких делениях проградуирован термометр: в градусах Цельсия, Реомюра или Фаренгейта.
2. Точность разновеса может быть проверена с помощью чув ствительных весов. Для этого следует положить на левую и на пра вую чашки весов одинаковые по номинальному х) весу наборы гирь из этого разновеса и проверить, с какой точностью эти грузы урав новешивают друг друга. Как уже отмечалось выше, опыт полезно повторить, поменяв грузы местами. При этом появляется возмож ность исключить имеющуюся неравноплечесть весов. Легко видеть, что предложенный опыт, строго говоря, не является вполне точным. Пусть, в самом деле, все гири изменили свой вес на 1 %. Наш опыт, конечно, не позволит этого обнаружить. Такой случай является, однако, совершенно невероятным, так как износ гирь всегда при водит к разному изменению их веса.
3. Для измерения сопротивлений часто применяются стандарт ные мосты Уитстона. Пусть измерение нужно произвести с помо щью моста, в надежности которого возникло сомнение. Естественно прежде, чем приступить к измерению, поставить несколько конт рольных опытов, которые позволят убедиться в исправности моста и в правильности выбранного способа измерения. Полезно, например, промерить какое-нибудь эталонное сопротивление, ве личина которого известна с хорошей точностью и обозначена на самом сопротивлении. Такие сопротивления обычно бывают во всех
х) Номинальным весом гирь называется вес, обозначенный на гирях.
§ 6. СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ И КОНТРОЛЬНЫЕ ОПЫТЫ |
25 |
лабораториях. Полезно убедиться в том, что применяемые в опыте соединительные провода не вносят в результат' сколько-нибудь существенных ошибок, и т. д.
Сделаем несколько замечаний о погрешностях электроизмери тельных приборов.
Точность электроизмерительных приборов обычно определяется путем сравнения с эталонными приборами. Если эталонных прибо ров под рукой нет, погрешность приборов можно оценить с помощью простых контрольных опытов, например, включая в одну цепь два или три амперметра последовательно или несколько вольтметров параллельно. Трудно предположить, что все приборы имеют вполне одинаковые ошибки, расхождение их показаний служит поэтому хорошей мерой точности.
Все электроизмерительные приборы снабжаются указателем «класса точности» (цифра в кружке на шкале прибора). Класс точ ности определяется максимальной ошибкой прибора, выраженной в процентах от полной величины шкалы. Так, амперметр класса 1,5 с полной шкалой 1 А измеряет протекающий через него ток с ошиб-
кой, не превосходящей 15 1А = 15 мА. Легко видеть, что ошибка
15 мА составляет небольшую долю от измеренного тока лишь при измерении токов порядка ІА, т. е. при отклонении стрелки на всю шкалу. При отклонении стрелки на Ѵ2 шкалы ошибка составит уже 3% от измеряемой величины, а при измерении еще меньших токов может составить 10% или даже 20% от величины измеряемого тока. Поэтому если нужно произвести измерения с хорошей точ ностью, рекомендуется выбирать такой прибор, на котором измеряе мый ток вызовет отклонение больше чем на половину шкалы.
Приведенный способ определения ошибки прибора по его классу точности оговорен государственными стандартами и указывает ве личину максимальной погрешности, с которой прибор может быть выпущен с завода. Практически погрешности приборов всегда оказываются несколько меньше. Более того, обычно можно счи тать, что класс точности определяет ошибку не в долях полной шкалы, а в долях измеренного тока. Таким образом, при измерении тока величиной 0,5 А практически можно считать, что ошибка
составит 1,5% не от |
всей шкалы прибора, соответствующей току |
в 1 А (что составляет |
15 мА), а 1-,5% от тока 0,5 А, т. е. 8 мА. |
Приведенное практическое правило позволяет оценивать ошибки электроизмерительных приборов при всех отклонениях, за исклю чением слишком малых (менее х/5 части шкалы), когда никаких разумных правил не существует (гарантированная стандартом ошибка намного превосходит реальную, а практическое правило становится ненадежным).
Система контрольных опытов, которая должна сопутствовать измерениям, сильно зависит от рода физического эксперимента, от
26 ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ. СОВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
точности, с которой необходимо произвести измерения, от имею щейся аппаратуры и от ряда других причин. В каждой работе эти опыты изменяются. В первых работах практикума контрольные опыты чаще всего будут предлагаться в самих описаниях, в даль нейшем придумывание и описание этих опытов будет постепенно перекладываться на плечи студентов. Следует помнить, что без контрольных опытов (хотя бы самых простых) достоверных ре зультатов получить нельзя.
В заключение укажем еще один вид систематических ошибок: систематическую ошибку отсчета на глаз. На глаз часто прихо дится оценивать доли деления шкалы приборов. Опытный экспери ментатор делает такие отсчеты с точностью до десятой доли деления. При этом возникают ошибки, как случайные (один раз 0,4 прини мается за 0,3, а другой раз — за 0,5), так и систематические (многие наблюдатели 0,2 всегда принимают за 0,1 или 0,8 за 0,9). Величина случайной и систематической ошибок сильно зависит от навыка
в обращении с приборами. Всякий опытный экспериментатор знает,
скакой точностью он умеет работать. Студент должен приобретать навык в отсчете на глаз и изучать совершаемые им при этом ошибки.
§ 7. Средние величины
Выше были рассмотрены случаи, когда случайные ошибки опыта приводят к разбросу результатов измерения вокруг истинного зна чения. При этом было выяснено, что наилучшим значением изме ряемой величины является среднее (арифметическое), вычисленное из результатов измерения. Не всегда, однако, разброс результатов связан с ошибками измерения. Пусть, например, мы хотим изме рить диаметр проволоки, сечение которой не является вполне точ ным кругом или толщина которой несколько меняется по длине. Разброс результатов связан в этом случае не с погрешностями из мерения, а с несовершенством формы проволоки. Имеет ли в этом случае смысл вычислять средние значения, например средний диа метр проволоки?
Рассмотрим кусок проволоки, состоящий из двух участков, слегка отличающихся по диаметру. Пусть диаметр левого участка проволоки равен 10,0, диаметр правого участка равняется 10,2 мм, а длины участков равны 5 см. Объем проволоки V равен, очевидно,
V = y^hiD l + 1linh2D\ —Ѵ4я • 5 • (1,002 + 1,022) см3.
Будем измерять диаметр проволоки штангенциркулем. В ре зультате измерения будут получаться разные цифры: то 10,0 мм, то 10,2 мм. Мы можем не обратить внимания на то, что результат 10,0 мм получается всегда при измерениях на левом конце, а ре зультат 10,2 мм — при измерениях на правом конце проволоки, и приписать разброс результатов случайным ошибкам опыта. Мы