ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 14.10.2024
Просмотров: 122
Скачиваний: 0
|
|
Анализ |
при |
помощи |
синусоидального |
сигнала |
|
|
|||||||
|
На вход системы подается синусоидальный сигнал. |
Характер |
|||||||||||||
входной и выходной величин можно выразить графически |
(рис. 70) |
||||||||||||||
или зависимостями: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
у ( » ; = / |
« s i n (£>t = |
Y (со) eiat; |
|
|
|
|
|
|
(61) |
||||||
X ( |
» =Х |
(ш) sin И |
+ |
Ф) = X |
(со) е ' 1 < 0 ' + |
Ф |
|
|
|
|
(62) |
||||
где |
X и |
Y — амплитуды; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
со = 2nf |
— угловая |
частота; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
t |
— время; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Ф (со) — сдвиг по |
фазе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Возникновение гармонических колебаний на выходе при поДаче |
||||||||||||||
на |
вход |
гармонических колебаний при |
совпадении |
входных и вы |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ходных колебаний |
по |
частоте |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
имеет место только для линей |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ных |
элементов |
(небольшую |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
нелинейность |
можно |
|
всегда |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
в определенной |
мере |
линеари |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
зовать). |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Выходные |
колебания, как |
||||||
Рис. |
70. Характер |
гармонических колебаний |
показывает |
приведенная |
зави |
||||||||||
симость, |
будут |
отличаться |
|||||||||||||
|
на |
в х о д е |
и выходе системы |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
от входных по величине |
ампли |
||||||
туды и будут иметь фазовый сдвиг по отношению к входным ко
лебаниям. |
Эти |
изменения амплитуды |
и |
фазовый сдвиг |
являются |
||||||||
функцией |
частоты и выражают |
динамические |
свойства |
элемента. |
|||||||||
Рассмотрим |
отношение |
|
гармонического |
выходного |
сигнала |
||||||||
к входному |
сигналу, |
которое |
называется передаточной |
функцией |
|||||||||
|
|
О ) |
X |
(ja,) |
,/ф |
( <•>) |
|
|
|
|
|
(63) |
|
|
у |
У (Уш) |
|
|
Г ((О) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Функцию F(j(ù) |
можно выразить |
зависимостью |
|
|
|
||||||||
F (ум) = |
Р (со) + |
JQ (со) = А (со) е]Ф |
|
|
|
|
|
(64) |
|||||
где соотношение амплитуд выходных и входных колебаний |
|||||||||||||
Л (со) |
У(ь>) |
• = |
mod F (уш) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
называется |
коэффициентом |
передачи, |
а |
графическое |
представле |
||||||||
ние его зависимости |
от со — амплитудной |
характеристикой. |
|||||||||||
Фазовый |
сдвиг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ф:(м) = |
arg/="(;«>) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(65) |
|||
как функция со |
графически |
представляется фазовой |
характери |
||||||||||
стикой.
Передаточную функцию можно изобразить и графически в виде вектора в комплексной системе координат. Вектор входной вели-
122
чины при этом откладывают на действительной оси координат, вектор выходной величины повернут по отношению к вектору входной величины на угол Ф. Путем соединения конечных точек
j Ф (ш)
вектора |
Л(со)е |
, |
соответствующих частотам / в диапазоне |
(О, оо), |
получим |
так |
называемую частотную характеристику. Эта |
характеристика объединяет две предыдущие характеристики: ам
плитудную |
и |
фазовую, |
поэтому ее иногда называют амплитудно- |
||||||||
фазовой. Эта характеристика показана на рис. 71. |
|
|
|
||||||||
|
Исследование при помощи синусоидального сигнала заключа |
||||||||||
ется таким образом в определении ряда значений |
А(ан) |
и |
Ф(СОЙ) |
||||||||
для |
выбранной |
угловой |
скорости |
|
|
|
|
|
|||
СОЙ, |
k = 0 ... |
п |
и |
получении |
соот |
|
|
|
|
|
|
ветствующих |
амплитудных |
и фа |
|
|
|
|
|
||||
зовых характеристик или частот |
|
|
|
|
|
||||||
|
ой- «1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 71. Частотная (амплитудно - фа |
Рис. |
72. Характер |
изменения |
вели |
||||||
|
чин |
при исследовании с помощью |
|||||||||
|
зовая) |
характеристика |
|
||||||||
|
|
|
прямоугольных |
колебаний |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ной характеристики. Чтобы |
проанализировать данный |
объект, из |
|||||||||
мерение необходимо проводить хотя бы для 5—10 значений так, чтобы охватить не менее чем две декады диапазона частот (мас штаб 100: 1). Шире диапазон нецелесообразен, так как практиче ски коэффициент передачи большинства объектов быстро убывает
до нуля |
при увеличении частоты. Амплитуду входного |
сигнала |
||
обычно |
выбирают в диапазоне 5—20% |
максимального |
значения |
|
с учетом требования линейности передачи, уровня |
помех и т. д. |
|||
При проведении измерений выходные |
колебания |
регистрируются |
||
после окончания переходного процесса и их стабилизации; изме
рения повторяют для одного и |
того же значения входа; значения |
|
амплитуды и фазы выходного |
сигнала усредняют, чтобы исклю |
|
чить влияние случайных факторов. |
|
|
Анализ при помощи прямоугольных |
колебаний |
|
Анализ системы при помощи синусоидальных сигналов вызы вает на практике большие трудности, так как необходим элемент, который генерировал бы синусоидальный входной сигнал. Поэтому на практике входной синусоидальный сигнал заменяется прямо угольными колебаниями с частотой f 0 = -^-=-rr- и амплитудой Л о.
123
Разложение этого сигнала в ряд Фурье
У (і) = 2 д ° [sin oV-f~~Jp s i n 3wo4-~5~s i n 5m»-f- • • •] |
(66) |
показывает, что прямоугольные колебания соответствуют беско нечному ряду убывающих по амплитуде нечетных гармоник. Реак ция на этот сигнал имеет вид
^ ( 0 = ^ [ л і з і п Ы + |
Ф1 ) + 4 ^ 5 І п ( З ш 0 + Ф 3 ) + . . . ] . |
(67) |
|||||
Учитывая убывание |
амплитуды гармонических |
составляющих |
|||||
входного |
сигнала, |
при |
анализе |
можно |
ограничиться |
первыми |
|
тремя. Остальные |
составляющие |
частотной |
характеристики можно |
||||
получить |
повторением измерений |
с использованием |
прямоугольной |
||||
волны, имеющей более высокую основную частоту. |
|
|
|||||
Иногда используют также упрощенные методы, основанные на определении только первых гармонических составляющих. Харак
тер изменения входной и выходной величин |
показан |
на |
рис. 72. |
При амплитуде входных прямоугольных колебаний |
Л 0 |
выраже |
|
ние для первой гармонической составляющей |
примет |
вид |
|
3 > ( * ) = - ^ s i n - ^ * = = l , 2 7 A , s i n - y - * . |
|
|
(68) |
Первую гармоническую составляющую на выходе определяют при помощи приближенного метода. Период выходных колебаний делится на п отрезков времени одинаковой величины:
|
|
п |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для |
которых определяются |
соответствующие |
ординаты |
Хо, х і , ... |
||||||||
Д л я |
вычисления |
используют |
формулу |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
_і_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ах={а\ |
+ |
Ь\У |
, |
|
|
|
|
|
|
(69) |
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и — 1 |
|
|
п — 1 |
|
|
|
|
||
|
|
2 |
V |
|
2т; . |
. , |
2 |
V |
2я |
, |
|
|
щ |
= |
-у |
2dх ь c |
o s т" |
^ = ~ ~ т |
2dх ь c o s |
— |
b |
|
(^о) |
||
|
|
|
n — l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h = -f- 2 x k s i n |
-jr-k- |
|
|
|
|
|
|
(7 1) |
||||
|
Обычно |
выбирают |
6 или |
12 |
ординат, |
так |
что, например, для |
|||||
шести отрезков |
справедливо: |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ах |
= |
— |
2 |
xk cos 60° k |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= ^-(xQ |
+ - ^ - x l ~ ~ x 2 - x 3 — \ - x A + |
|
-L xsy, |
( |
|||||||
|
|
4- |
5 |
|
|
|
_ |
|
|
|
|
|
* i |
= |
2 |
xksinÇ>0° k = ~- |
{xx-\-x2~ |
xA — xz). |
(73 |
||||||
|
|
|
k = |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
124
Фазовый сдвиг можно определить из выражения |
|
|
||||
Ф (toj) = arctg _ L |
|
|
|
|
|
(74) |
a соотношение амплитуд — из |
выражения |
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
2\ |
2 |
|
|
|
|
|
1,27Лп |
|
|
|
|
|
(75) |
|
|
|
|
|
|
|
Недостатком |
приведенного |
экспериментального |
метода |
явля |
||
ется то, что при |
неодинаковом воздействии регулирующего органа |
|||||
|
|
на обе |
стороны происходит сдвиг |
|||
|
|
среднего |
значения. |
В результате |
||
|
|
этого |
входная величина |
может |
||
|
|
иметь |
постоянную |
составляющую |
||
|
(рис. 73). Поэтому в этом случае |
|
реакция равняется наложению |
7 |
У\ |
I F
Рис. |
73. В х о д н а я и выходная вели |
1_. |
чины |
при асимметричном входном |
|
|
сигнале |
Рис. 74. Формирование импульса |
реакции при прямоугольных колебаниях на реакцию при скачке. Для устранения этого недостатка в контур вводят регулятор. Ука занная симметрия, т. е. наложение периодических колебаний на реакцию на импульс, наблюдается и при симметричном входном сигнале, в этом случае необходимо подождать, пока переходная составляющая затухнет.
Анализ при помощи одиночных |
импульсов |
В качестве входного сигнала используется кратковременное изменение входной величины, имеющее обычно прямоугольную форму. Такой импульс можно представить как наложение двух скачкообразных изменений, следующих одно за другим через оп ределенный интервал времени (рис. 74).
Очевидно, что метод анализа при помощи импульса с теорети ческой точки зрения является равноценным методу с использова нием скачкообразного изменения входной величины. Однако в ряде случаев оказалось, что метод анализа с использованием импульса является более удобным и точным.
125
|
Анализ |
по реакции на |
сигнал |
общего |
вида |
||
x(t) |
Входной сигнал |
произвольной |
формы |
у (t) |
и |
выходной сигнал |
|
связаны уравнением |
свертки, |
в которое |
входит импульсная |
||||
характеристика системы |
k(t) |
|
|
|
|
||
|
оо |
|
t |
|
|
|
|
x(t) |
= lk{k)y{t-\)d\=] |
|
k(t-v)y{T)di. |
|
|
(76) |
|
|
О |
|
—со |
|
|
|
|
Решение этого интегрального уравнения затрудняется тем, что x(t) в момент времени ^=0 не равняется нулю, поэтому один из пределов интеграла является бесконечным. Обозначим через x0(t) входной сигнал в момент времени t = 0. Тогда уравнение примет вид
|
t |
|
t |
|
*(0= |
j |
k(t-z)y(z)dï |
= x0(t) + §k(i-ï)y(^d(z), |
(77) |
где |
—оо |
|
0 |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х0 (0= j |
А ( * - т ) у ( т ) Л . |
|
(78) |
|
|
— 00 |
|
|
|
Это уравнение решается численными методами путем замены непрерывного входного и выходного сигналов дискретными значе ниями y(m-At), x(m-At), где At— шаг изменения времени. Тогда свертка превращается в сумму
N—Ï
х(т |
• Д * ) = |
2 |
k(nM)y |
[{т-п)Щ, |
|
|
|
|
|
(79) |
|||||
|
|
|
л = |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
k (п At)—дискретное |
|
представление |
импульсной |
характери |
||||||||||
|
|
|
|
стики |
в |
интервале времени (N— 1) At. |
|
|
|||||||
|
Для успешного решения интегрального уравнения |
численным |
|||||||||||||
методом необходимо |
правильно выбрать величину At и N. |
||||||||||||||
|
На практике выходной сигнал определяется суммой |
реакции |
|||||||||||||
системы |
на |
входной |
сигнал |
Y(t) |
и на |
возмущение Z(t): |
|
||||||||
|
|
оо |
|
|
|
|
|
оэ |
|
|
|
|
|
|
|
X{t) |
= |
\k |
(X) Y |
(t-X) |
|
ûft + j |
Ä (X) Z(t-l) |
d\ |
|
|
(80) |
||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
где |
k(X) —импульсная характеристика реакции системы на вход |
||||||||||||||
|
|
|
ной |
сигнал; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
h(%)—импульсная |
|
|
характеристика |
реакции |
системы |
на воз |
||||||||
|
|
|
мущение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Так |
как |
величина |
|
возмущения, как правило, неизвестна, то |
||||||||||
вместо |
выражения |
(80) |
исследуется корреляционная |
функция |
|||||||||||
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
RY, |
x^) |
= |
\k |
(À) R Y |
Y |
(x-\) |
d\+ |
Jh (l) |
R Y Z |
(x - \ ) |
dl. |
|
(81) |
||
126