Файл: Лодиз, Р. Рост монокристаллов.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 14.10.2024

Просмотров: 150

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

452

Р. ПАРКЕР. МЕХАНИЗМЫ РОСТА КРИСТАЛЛОВ

При оценке со' по формуле (17.23) существует несколько неоп­ ределенных моментов, в том числе касающихся поверхностных подвижностей (особенно это относится к Us). Мы принимаем со' — 108. Тогда для п0 = Ю5 формулы (17.22) и (17.24) дают

/ S D = l ( P e x p [ - h{k$\°(p/po)].

07.27)

Скорость зарождения, а следовательно, и скорость

роста очень

сильно зависит от а = р/ро- Ниже некоторого критического пе­

ресыщения а к р

= акр—1

скорость

роста

по существу

равна

нулю. Пусть, например, минимальная

наблюдаемая скорость ро­

ста кристалла

составляет

1 атомный

слой за

1000 с, причем

кри­

сталлическая грань имеет площадь 1 см2 . Тогда принимая, что

один

зародыш

обеспечивает

рост

монослоя, получаем: ISD «

«

1

• Ю - 3

с - 1 . Полагая yeh

«

®k и y/kT

s» 4, получим, что 10~3 =

=

102 1 ехр

{— (я/4) (ф/&Щ1/1п(р/ро)]},

или ехр [—4я/1п (р/р0)]

=

=

ехр(—55), т. е. \п(р/р0)

«

0,23;

следовательно,

(р/р0)=

1,26,

или

пересыщение составляет

26%.

Ясно, что при

пересыщении

1%

 

скорость

роста должна

быть

пренебрежимо

малой.

Тот

факт, что кристаллы, как известно, растут с измеримыми ско­ ростями даже при малых отклонениях от равновесия, привел

Франка [160] к заключению, что такие кристаллы несовершенны

и что при их росте винтовые дислокации служат

источниками

ступеней.

 

 

Дальнейшее развитие теории роста из паровой фазы. Рост

нитевидных кристаллов. /. Диффузия

поверхностных

вакансий.

Кабрера и Кольман [13] отметили, что на поверхности кристалла

существуют вакансии в концентрациях, по меньшей

мере столь

же высоких, как и адатомы, и что эти вакансии наряду с адатомами участвуют в переносе вещества по поверхности. Хирс [144],

основываясь на модели поверхностной структуры

для грани

(111) г. ц. к-решетки показал, что отношение потока

адатомов

/ а д

к потоку поверхностных

вакансий / в а к

составляет

 

 

 

= з-ехр

2ф +

£деф — Зф,

(17.28)

 

 

kf

 

 

 

 

 

где ср — энергия связи

ближайших соседей; Ежеф — энергия

де­

формации, обусловленная смещением соседних атомов при об­ мене местами между вакансией и атомом; срг — уменьшение энер­

гии связи вследствие релаксации вблизи

вакансионного

узла.

Если предположить, что Елвф

>

Зсрг, то из

соотношения

(17.28)

следует,

что, например,

для

(cp/kT) = 4 поток

поверхностных ва­

кансий

пренебрежимо

мал по

сравнению

с

потоком адатомов.

Хирс [144] обсуждал также основания для довольно больших предэкспоненциальных множителей, полученных в ряде экспери-


V. СТРУКТУРА ПОВЕРХНОСТЕЙ РАЗДЕЛА И ПОВЕРХНОСТНАЯ КИНЕТИКА 45З

ментов [164] по поверхностной диффузии. Такие большие значе­ ния можно объяснить [165], предположив, что длина скачка а в формуле (17.3) значительно превосходит межатомные расстоя­ ния. Согласно этой гипотезе «горячих атомов», у активирован­ ных атомов время релаксации слишком велико, чтобы они успе­ вали растратить избыток своей энергии. Иное объяснение связы­ вает большие предэкспоненциальные множители с энтропийными эффектами, предполагающими влияние различных колебатель­ ных частот v на поверхностную концентрацию атомов и коэффи­ циент поверхностной диффузии. Детальный обзор новейших ре­ зультатов по поверхностной диффузии составили Джостейн и Уинтерботтом [166].

2. Движение

одиночной

ступени: новые результаты.

Как уже

отмечалось

в

гл. I I I , рост

кристаллов в общем случае

сводится

к проблеме

движения некоей границы — это необходимо учиты­

вать в дифференциальных уравнениях, описывающих поток ве­ щества или тепла. В формуле (17.8) теории Бартона, Кабреры и Франка отсутствует член, учитывающий скорость, хотя эти азторы и предложили критерий, основанный на средней длине пробега Xs до реиспарения. Хирс [144] учитывает член, содержа­ щий скорость в диффузионном уравнении (исходя, однако, попрежнему из стационарных условий). Полученный им результат

гласит,

что решение Бартона, Кабреры и Франка (17.9) спра­

ведливо,

когда

 

n s - n s o ^ ^

 

По

т. е. когда на поверхностную концентрацию накладывается усло­

вие,

непременно

выполнимое,

если П | / / ! о < 1,

По

формуле

(16.23), где ws

(энергия перехода

атома из излома на поверх­

ность)

составляет

обычно Зф

для

грани (111),

a

(<p/kT) = 4,

получаем (ns/n0)

~

ехр (—12) <С 1.

 

 

 

Хотя Бартон, Кабрера и Франк ввели два поправочных ко­

эффициента 6 и с0

[см. формулу

(17.13)], все еще

остается один

множитель, который считался этими авторами равным единице.

Речь идет о коэффициенте

конденсации

[167]

аи для

перехода

пар -> адсорбционный слой;

этот множитель появляется в фор­

мулах (17.13) и (17.18), если on0 V2exp(W/kT)

заменить выра­

жением ahop0(2nmkT)-4'.

Коэффициент

a.k меньше

единицы,

если молекулы при соударении с поверхностью отражаются от нее; ан может быть меньше единицы и в случае сложных моле­ кул, если учесть вращательные степени свободы и стерические ограничения. Кабрера [168] и Цванциг [169] рассчитали аь на основе классической механики по одномерной пружинной модели с сосредоточенными массами, получив, что для атома, налетаю­

щего на подобные

ему атомы, коэффициент аи равен единице.

В последнее время

Гудмен и др. провели расчет по трехмерной


454 Р. ПАРКЕР. МЕХАНИЗМЫ РОСТА КРИСТАЛЛОВ

модели. Новейший

обзор

на эту тему

составлен

Триллин-

гом [170].

 

 

 

 

3. Параллельные

ступени;

спиральный

рост. Чернов

[17] под­

черкнул, что расчет Бартона, Кабреры и Франка для формы и скорости вращения спирали зависит от механизма роста только через скорость ступени Ооо и, следовательно, должен быть при­ ложим не только к росту из пара, но и к росту из раствора и расплава (разумеется, при условии что общая модель послой­ ного роста на плотноупакованных гранях остается в силе). В любом случае формула для v,*, будет иной, чем в модели Бартона, Кабреры и Франка для паровой фазы, поскольку процессы переноса у ступеней неодинаковы.

Кабрера и Левин [171] провели более строгий расчет расстоя­ ния между ступенями: вместо 4ярК р (как это было в исходной теории) они получили значение уо — 19рк р . Этот результат при­ водит к увеличению Oi в формуле (17.19); действительно,

" = Т 1 & -

< 1 7 - 3 0 >

что несколько понижает (при данном а) коэффициент конденса­ ции (a/ai)th(0i/a) и, следовательно, уменьшает скорость роста при низких a <С О] (как этого и следовало ожидать: чем больше расстояние между ступенями, тем больше вероятность повтор­ ного испарения адатомов). При а ^> ai скорость роста R не ме­ няется. Фактически Бартон, Кабрера и Франк [41] уже до этого рассмотрели уточненную форму спирали взамен архимедовой, получив уо = 4я (1 + 3 _ , / 2 ) р к р ж 20рК р. Кабрера и Левин учиты­

вали к тому же влияние энергии упругих деформаций

кристалла

в окрестности дислокации на

форму спирали; это

особенно

важно в случае испарения, когда возникает

асимметрия роста

и испарения, поскольку энергия

деформации

дислокаций препят­

ствует росту и благоприятствует испарению.

 

 

Хирс и Паунд [112, 172, 173], а также Хирс [144], исследуя расстояния между ступенями, генерируемыми неким источником (первоначально [172, 173] рассматривался случай испарения, а источником ступеней служил край кристалла), пришли к вы­ воду, что при а Oi ступени, входящие в эшелон конечной ши­ рины (т. е. сравнительно удаленные от дислокационного источ­ ника), обнаруживают тенденцию к ускорению своего движения. Это ускорение продолжается до тех пор, пока расстояние между ступенями не станет равным уо & 6XS и, следовательно, коэф­ фициент конденсации a — (a/ai)th(ai/a) приблизится к '/з- Од­ нако лежащие в основе этих выводов аргументы, по-видимому, не вполне ясны.

4. Эффект самоторможения. Кабрера и Кольман [13] отме­ тили, что поверхностное пересыщение о, у первого витка спи-


V. СТРУКТУРА ПОВЕРХНОСТЕЙ РАЗДЕЛА И ПОВЕРХНОСТНАЯ КИНЕТИКА 45§

рали [которое

в

случае простой

архимедовой

спирали

влияет

на ее кривизну в начальной точке, а также на расстояние

между

ее витками; см. формулы

(17.15)

и

(17.16)]

может оказаться

вопреки первоначальному

предположению

ниже

пересыщения о

в объеме пара. Это объясняется

поверхностно-диффузионными

потоками (от центра) к первому

витку,

в результате

чего в

центре спирали as < ст. Этот эффект

самоторможения

можно

приблизительно

рассчитать,

если

в

выражении

 

(17.15)

заме­

нить In а л; а

пересыщением

as, причем as

можно

найти,

решив

диффузионное

уравнение

непрерывности

(17.8),

обобщенное на

двумерный случай круговой ступени радиусом р0 . Тогда

 

kT

In [1 + as (ро)]

__

Д0 (ро)

 

 

 

 

 

(17.31)

А Г 1 п [ 1 + 0 ]

~~

Ли.

 

 

(Po/Xs)

 

 

 

Здесь поверхностное пересыщение в центре спирали прини­ мается равным о, /о представляет собой функцию Бесселя мни­

мого

аргумента,

а Ар — химические потенциалы,

удовлетворяю­

щие

условию (17.31). Полагая Api = \9Qye/hXs,

где уе— крае­

вая

энергия на

1 см (те же рассуждения относятся и к простой

архимедовой спирали, если 19 заменить произведением 4я), по­

лучим из соотношения

(17.31)

и определения

/ 0

(помня,

что

Дро — l9Q,ye/hp0)

следующую формулу:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(17.32)

Для

больших

пересыщений, т. е. Др, 3> Др,;, имеем

р0

Xs.

Сле­

довательно,

скорость

роста,

определяемая

в

 

виде

R =

— Rm(2Xs/p0)th(p0/2Xs),

 

где Rm

— максимальная

скорость

ро­

ста, принимает при больших Ар вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(17.33)

Как

отметил

Кабрера,

с увеличением

Дд. скорость

роста

R

очень медленно приближается

к Rm.

Этот результат

отличается

от полученного ранее: при о

о\,

соответствующем

большому

Ар, было (a/ai)th(ai/a) «

[1 — '/^(оь/о)2 ]-

Физический

смысл

за­

ключается в следующем: с увеличением пересыщения

Ар, спи­

раль

должна

по

Бартону, Кабрере

и Франку

закручиваться

в

большей степени — пропорционально 1/Др,, в то время как здесь, согласно анализу Кабреры, эффективное значение Др0 увеличи­ вается не столь быстро. Таким образом, скорость роста с повы­ шением Ар здесь возрастает медленнее.

5. Рост нитевидных кристаллов. Рост нитевидных кристаллов из пара по механизму поверхностной диффузии уже обсуждался (гл. III ) в рамках задачи Стефана. Основная модель, разу­ меется, сходна с моделью Бартона, Кабреры и Франка для


456

Р- ПАРКЕР. МЕХАНИЗМЫ РОСТА КРИСТАЛЛОВ

поверхностной диффузии к ступени, причем

в данном случае сту­

пень расположена на вершине нитевидного

кристалла, куда вы­

ходит винтовая дислокация. Простая теория (см., например [94, 95]) предсказывает, что длина кристалла сначала увеличи­ вается со временем экспоненциально, поскольку площадью сбора молекул служит весь нитевидный кристалл. Когда длина кри­ сталла становится большой по сравнению с Х8, он продолжает расти пропорционально времени, причем площадь сбора по­

стоянна

 

по

величине

и следует за

вершиной нитевидного

кри­

 

 

 

 

 

 

 

сталла. Строгая теория [101] показы­

 

 

 

 

 

 

 

вает, что отклонения от простой тео­

 

 

 

 

 

 

 

рии могут позволить в принципе из­

 

 

 

 

 

 

 

мерить по отдельности Ds

и xs, хотя

 

 

 

 

 

 

 

поверхностное

зарождение на

боковых

 

 

 

 

 

 

 

гранях нитевидных

кристаллов может

 

 

 

 

 

 

 

решающим

образом

изменить картину.

 

 

 

 

 

 

 

Обычно

удается

определить

лишь

 

 

 

 

 

 

 

Xs

=

(Dsxs)

 

'/..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Швёбель

[174]

предложил

модель

 

 

 

 

 

 

 

роста нитевидных кристаллов из пара

 

 

 

 

 

 

 

по

механизму

поверхностной

диффу­

Ф и г. 24.

Модель

роста

зии,

причем

эта

модель

обходится

без

винтовых дислокаций.

20

концентриче­

нитевидного

кристалла

с

учетом

 

анизотропии

кри­

ских

ярусов, образующих

коническую

сталла

по

коэффициенту

структуру,

принимают

атомы

из

пара

захвата

адатомов на сту­

с

постоянной

скоростью,

причем

по­

 

пени

[174].

 

 

вторного

испарения

не

происходит.

Адатомы захватываются

заштри­

хованными (ступенчатыми) участ­

Все

атомы,

ударяющиеся

о

боковые

 

 

ками.

 

 

 

стенки этих ярусов, перемещаются к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ступеням

посредством

 

поверхностной

диффузии

и

встраиваются

в

решетку

 

только

 

на

ступенях.

В отличие

от

модели

 

Бартона, Кабреры

и

Франка

предпола­

гается, что ступень (горизонтальный участок на фиг. 24) захватывает с разной эффективностью адатомы, поступающие к ней снизу или сверху. Это различие может быть обусловлено различными координациями адатомов у ступени, хотя сумма вероятностей захвата равна единице. Именно эта анизотропия захвата приводит к анизотропии движения ступеней. Теория Швёбеля не учитывает диффузионные поля или концентрацион­

ные градиенты и носит чисто геометрический

характер. Предпо­

лагается, что подвижность адатомов

на боковых гранях выше, чем

на ступенях, однако никаких других уточнений

не

проводится.

Затем автор численно решает 20

зацепляющихся

дифферен­

циальных уравнений непрерывности

и получает

высоту

каждого

яруса в функции времени. Установлено, что

при

доста­

точном различии коэффициентов

захвата

первоначально ко-