Файл: Лодиз, Р. Рост монокристаллов.pdf

параметров), очевидно: ступени, сильно удаленные друг от друга, будут развивать максимальную скорость; по мере сбли­ жения ступеней их диффузионные поля перекрываются и движе­ ние будет замедляться, как это и наблюдается при росте по спиральному механизму. Продифференцировав наклон (20.1) по t, а скорость роста (20.2) по х, получим с учетом условия непрерывности (в данном случае закона сохранения числа сту­ пеней), что

довательно, q) постоянна. Такая линия называется характери­ стикой. Кинематическая волна—это участок кристаллической поверхности с постоянной плотностью ступеней k (и постоянным потоком q), который перемещается со скоростью c(k) = dx/dt. Состав волнового пакета со временем меняется: одни ступени заменяются другими, поскольку волновая скорость с — dq/dk необязательно совпадает со скоростью ступеней v == q/k. Термин «кинематический» здесь используют потому, что фундаменталь­ ное уравнение (20.4) не учитывает никаких «динамических» фак­ торов (например, законов механики, движущих сил, диффузион­ ных полей).

Профили кристаллической поверхности. Франк [203] дока­ зал две теоремы, связывающие кинематическую теорию с про­ филями кристаллической поверхности при росте или растворе­

Эта величина вдоль характеристики dx/dt постоянна, поскольку постоянны k и q. Соотношение у — y(x,t) определяет некоторую поверхность, составленную из характеристик, которые имеют прямолинейные проекции как на плоскость xt, так и на плос-

V. СТРУКТУРА ПОВЕРХНОСТЕЙ РАЗДЕЛА И ПОВЕРХНОСТНАЯ КИНЕТИКА 473

кость ху; следовательно, характеристики, лежащие на поверхно­ сти y(x,t), прямолинейны.

Вторая теорема гласит следующее: если построить полярную диаграмму обратных скоростей роста, измеренных по нормали к поверхности кристалла, то прямолинейная траектория некото­ рой точки данной ориентации на указанной поверхности будет параллельна нормали к полярной диаграмме в точке этой ори­ ентации. На фиг. 29 [144] иллюстрируется развитие кристалличе­ ской формы во времени; видно, что некоторые ориентации посте­ пенно исчезают. Франк и Айвес [206] изучали растворение Ge, а

у характеристик больше, благодаря чему их наклон в коорди­ натах t — х меньше (фиг. 30); следовательно, характеристики в левой (хвостовой) части эшелона сходятся и, как показано на фиг. 30, плотность k ступеней претерпевает разрыв. По Франку такой разрыв можно уподобить ударной волне в термодинамике;

ности, он разработал теорию их трансформации во времени;

дов решетки данного вещества). Профили кинематических волн наблюдались непосредственно. Эти профили имели гладкий округленный ведущий край и острую угловую точку на хвосто­

которые прямо обусловлены наличием диффузии в окружающей среде.

V I

МОРФОЛОГИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ

21. В В Е Д Е Н И Е

Основная задача теории морфологической устойчивости со­

устойчивости проводится по следующей схеме: предполагается, что форма кристалла слегка искажена, и выясняется, усили­ вается это искажение или же сходит на нет.

Это иная задача, чем задача о сохранении формы роста, цель которой сводится к тому, чтобы выяснить, сохраняется ли в про­ цессе роста форма кристалла и соответствующие уравнения. Как было показано в гл. I I I , посвященной анализу задач Стефана, сохранение формы в процессе кристаллизации просто означает, что кристалл данной формы увеличивается в размере без изме­ нения геометрии, а распределение температуры и концентрации около него удовлетворяет в процессе всего роста одним и тем же уравнениям переноса и граничным условиям.

В своей классической работе Маллинз и Секерка [211] ввели в теорию роста кристаллов понятие о количественной оценке устойчивости формы роста. До появления этой статьи считалось, что общий вид формы, сохраняющейся при росте, — это иссле­ дованный Хэмом [68, 69] эллипсоид, хотя устойчивость такого эллипсоида не была изучена. Необходимость исследования ус­ тойчивости вызвана тем, что кристаллы часто растут в виде дендритов. Дендриты, или древовидные кристаллы, состоящие из центрального ствола, первичных, вторичных и т. д. ветвей,— частое явление как в природе, так и в лабораторных исследо­ ваниях. Рост дендритов служит ярким примером неустойчивости эллипсоидальной и полиэдрической форм роста, проявляющейся при определенных условиях.

Аналогичный анализ устойчивости проводится в гидродина­ мике (см., например, монографии Ландау и Лифшица [212], Чандрасекара [213], Лина [214], Доннели и др. [215], Стюарта [216]). Чтобы установить момент перехода от ламинарного течения к турбулентному, к известной стационарной скорости потока добавляют малую нестационарную скорость и затем, рассма­ тривая линеаризованное дифференциальное уравнение, которому

подчиняется эта добавка, выясняют, увеличивается она со вре­ менем или же убывает. Примером задачи о неустойчивости ско­ рости течения может служить задача, решенная Боллом [217], который исследовал перенос вещества через границу газ — жид­ кость с учетом как потока жидкости, так и диффузионного переноса вещества. Оба эти процесса, а именно диффузия и кон­ векция, принимались во внимание и в классической задаче Бенара (см., например, монографию Чандрасекара [213]; см. также гл. V I I I ) , посвященной исследованию устойчивости течения на­ греваемой снизу жидкости.

22.ЗАДАЧА О МОРФОЛОГИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

ВЧИСТОМ ВИДЕ; Р А З Л И Ч Н Ы Е ФОРМЫ РОСТА

Шар. Ради удобства дальнейшего изложения повторим здесь приведенное в гл. I I I доказательство того, что вместо точного уравнения диффузии, учитывающего зависимость от времени, можно взять уравнение Лапласа. Точное уравнение диффузии для шара имеет вид

где C(r,t) есть концентрация, a D — коэффициент диффузии. При этом должны выполняться следующие граничные условия:

Здесь предполагается, что концентрация на поверхности шара радиуса R равна равновесной концентрации С0 . Скорость кри­ сталлизации находится из условия непрерывности потока

где Ст — концентрация растворенного вещества в выделяющейся фазе (плотность кристалла). Как было показано в гл. I I I и как можно проверить подстановкой, решение задачи (22.1) — (22.4) имеет вид

2Щ1 -п'/2 Я5 ехр(Я2 )ег[с(Я5 )] = 5 ^ ( С ю - С 0 ) / ( С г - С 0 ) . (22.7)