ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 14.10.2024
Просмотров: 139
Скачиваний: 0
VI. МОРФОЛОГИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ |
479 |
возмущениях:
dr |
dR |
. db у . |
D |
дС |
0 0 |
. |
dt |
dt |
dt |
^т |
^Q,s °' |
возм. пов |
|
Тогда скорость нарастания возмущения выразится следующим образом:
+ [(/ - О С ° > С ° - |
[/ (/ + О2 - 4]] 6Ylm), |
(22.18) |
где С0 н { = С0[1 + (2VD/R]} есть равновесная концентрация по Гиббсу — Томсону на поверхности невозмущенной сферы. При равнивая коэффициенты при одинаковых Ylm в выражениях (22.17) и (22.18), получаем скорость изменения амплитуды 1-й гармоники возмущения в виде [211]
|
D(l-l) |
*(/) = • |
б,. (22.19) |
Здесь G K O H H [ = (ССО — CO,R)IR] есть градиент концентрации на не возмущенной сферической поверхности. Положительный член в правой части выражения (22.19), пропорциональный градиенту, благоприятствует росту амплитуды 1-й гармоники, а отрицатель ный член, пропорциональный поверхностной энергии, способ ствует убыванию ее амплитуды. Амплитуды всех гармоник, для которых выражение в квадратных скобках положительно, воз растают; номера этих гармоник удовлетворяют неравенству:
(/ + 1) (/ + 2) + 2 < -^г- |
( С М - С 0 ) . |
(22.20) |
Все гармоники более высокого порядка (с меньшей длиной вол ны) должны затухать. Данному значению / соответствует опре деленный радиус сферы RKV(l), по достижении которого 1-я гар моника становится устойчивой (т. е. сфера теряет устойчивость). Согласно (22.20), такой радиус удовлетворяет соотношению
Дкр (0 = [ ( / + |
1 ) 2 ( / + 2 ) |
+ l ] Яш, |
(22.21) |
в котором R*M { = 2ГУ[(СС О — |
С 0 ) / С 0 ] } |
есть радиус |
шарообразного |
критического зародыша, рассчитанный на основе теории зарож
дения [см. г к р |
в уравнении |
(14.3)]. Наименьшая длина радиуса, |
до достижения |
которой ни |
одна гармоника не развивается, соот |
ветствует номеру |
/ = 2. Когда радиус |
|
такого зародыша |
только |
|
что превзошел |
то амплитуда |
второй |
(/ = 2) гармоники |
начи |
|
нает возрастать. Этот радиус RKP |
(2) — |
7R*m, так что при 10%-ном |
|||
480 |
Р. ПАРКЕР. МЕХАНИЗМЫ РОСТА КРИСТАЛЛОВ |
|
|||
пересыщении # K p |
( 2 ) ^ 1 0 ~ 5 (при |
типичном |
значении |
TD = |
|
= Ю - 7 |
см). Заметим, что искажение с / = 1 просто увеличивает |
||||
радиус |
сферы. |
|
|
|
|
Таким образом, |
шар микронных |
размеров, |
растущий в |
поле |
|
диффузии, обычно неустойчив, если стабилизирующее действие оказывает только поверхностная энергия.
Этот весьма важный результат [211] позволяет со всей опре деленностью сделать тот вывод, что, по-видимому, все ранее (в гл. III ) рассмотренные формы, сохраняющиеся при росте, в дей ствительности неустойчивы. Таким образом, весь вопрос о мор фологии кристаллов, например как образуются кристаллы с большими плоскими гранями, остается открытым. Полученный результат применим также к росту шара из переохлажденного расплава (затвердевание), поскольку, как показали Маллинз и Секерка [211], задачи о переносе тепла и вещества формально эквивалентны. Интересно отметить, что при растворении или плавлении шарообразная форма устойчива, так как градиент концентрации бконц меняет знак и правая часть равенства (22.19) всегда отрицательна.
Цилиндр. Кориелл и Паркер [109] распространили вывод Маллинза и Секерки для сферы на рост цилиндра. Это, по-види мому, следующий по простоте случай. К тому же ряд кристал лов имеет форму, близкую к цилиндрической (ветви дендри тов, нитевидные кристаллы). Эти авторы рассмотрели искаже ния формы цилиндра как в поперечном сечении, так и вдоль его
образующей. |
Возмущенное сечение описывалось формулой г = |
= R + 6eiktf, |
где k — положительное целое число. Оказалось, что |
цилиндр, как и шар, устойчив по отношению к искажениям та кого вида, пока его радиус меньше критического радиуса ^ к р , и неустойчив, когда его радиус превосходит RKp. Однако в данном случае отношение критического радиуса устойчивости цилиндра к радиусу критического зародыша не равно семи; критический
радиус для гармоники с номером k = 2 удовлетворяет |
теперь |
|
соотношению |
|
|
Я к р ( 2 ) = |
[1 + 6 Л Х ] 7 Г Ц ) |
(22.22) |
в котором А% = — 7г In {v2ll), |
Xi — константа роста, |
In v2 = |
=0,5772 (постоянная Эйлера).
чая |
Таким |
образом, отношение RKP/R^ зависит |
в отличие от слу |
||
шара |
от относительного пересыщения |
на |
бесконечности S, |
||
так |
как при S <С 1 справедливо равенство |
(0,577 -f- In Х2>) —— S |
|||
[см. рассуждения после вывода |
выражения |
(9 . 42)] . Заметим, что |
|||
критический радиус двумерного |
зародыша |
R*n равен по опреде |
|||
лению Гв/ЦСоо —- Со)/С0 ]. Если рассматривать одновременно воз мущения сечения цилиндра (цилиндр с продольными желоб-